人教八上数学12章全等三角形--三角形全等与角平分线-全等模型-课件(共42张)

1、三角形全等与角平分线12三角形全等与角平分线12知识结构图三角形边角关系三边关系内外角证明全等SSS 边边边 SAS 边角边 ASA 角边角&AASHL 直角 角平分线应用性质判定22022/9/28知识结构图三角形边角关系三边关系内外角证明全等SSS 边边边边（SSS）两个三角形三边完全相等，两个三角形全等。32022/9/28边边边（SSS）两个三角形三边完全相等，两个三角形全等。32边角边（SAS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。42022/9/28边角边（SAS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。4角边角（ASA）&角角边（AAS）两角和它们的夹边相等的两个三角形全等

2、。52022/9/28角边角（ASA）&角角边（AAS）两角和它们的夹边相等的两个直角边与斜边（HL）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。62022/9/28直角边与斜边（HL）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形“全等”与“”例，已知ABC和DEF全等。其中A=60、E=40、D=80，BC=3，则下列结论正确的是： B=40； C=80； DE=3； F=60解析：由于ABC与DEF全等，所以边角没有对应关系。由于F=180-D- E=60= A从而得出： A与F为对应角。那么BC与DE应为对应边：BE=BC=3.72022/9/28“全等”与“”例，已知ABC和DEF全等。

3、其中A=6利用全等性质证明边相等或角相等解题思路：证明对应边（角）相等证明对应边（角）所在三角形全等找全等已知条件，判断缺少什么条件通过已知条件推导所缺条件证明全等82022/9/28利用全等性质证明边相等或角相等解题思路：证明对应边（角）相等利用全等性质证明边相等或角相等如图，已知AB=AC、AD=AE、BAC= DAE。求证：BD=CE。ABCED解析：由于BD=CE只需证明ABD ACE已知AB=AC、AD=AE缺一个角相等（BAD=CAE）只需证明：BAD=CAE证明：BAC=DAEBAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE在ABD 和 ACE中AB=ACBAD=CAEAD=AE

4、ABD ACEBD=CE92022/9/28利用全等性质证明边相等或角相等如图，已知AB=AC、AD=A三角形的中线倍长1如图，在ABC中，BD是ABC的中线。（1）如图，延长中线BD至E，使DE=BD，连接AE、CE。求证：1 ADBCDE；2 AE=BC，AE/BC；3 AB+BC2BD。证明：1 在ADB与CDE中：AD=CD ADB= CDEBD=DE ADBCDE（SAS） 2在ADE、CDB中：AD=CD ADE= CDBBD=DE ADECDB（SAS） AE=BC ; DBC= DEA AE/BC 3 BC=AE由AB+AEBE得：AB+BCBE又BD为中线 BE=2BD AB

5、+BC2BDABCEDD102022/9/28三角形的中线倍长1如图，在ABC中，BD是ABC的中线。三角形的中线倍长线段AB与线段CE的关系为 。若AB=x，BC=y，中线BD的长度的取值范围是 。若AB=m，BD=n，线段BC的长度的取值范围是 。ABCED总结一下，D为BE、AC中点时：中线倍长遇到三角形中线，常用辅助线就是延长中线，使延长线段与中线等长，从而证明三角形全等达到转移边或角目的。D112022/9/28三角形的中线倍长线段AB与线段CE的关系为 三角形的中线倍长如图，在OMN中，MP是OMN的中线， MQ是OMP的中线 ，且OM=OP。求证： MN= 2MQ。QONPMMP

6、N=PMMPN =MPMMP为公共边MPNMPM （SAS）MN=MM=2MQ又OM=OP且P为ON中点OMP=OPM 且PM=OM=OP=PNMPN为OMP的外角MPN=OMP+OPM把、代入得：MPN=OPM+OPM =MPM在MPN与MPM中：证明：延长MQ至M，使MQ=QM,连接PMMQ是OMP的中线OQ=PQ在OQM与PQM中： OQ=PQ OQM= PQMMQ=QMOQM PQM(SAS)O= OPM 且OM=PM122022/9/28三角形的中线倍长如图，在OMN中，MP是OMN的中线， 三角形的中线倍长如图，ABC中，D为AC边中点，E为AB上一点。（2）若DEDF于D，交BC

7、于F，连接EF。求证：AE+CFEFABCDFEG证明：延长DE至G点，使DG=DE，连接GF、GC。在EDF与GDF中DE=DG EDF= GDF=90DF为公共边EDFGDF（SAS）EF=FG 在CFG中有：CF+CGFG 把、 代入得：AE+CFEF又D为AC边中点AD=DC在ADE与CDG中AD=DC ADE= CDGDE=DGADECDG（SAS）AE=CG 132022/9/28三角形的中线倍长如图，ABC中，D为AC边中点，E为AB上三角形的中线倍长如图，AB/CD，E为BD中点，连接AC、CE，若CD=AB+AC.求证：AECE。ACDBEFCEA=CEFCEA+CEF=18

8、0CEA=CEF=90AECEAB=DF且AE=EF又CD=AB+AC即AC=CD-AB=CD-DF=CF在ACE与FCE中AC=CF AE=EFCE为公共边ACEFCE（SSS）证明：延长AE交CD于F点。AB/CDBAE=DFE，B=D又E为BD中点BE=DE在BAE与DFE中B=D BE=DEBEA=DEF（对顶角）BAEDFE（ASA）142022/9/28三角形的中线倍长如图，AB/CD，E为BD中点，连接AC、三角形的中线倍长如图， ABC和DCE分别为等腰三角形，AB=AC，DC=DE，BAC=a，CDE=b，F为BE中点，连接AF,DF。（1）若a=b=90，求证：AF=DF，

9、AFDF。BCFADEG证明：延长AF至G点，使AF=GF,连接AD,DG,EG. F为BE中点BF=EF在AFB与GFE中AF=GFAFB=GFE（对顶角）BF=EFAFBGFE（SAS）EG=AB=AC且GEF=ABFDEG=DEC+GEF=DEC+ ABF=90在ADF与GDF中：AF=GFFD为公共边AD=DG ADFGDF（SSS） ADF= GFD=90 AF=DF且AFDF ACD=180- ACB- DCE=90在ACD与GED中DC=DEACD=GED=90EF=ACACDGED（SAS）AD=DG、ADC=GDE CDG+ GDE=90 CDG+ACD=90 ADG为等腰直

10、角三角形152022/9/28三角形的中线倍长如图， ABC和DCE分别为等腰三角形，三角形的中线倍长如图， ABC和DCE分别为等腰三角形，AB=AC，DC=DE，BAC=a，CDE=b，F为BE中点，连接AF,DF。(2)若a 90，B 90，a+b=180，求证：AFDF。BCFADEGAD=DG在AFD与GFD中AD=GDAF=GFDF为公共边 AFD GFD AFD=GFD=90 AFDF证明：延长AF至点G，使AF=GF，连接EG、DG、AD。 F为BE中点BF=EF在AFB与GFE中 AF=GFAFB=GFE（对顶角） BF=EF AFB GFE （SAS）GE=AB=AC， G

11、EF= ABFACD=180- ACB- DCE=180-(180-a)/2-(180-B)/2=(a+b)/2=90GED=GEF+DEC= (180-a)/2+(180-B)/2=(360-a-b)/2=90即ACD= GED在ACD与GED中 AC=GEACD=GED DC=DF ACD GED （SAS）162022/9/28三角形的中线倍长如图， ABC和DCE分别为等腰三角形，三角形的中线倍长如图，AD是ABC的中线，AE AC、AF AB，且AE=AC、AF=AB。求证：2AD=EF。AF证明：延长AD至P，使PD=AD在PBD与ACD中PD=AD PDB=ADC CD=BDPB

12、DACD（SAS）PB=AC、 C= PBDPB/AC BAC+PBA=180ECDBP又CAE+BAF=90+90=180 CAB+EAF=180 PBA= EAF又AC=AE、AC=PBAE=PB在ABP与FAE中AE=PB EAF= PBAAB=AFABPFAE（SAS）EF=PA=2AD172022/9/28三角形的中线倍长如图，AD是ABC的中线，AE AC、A三角形的高与垂线作垂线后可得直角，结合题目中多个垂直关系，可作垂线证全等。当题目中出现多组互相垂直线段时，往往可通过同角（等角）或余角相等，进而得到证明全等的条件！182022/9/28三角形的高与垂线作垂线后可得直角，结合题

13、目中多个垂直关系，可三角形的高与垂线如图，C=90，BEAB且BE=AB，BDBC且BD=BC，CB延长线交DE于F。求证：F是BD中点。证明：过E作EMCF，交CF延长线于M。ABE=90ABC+EBM=90又EBM+BEM=90ABC=BEM在ABC与BEM中BME=ACB=90ABC= BEMAB=BE ABC BEM（AAS）ME=BC又BC=BD在EMF与DBF中 EMF= DBF EFM= DFBME=BDEMF DBF（AAS）EF=DFF是ED中点ACBDFEM192022/9/28三角形的高与垂线如图，C=90，BEAB且BE=AB，三角形的角平分线与内心如图，BM、CN是A

14、BC的两条角平分线，相交于点P。求证：P点在BAC的平分线上。分析：由角平分线的判定可知，要证明P点在BAC的平分线上，只需证明P点到AB、AC两边的距离相等。从已知可知：P点在BM上，所以P点到AB、BC两边的距离相等，点P又在CN上，所以P点到AC、BC两边的距离相等，从而可以由等量代换可证。证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为点D、E、F。BM是ABC的角平分线且P在BM上，PDAB、PEBCPD=PE(角平分线性质)同理PE=PFPD=PF又PDAB、PFACP点在BAC的平分线上ABCNMDFE202022/9/28三角形的角平分线与内心如图，BM、C

15、N是ABC的两条角平分三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知1= 2，作PA OM、PB ON。结论PA=PB角平分线的性质OPAOPBAASOA=OB3=412OBPN43AM212022/9/28三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知1= 2，作PA 三角形的角平分线向两边作垂线如图，在ABC中， C=90，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离为多少？ACBD解：过点D作DE垂直AB于点E C=90 ACCDAD平分CAB且DE ABCD=DECD=BC-BD=2cmDE=2cm答：点D到直线AB的距离为2cm。E222022/9/28三角形的角平分线向两边

16、作垂线如图，在ABC中， C=90三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知1= 2，3= 4。求证： 5= 6FEGDBC345612MNP证明：过点E分别作线段BF、CD、BG的垂线，垂足分别为M、N、P。1=2， 3=4且MEBG、PE BG、EN CDME=PE，ME=NENE=PE又EN CD、 PE BG 5= 6（角平分线性质的判定）232022/9/28三角形的角平分线向两边作垂线如图，已知1= 2，3= 三角形的角平分线向两边作垂线如图，ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PE=PD。求证：AC=AB。证明：连接AP PDA= PEA=90在RtPDA与RtPEA中PD=PEP

17、A为公共边 RtPDA RtPEA(HL)AD=AE又1=90-CAB=2在ACE与ABD中思路分析：证明线段相等可以放到等腰三角形中，或者放到两个全等三角形中，进而求证对应边相等。1=2AEC=ADB=90AE=ADACEABD(AAS)AC=AB12BEADCP242022/9/28三角形的角平分线向两边作垂线如图，ABC的两条高BD、CE角平分线截长补短从角平分线上一点作角两边的垂线，垂线段相等，顶点到两垂足的距离也相等。借此，可在角的两边上实施截长或补短，甚至既截长又补短达到“移多补少”的目的。其实质是角平分线两侧的“对称”位置的三角形全等。如图，在等腰直角ABC中，C=90，AD平分

18、BAC，若DEAB于E点，则有DC=DE，AC=AE，所以ACDAED，也可得到AB=AC+CD。此时DE把长线段AB截成AE、EB两段，达到截长效果。ABCDE252022/9/28角平分线截长补短从角平分线上一点作角两边的垂线，垂线段相等，角平分线截长补短若作DEBA于点E，DFBC于点F，则可得ADE CDF。故AE=CF，从而将长线段BC上的FC“补”至短线段BA上AE处。ABCDFE如图，BD平分ABC，AD=DC262022/9/28角平分线截长补短若作DEBA于点E，DFBC于点F，则可角平分线截长补短如图，AD/BC，DCAD，AE平分BAD，且E是DC的中点。问：AD、BC、

19、AB之间有何关系？解：AB=AD+BC，理由如下：过点E作EFAB于点F。连接BE。AE平分BAD，且DCAD、EFABEF=DE（角平分线性质）DE=CEEC=EF在RtBFE与RtBCE中EF=CEBE为公共边 RtBFERtBCE（HL）BF=BC同理AF=ADAD+BC=AF+BF=AB即AB=AD+DCADECBF272022/9/28角平分线截长补短如图，AD/BC，DCAD，AE平分B一线三等角如图，ABAC，BDDE，CEDE，AB=AC。求证：DE=BD+CE。证明：ADBEC ABAC，BDDE，CEDE AEC= BAC= ADB=90 1+ 2=90 1=3在AEC与B

20、DA中 AEC= ADB1=3AC=AB AEC BDA (AAS)CE=ADDE=BD+CE132282022/9/28一线三等角如图，ABAC，BDDE，CEDE，AB=A一线三等角ADBEC123ECADB132 三垂直一线三等角 1+ 3=90且2+ 3=90 1= 2又BDDE，CEDE AEC= BDA又 CA=BA AECBDA(AAS) 1+ 3=180- 且2+ 3=180- 1= 2又AEC= BDA= 又 CA=BA AECBDA(AAS) 292022/9/28一线三等角ADBEC123ECADB132 三垂直一线三等角已知， BED与CFD为等腰直角三角形，AB AG

21、，CG AG求证：AB+CG=EF证明：BAEFGCD过D作DH AG于H点 AEB+ DEH= HDE+ DEH=90 AEB= HDE在AEB与 HDE中AEB= HDEBAE= EHDBE=EDAEBHDE(AAS)AB=EH同理CG=HFEH+HF=EF AB+CG=EFH302022/9/28一线三等角已知， BED与CFD为等腰直角三角形，AB 一线三等角已知：BE=DE， A= BED= ,DF=CF, DFC=G= . + =180求证：AB+CG=EF证明：BAEFGCD 在EF上截取线段EH，使EH=AB，连DH 1+ 2=180-且3+ 2=180- 1= 3又BE=DE

22、AEBHDE(SAS) DHE= 又+ =180 DHF= 同理DHFFGC(AAS)HF=CG AB+CG=EFH213 312022/9/28一线三等角已知：BE=DE， A= BED= ,DF=截长补短法求线段数量关系（和差倍半）截长：在长边上截取一段等于短边，然后证明另外两短边相等。补短：在短边上延长一段等于另一短边，然后证明这两短边之和等于长边。322022/9/28截长补短法求线段数量关系（和差倍半）截长：在长边上截取一段等截长补短法求线段数量关系（和差倍半）如图， ABC的角平分线BD，与BCD的角平分线AC相交于O点。 BOC=120。求证：BC=AB+CD。证明：在BC上截取

23、点E，使BE=AB在ABO与EBO中AB=BEABO=EBOBO为公共边 ABO EBO（SAS） AOB= EOB AOB=180- BOC=60 AOB= EOB=60 COE= BOC- EOB=60 COD=AOB=60在OCE与OCD中COD= COE=90OC为公共边OCE= OCD OCE OCD(ASA)CE=CDBC=BE+CE=AB+CDABCDOE332022/9/28截长补短法求线段数量关系（和差倍半）如图， ABC的角平分截长补短：半角模型如图，已知AB=AD， B+ D=180， 2EAF= BAD。求：EF与BE、DF满足什么关系？解：延长DF至点G，使DG=BE

24、B+ ADF=180， 且ADF+ ADG=180 B= ADG在ABE与ADG中AB=ADB= ADGBE=DG ABE ADG BAE= DAG，AE=AG BAE+ DAF= EAF= BADDAG+ DAF=EAF即FAG= EAF在AEF与AGF中AE=AGFAE=FAGAF为公共边 AEFAGF(SAS)EF=GF又GF=DF+DG=DF+BEEF=BE+DFABECFDG342022/9/28截长补短：半角模型如图，已知AB=AD， B+ D=18“手拉手”模型已知：OA=OB、OA=OB、 AOB= AOB。求证： 三角形全等(OAAOBB)手相等(AA=BB)手的夹角等于顶角

25、顶点连手交点得平分。OA（左手）A（左手）B（右手）B（右手）ABBA三大特征1两个等腰三角形2顶角相等3顶点重合。顶点重合352022/9/28“手拉手”模型已知：OA=OB、OA=OB、 AOB=“手拉手”模型证明 三角形全等(OAAOBB)AOB=AOA+AOB AOB=BOB+AOB又AOB=AOBAOA= BOB在OAA与OBB中OA=OBAOA= BOBOA=OBOAAOBB(SAS)OA（左手）A（左手）B（右手）B(右手)ABBA362022/9/28“手拉手”模型证明 三角形全等(OAAOBB)O“手拉手”模型证明手相等(AA=BB)OAAOBBAA=BBOA（左手）A（左手）B（右手）ABBA372022/9/28“手拉手”模型证明手相等(AA=BB)OA（左手）A“手拉手”模型证明手的夹角等于顶角(AA，BB的夹角，即C= AOB)OAAOBB OAP= PBC在OPA与CPB中： OAP= PBC APO= BPC(对顶角)C= AOBOA（左手）A（左手）B（右手）BABACP382022/9/28“手拉手”模型证明手的夹角等于顶角OA（左手）A（左手）“手拉手”模型证明顶点连手交点得平分(OC平分ACQ)过O点分别作OM、ON垂直于AC和BQOAAOBBOM=ON(全等三角形对应高相等)又OMAC、ONBQOC平分ACQ(角