高等代数版第十章

1、对 V向量 与子空间U正交 UV 是实内积空间，U V V U UV 12对 V向量 与子空间U正交 UV 是实内积空间，U V V U UV 121U,2 U令UVV1是在子空间U 上的正交投影，称1 为在则称U空间U上的正交投影aUUU3在欧氏空间R3中，设U 1,21(1,2,1), 2 (1,0,在欧氏空间R3中，设U 1,21(1,2,1), 2 (1,0,求向量(1,3,0)U（1）因为R3 U UdimU dimR3 dimU 32任取U x1x2x3，则由 得 1, 2x1 2x2 x3 2 33 (4,3,故3就是U（2）因1,2,R3的基，故(1,3,0)由1,2,31 7

2、 41235令 41 7 , 1122354则11U, 2UU 1。二、向量间的距| | 为向量到的距离，记为d则11U, 2UU 1。二、向量间的距| | 为向量到的距离，记为d()是实内积空间V中任意三个向（1）d(,) d(,（2）d(0 （3）d(,)d(, ) d(,间。任取 V ，则1U是在子空间U上的正Ud(,1)d(,5必要设1U是在子空间U上的正交投影，则 必要设1U是在子空间U上的正交投影，则 1 U ，即1 UU1U1 d(,)| | |(1)(1 )|1|2 |1 |1|2 |1|d(,1d(,1d(, )充分设1U，且对任意Ud(,1) d(, 6假设是在子空间U上的

3、正交投影，则d(,1)假设是在子空间U上的正交投影，则d(,1) d(,U ，d(,)d(,1于是，d(, ) d(,1)d(,1)2|1|2|()( 1)| |2 | 1d(,)2d(,1所以 d(,10，由此得1 。三、最小二乘s v t 1 gt0027W 分析：(ti , si )应满足方程（1 10.12g W 分析：(ti , si )应满足方程（1 10.12g 0021 s00.2v00.2 g22 10.32 g 002s 10.42g 002 s0 0.5v0 10.52g 2求g程组（2s0v0, g 经验算，方程组（2）无解8ti /si /-AX a11x1 a12x

4、2 a1nAX a11x1 a12x2 a1nx a2am1x1am2x2 mbiai2c2 考虑欧氏空间 RmAX Rm为|AX |2d(,AX(c1c2,cn)T U AX | X Rn9X则 U 是Rm 的子空间，且求X 则 U 是Rm 的子空间，且求X 使最小，即是求X 使d(AX)最小，亦即求X使AX是U 上的由前面定理，只须求XAXU，即对 X Rn ，均有AX AX (AX ,AX)(AX )T AX (AX )T AAT(AX ) ATAX AT故X ATAX AT对任意 ARmn Rm，线性可以证ATAX AT一定有解AX是不相容线性方程组，则下列ATAX AT物理学中的 例

5、AX是不相容线性方程组，则下列ATAX AT物理学中的 例y = y0+ xi yi 0312确定此弹簧的倔强倔强系数k把数据代入 y y0 kx2.6k 3.0k 03.5k 0记y0A (0,1,2,TX 记y0A (0,1,2,TX AX ATAX AT因 ATA可逆，故TT(A X由 X是()1.739kg/y 4.3261.739y 4.3261.739推论 AX 是不相容线性方程组，这里ARmn RmrA) = nV 的一个满射，如果对任意的V ) (,V 上的一个正交变换则 取V (+)-=(+)-V 的一个满射，如果对任意的V ) (,V 上的一个正交变换则 取V (+)-=(

6、+)-(+)-= (+)-(+),(+),= (-(+)-)+= (+,+)-2(+, ) -2(+,)+(,) 2(,) +(= (+,+)-2(+, +) +(+,= (+,+)-2(+, ) -2(+,)+(,) 2(,) +(= (+,+)-2(+, +) +(+,= 所以， (+VkR(k)=V 上的线性变换。因此。V ，的正交变换，任取V| |2(,()|2|2|2所以，即 V n V （1） 是正交变换|=|所以，即 V n V （1） 是正交变换|=|将 在标准正交基下的矩阵是正交矩阵若正交变换在标准正交基下的矩阵之行列式例 欧氏空间R2的集合。把R2围绕原点逆时针旋转 角，就

7、R2 上的线性变换，记1(102 (0,1)。该变换把R2 的自然(1) (cos,sin) (cos)1 (sin(2) (sin,cos) (sin)1 (cos)(1) (cos,sin) (cos)1 (sin(2) (sin,cos) (sin)1 (cos)在标准正交基1, 2下的矩阵则T sin T是正交矩阵且|T|1例 欧氏空间R2的集合。在R211，2 则 在标准正交基1,2AV V V ,)=(V V V V ,)=(V 上的一个对称变换则 则 V 是一个实内积空间，V V上的一个线性变换=-2(,)，V则是对称变换为上的镜面反射也是l-例 设1,2V 是一个实内积空间，V V上的一个线性变换=-2(,)，V则