指数函数图像性质经典例题

1、指数函数图像和性质及经典例题【基础知识回顾】一、指数公式部分有理指数幂的运算性质（1）ararars(a0,r,sQ)；（2）(ar)sars(a0,r,sQ)；（3）(ab)raras(a0,b0,rQ)正数的分数指数幂的意义mannam(a0,m,nN*,n1)m11an*m(a0,m,nN,n1)annam二、指数函数1.指数函数的看法:一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R指数函数的图象和性质1在同一坐标系中画出以下函数的图象：1)x1)x（1）y(（2）y(32（3）y2x（4）y3x5）y5x图象特色函数性质a10a1a10a1向x、y轴正

2、负方向无量延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）a01自左向右看，自左向右看，增函数减函数图象逐渐上升图象逐渐下降在第一象限内的图x0,ax1x0,a在第一象限内的图象纵坐标都大于1象纵坐标都小于1在第二象限内的图x0,ax1x0,a在第二象限内的图象纵坐标都小于1象纵坐标都大于1xx11函数值开始增添较函数值开始减小极图象上升趋势是越图象上升趋势是越来越陡慢，到了某一值后增快，到了某一值后减来越缓长速度极快；小速度较慢；【指数函数性质应用经典例题】例1设a是实数，f(x)a2(xR)，试证明：关于任意a,f(x)

3、在R上为增函数2x1证明：设x1,x2R,x1x2，则f(x1)f(x2)(a22)(a222x112x212x212x112(2x12x2)，(2x11)(2x21)由于指数函数y2x在R上是增函数，且x2，x1因此2x12x2即2x12x20，又由2x0，得2x110，2x210，f(x1)f(x2)0即f(x2)，f(x1)因此，关于任意a,f(x)在R上为增函数f(x)axx2例2.已知函数(a1)，x1求证：（1）函数f(x)在(1,)上为增函数；（2）方程f(x)0没有负数根证明：（1）设1x1x2，则f(x1)f(x2)ax1x12ax2x22x11x21xxx12x22axx3

4、(x1x2)，a1a21a2x11x21(x11)(x21)1x1x2，x110，x210，x1x20，3(x1x2)0；(x11)(x21)1x1x2，且a1，ax1xxx0，a2，a1a2f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,)上为增函数；（2）假设x0是方程f(x)0的负数根，且x01，则ax0 x020，x01x2x03(x01)31，即a0 x01x01x01当1x0时，0 x11，3，3，而由a1知ax01，0003012x1x1式不成立；1时，11，而ax0当x0 x010，30，30，x01x01式不成立综上所述，方程f(x)0没有负数根针对性练习

5、1.已知函数f(x)=axb的图象过点(1，3)，且它的反函数1f(x)的图象过(2，0)点，试确定f(x)的剖析式1133x2x222.已知22求的值xx3,x1x323.求函数y=3x2x3的定义域、值域和单调区间4.若函数y=a2xb0且a1，b为实数)的图象恒过定点(1，2)，求b的值1(a12x5.设0 x2，求函数y=42a2xa1的最大值和最小值2针对性练习答案1剖析：由已知f(1)=3，即ab=3又反函数f1(x)的图象过(2，0)点即f(x)的图象过(0，2)点即f(0)=21b=2b=1代入可得a=2因此f(x)=2x1112剖析：由(x2x2)29,1可得xx=711(x2x2)3273113x23xx23x2x1x2=2733x2x2=18，故原式=23剖析：(1)定义域显然为(，)(2)uf(x)32xx24(x1)24.y3u是u的增函数，当x=1时，ymax=f(1)=81，而y=3x22x3003u34,即值域为(0,81当x1时，u=f(x)为增函数，y3u是u的增函数，由xuy即原函数单调增区间为(，1；当x1时，u=f(x)为减函数，y3u是u的增函数，由xuy即原函数单调减区间为1，).4剖析：x=b时，y=a01=22y=a2xb1的图象恒过定点(b2b=1，22)即b=25剖析：设2x=t，x2，1t41原式