【成才路】高中数学3-2-4第4课时利用向量知识求空间中的角同步检测新人教A版选修2-1doc

1、3.2第4课时利用向量知识求空间中的角一、选择题1平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为a(1,0,1)，b(0,1,1)，则斜线l与平面所成的角为()A30B45C60D90答案C剖析l与所成的角为a与b所成的角(或其补角)，cosa，b|ab|ab12，a，b60.2(08全国)已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则、所成的角的余弦值为()AESD12A.3B.332C3D.3答案C剖析如图，设棱长为1，11AE(ABAS)(DCDSDA)，221|AE|(111211cos60211cos60)432，AESDcosAE，SD|AE|SD|1112

2、(ABAS)SD2(DCDSDA)SD3321233，应选C.3如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为()1A.3B.102103D.2C.55答案D剖析111111AABN2.(AAAM)(AAAM)11111522|AA1|A1M|142.同理，|5.如令为所求角，则CN21225.应选D.cos5|AM|CN|4解法二：如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、1z轴成立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M(1，2，1)，C(0,1,0)，(1,1，1)，N21111AM1，2，1(1,0,

3、0)(0，2，1)，CN(1,1，2)(0,1,0)(1,0，2)故1110101，AMCN22221225|AM|0212，222125|CN|1022.122AMCNcos|555.|AMCN224把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，EOF的大小为()A(0，90)B90C120D(60，120)答案C剖析11)，()，(OE2OAODOF2OBOC112OEOF4(OAOBOAOCODOBODOC)4|OA|.又|2|，|OEOF2OA124|OA|1cosOE，OF122.2|OA|EOF120，应选C.5把正方形ABC

4、D沿对角线AC折起，当A、B、C、D四点为极点的三棱锥体积最大时，直线与平面所成的角的大小为()BDABCA90B60C45D30答案C剖析翻折后A、B、C、D四点组成三棱锥的体积最大时，平面ADC平面BAC，设未折前正方形的对角线交点为O，则DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于()25A.3B.433C.D.36答案D剖析解法一：过F作BD的平行线交AC于M，则MGF即为所求326设正方体棱长为1，MF4，GF2，3sinMGF6.解法二：分别以AB、AD、AA

5、1为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACCA的一个法向量为(1,1,0)，111111F(2，0,0)，G(1,1，2)，FG，1，2，2设直线FG与平面AACC所成角，11123|nFG|则sin|cosn，FG|.|66nFG227从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60，则二面角BPAC的余弦值是()11A.2B.333C.3D.2答案B剖析在射线PA上取一点O，分别在面PAB，PAC内作OEPA，OFPA交PB，PB于1EF，连结E、F，则EOF即为所求二面角的平面角在EOF中可求得cosEOF3.8在边长为a的正三角形中，于，沿折成二面角

6、后，1ABCADBCDADBADCBC2a，这时二面角BADC的大小为()A30B45C60D90答案C二、填空题9如图，在正三棱柱ABCABC中，已知AB1，点D在棱BB上，且BD1，则AD1111与平面AA1C1C所成角的正弦值为_46答案4剖析解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连结MM1、BM.过D作DNBM，则简单证明DN平面AACC.连结AN，则DAN就是AD与平面AACC所成的角1111在Rt中，DAN3sinDANND26.AD24解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OBAC，OE平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，3在正三角形AB

7、C中，BM2AB2，A133，0，0，B0，0，D0，122213AD2，2，1，又平面AA1C1C的法向量为e(0,1,0)，设直线AD与平面AA1C1C所成角为，则sin|cos，|ADe|6.ADe|e|4|AD|解法三：设BAa，BCb，BDc，1由条件知ab2，ac0，bc0，又ADBDBCcb，111设直线BD与平面AACC成角为，则11|ADBM|sin|cosAD，BM|，ADBM1ADBM(cb)2(ab)32ac2ab2bc2|b|4.1111|2()2|c|2|b|222，ADcbbc|AD|2，5212122336|BM|4(ab)4(|a|b|2ab)4，|BM|2，

8、sin4.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为_答案30剖析解法一：连结1，设与1交于O点，连结1.BCBCAOBC1B1C，A1B1BC1，A1B1B1CB1.BC1平面A1B1C，A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角，设正方体的棱长为1.在Rt1中，12，2，AOBABBO22BO21sinOA1BA1B22.OA1B30.即A1B与平面A1B1CD所成的角为30.解法二：以D为原点，DA，DC，DD1分别x，y，z轴，成立以以下图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,1)，C(0,

9、1,0)11设平面11的一个法向量为(x，y，)ABCDnzxz0nDA10，?令z1得x1.则y0nDC0(1,0，1)，又(1,1,0)，(0,1，1)，1nBAB11cos，11.nABn|2221n，A1B60，因此A1B与平面A1B1CD所成的角为30.11以以下图，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD1，则SC与平面ABCD所成的角的大小为_2答案arccos323剖析是平面的法向量，ASABCD6设CS与AS的夹角为.，CSCBBAASASCSAS(CBBAAS)ASAS1.1，|(CBBAAS)2|AS|CS|222|CB|BA|AS|3，33

10、ASCScos3.arccos3.|AS|CS|进而CS与平面ABCD所成的角为32arccos3.三、解答题12在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，3，1，PABCDABCDPAABCDABBCPA2，E为PD的中点求直线AC与PB所成角的余弦值；在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC.剖析(1)成立以以下图的空间直角坐标系，1则A(0,0,0)、B(3，0,0)、C(3，1,0)、D(0,1,0)、P(0，0,2)，E(0，2，1)，3，0，2)AC(3，1,0)，PB(设与的夹角为，则ACPB33714cos，|AC|PB|277AC与PB所成角的余弦值为14.(2)由于N点在侧面内，故

11、可设(0，)，则(1)，由平面，12PAC可得，70，NEAPNEAC0.1(x，1z)(0，0，2)0，即21(x，2，1z)(3，1，0)0.z103化简得1.x6，3x20z1即N点的坐标为(36，0,1)13在正方体ABCDABCD中，E、F分别为棱DC、BC的中点，求平面EFC与底面11111111ABCD所成二面角的正切值剖析以D为原点，1(0,1,0)11，(0，1)，(，1,1)CE2F2nCE0设平面CEF的法向量为n(x，y，z)，则，n0CF111CE0，2，2，CF2，0，1，110yz2y2z，1x2z2xz0令z1，则n(2,1,1)显然平面ABCD的法向量e(0,

12、0,1)，则8ne6cosn，e|n|e|6.6设二面角为，则cos6，tan5.14如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点求证：EFCD；在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论；求DB与平面DEF所成角的大小剖析以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系(如图)，设ADa，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、aaaaC(0，a,0)、E(a，2，0)、F(2，2，2)、P(0,0，a)(1)(aaa,0)0，.，0，)(0，EFDC22EFDC(2)设G(x,0，z)

13、，则G平面PAD.aaaFG(x2，2，z2)，aaaFGCB(x2，2，z2)(a,0,0)aaa(x2)0，x2；(xaaa)，)(0，FGCP22z2aaa2a2a(z2)0，z0.aG点坐标为(，0,0)，2即G点为AD的中点(3)设平面DEF的法向量为n(x，y，z)9aaa)0，(x，y，z)(，nDF0222由得，anDE0(x，)(，0)0.yza2a(xyz)0，2即aax2y0.取x1，则y2，z1，n(1，2,1)a36，cos|BD|n|aDB与平面DEF所成角大小为32arccos6.15(2010湖南理，18)如图5所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D

14、D1的中点求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；在棱C1D1上可否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论剖析解法一：设正方体的棱长为1，以以下图，以AB，AD，AA1为单位正交基底成立空间直角坐标系1(1)依题意，得B(1,0,0)，E(0,1，2)，A(0,0,0)，D(0,1,0)，因此1(0,1,0)(1,1，)，210在正方体ABCDA1B1C1D1中，由于AD平面ABB1A1，因此AD是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE与平面ABB1A1所成的角为，则12|BEAD|sin33.|BE|AD|21即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，

15、得1(0,0,1)，1(1,0,1),(1,1，1)2设n(x，y，z)是平面0A1BE得一个法向量，则由nBA1，nBE0，得xz0，1xy2z0因此xz，y1z.取z2，得n(2,1,2)2设F是棱11上的点，则(1,1)(0t1)CDFt,又B1(1,0,1)(t1,1,0)，因此B1F，而B1F?平面A1BE，于是B1F平面A1BE?B1Fn10?(t1,1,0)(2,1,2)0?2(t1)10?t2?F为C1D1的中点这说明在棱11上存在一点(11的中点)，使1平面1.CDFCDBFABE解法二：(1)如图(a)所示，取AA的中点M，连结EM，BM.1由于E是1的中点，四边形11为正方形，因此.DDADDAEMAD又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，因此EMABB1A1，进而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE2222123.EM2于是，在RtBEM中，sinEBM.BE32即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为3.11在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE.如图(b)所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连结EG，BG，CD1，FG.因A1D1B1C1BC，且A1D1BC，因此四边形A1B