立体几何压轴小题含答案

1、一、选择题1 .如图，已知正方体ABCD - A1 BC1 D1的棱长为4,点E , F分别是线段AB , C1D1上的动点，点P是上底面ABCD内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABBA的距离，则当点P运动 i i i ii 1时，PE的最小值是（）A. 5B. 4C. 4，2D. 2七5【答案】D【解析】试题分析:因为点P是上底面ABCD内一动点，且点P到点F的距离等于点P到平面ABBA的距离， TOC o 1-5 h z i i i ii i所以，点P在连接AiDi，BR中点的连线上.为使当点P运动时，PE最小，须PE所在平面平行于平面AADDPE 二:42 + （4）2 =

2、 2帝，选Di i ，2，考点：i.平行关系；2.垂直关系；3.几何体的特征.如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm, AC = 6cm, BD = 8cm, CD = 2,矛cm，则这个二面角的度数为（）A. 30。b. 60。C. 90。D. i20。【答案】B【解析】试题分析：设所求二面角的大小为。，则=9，因为CD = DB + BA + AC，所以CD2 = （DB + BA + AC ）2 = DB2 + BA2 + AC2 +2DB - BA + 2 DB-AC+2 BA-AC血依题意可知 BD 1 AB,

3、 AC 1AB 顼以 2DB BA= 0,2BA - AC =0一 .所以 I CD |2 =| DB |2 + | BA |2 + | AC |2 -2B即4xi7 =4+62 + 82 - 2x8x6cos 9所以cos9 = 而9巳。兀，期以9 =eo。，选b.考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（） cm 3cm 3A. 3B. 3C. 3cm3D. 4cm3【答案】B.【解析】 TOC o 1-5 h z 一1_ 8试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，.体积U =

4、3Sh = x 22x2 =.考点：空间几何体的体积计算.4.如图，P是正方体ABCD - ABCD对角线AC上一动点，设AP的长度为x，若APBD的面积为 iiii1f (x)，则f (x)的图象大致是()【答案】A【解析】 试题分析：设AC与BD交于点。，连接OP .易证得BD1面ACCi气，从而可得BD1OP .设正方体边长为 i,在 RtAACq 中 cos ZCiAC = = g .在 AOP 中 OA = *，设 AP = x, () x V、)由余弦* V定理可得OP2* V定理可得OP2 = x2 +k 2 7-2 x笠x还=x 2 -待232履 i 八八x+2，所以 OP =

5、2、.ix 2 x + .所以62f (x)=笠:2君f (x)=笠nx 27 x + .故选 A.X 62考点：i线面垂直，线线垂直;2函数图象.5.如图所示，正方体ABCD ABCD的棱长为i，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB，、DD，交于M，N，设BM = x，xG 0，i，给出以下四个命题:平面MENF 1 平面BDDB；i当且仅当x=2时，四边形MENF的面积最小；四边形MENF周长L = f(x)，x e 0，i是单调函数；四棱锥C-MENF的体积U = h(x)为常函数；以上命题中假命题的序号为() .(i) (4)B. (2)C. (3)D. (3

6、) (4)【答案】C【解析】试题分析：(I)由于EF/AC，AC 1 BD，AC 1 BB，则 AC 1 平面BB DD，则EF 1 平面BBDD，又因为EF u平面EMFN，则平面MENF 1平面BDDB ； (2)由于四边形MENF为菱形，_ iS = ：EF -MN，EF = ；2，要使四边形MENF的面积最小，只需MN最小，则当且仅当 2 MENF 2T 一“ .1 一MF = ：( -x)2 +1 f(x) = 4 (x _)2 +1,f (x)在0,1V上不是单调函数；（4） C C-MENF=VF - MC E+ VF-,f (x)在0,1V上不是单调函数；（4） C C-MEN

7、F=VF - MC E+ VF-CNE，11 -C E -1 =- 2AC ME =F到平面C ME的距离为1，VF-C ME11412，又 %cne= 2 -以-1 - 4VF-CNE4 12h( x) =16为常函数.故选（3） 考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面 16.已知三棱柱ABC AA在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面 1直线AB与CC1所成的角的余弦值为（） TOC o 1-5 h z 打灰73（A） 丁 （B）丁（C）丁（D）-4444【答案】D.【解析】试题分析：连接A B ； AA / CC /AAB是异面直线A

8、B与CC】所成的角或其补角；在RtAADA HYPERLINK l bookmark652 o Current Document 11111111中，设 AA = 1，则 AD =,A D =；在 RtABDA 中，A B 2 =；在 AABA 中，12121121+1 - 33cos ZAAB =2 =丁 ；即面直线AB与CC所成的角的余弦值为12 x 1 x 1 414考点：异面直线所成的角.7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该 几何体的外接球的表面积为俯视图俯视图B. 12兀C. 4B. 12兀C. 4昼【答案】D【解析】试题分析：

9、由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方 一二 克 一 .一体，则正方体的体对角线即外接球的直径，2r =3，r =，因此S= 4兀=3兀，故答案为2表面积D.考点：由三视图求外接球的表面积.8.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）DC DP平面DAP 平面AAP11ZAPD的最大值为90。AP + PD的最小值为J2 +很【答案】C【解析】试题分析：. AD DC，AB 1 DC，AD D AB = A，. DC 1 平面 A BCD，DP u 平面 A BCD TOC o 1-5 h z 1

10、 11111111111111因此DC 1 DP，a正确；由于DA 1平面A ABB，DA u平面DAP，故平面DAP 1平面AAP111 111111 11 11故B正确，当0 AP ，所以AE延长父DC于F，过F作FM垂直DC于M .在矩形AAFM中分析反射情况：由4111111一 355 .于AM = 10，第二次反射点为E在线段AM上，此时E M =-，第三次反射点为E在线段FM上，51132此时E2M = 4,第四次反射点为E3在线段A1F上，由图可知，选C.考点：空间想象能力13. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的 半径等于（）

11、A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图，侧视图，俯视图的内切圆半径最小的是正视图 （直角三角形）所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径,贝 g 8 一 r + 6 r = 82 + 62 n r = 2,故选 B.考点：三视图内切圆球三棱柱14.已知二面角 a-1-P 为 60，AB ua，AB l，a 为垂足，CD u&，C e l，ZACD = 135，则异面直线ab与cd所成角的余弦值为A.B. A.B. 4C.4D.【答案】B.【解析】试题分析：如图作BE Ip于E,连结AE,过A作AG / CD，作EG 1 A

12、G于G，连结BG，则BG 1 AG.设 AB = 2a .在 AABE 中，ZBAE = 60, ZAEB = 90, AB = 2a,/. AE = a.在 RtAAEG 中，ZGAE = 90。 ZCAG = 45。, ZAGE = 90。, /. AG = a cos45 a.在 RtAABG 中,2 TOC o 1-5 h z 2_ A Ta 22cosBAG = = = ,异面直线AB与CD所成角的余弦值为二;，故选B. AB2a44考点：1.三垂线定理及其逆定理；2.空间角(异面直线所成角)的计算.15.在空间直角坐标系必兴中，已知A(2,0,0) B(2,2,0), C(0,2,

13、0), D(1,1,寸2).若S ,S ,S分别是三棱锥123D ABC在xOy, yOz, zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A. S = S = SC. S3 = S1 且S3 丰 S2【答案】D【解析】 试题分析：三棱锥D ABC在平面xoy上的投影为AABC，所以* = 2， 设D在平面yoz、zox平面上的投影分别为D2、D，则D ABC在平面yoz、zox上的投影分别为AOCD2、AOAD1，因为2(0,1,72)，D2(1,0j2)，所以 S2 S、= ， 故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16.正方形ABCD的边长为2,点E、F分别在边AB、BC上，且

14、AE = 1，BF = 1，将此正方形沿DE、 TOC o 1-5 h z DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥P DEF的体积是()方形沿DE、v52*寸 2B.C. -D.693【答案】B【解析】 试题分析：解：因为ZDPE = ZDPF = 90 ,所以DP 1 PE,DP 1 PF又因为PE u平面PEF, PF u平面PEF ,且PEPF = P，所以DP1平面PEF在 APEF在 APEF 中，PE = 1,PF = 3,EF = EB2 + BF2 =212 +=2所以 cos 所以 cos /EPF =.13 v5 寸 5 TOC o 1-5 h z 所以 S = PE -

15、 PF - sin /EPF = x 1 = apef 22234所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17.高为五的四棱锥S - ABCD的底面是边长为1的正方形，点S, A, B, C, D均在半径为1的同一球蛀，则底面abcd的中心与顶点S之间的距离为（）A号B.0号 D.；l【答案】A【解析】_试题分析：由题意可知ABCD是小圆，对角线长为五，四棱锥的高为灵，推出高就是四棱锥的一条侧 棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心与顶点S之间的距离.解：由题意可知ABCD是小圆，对角线长为 ，四棱锥的高为 ，点S，A，B

16、，C，D均在半径为1 的同一球面上，球的直径为2,所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以 底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为：故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶 点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力.18.二面角al-P为60, A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面a, P内，AC 11 , BD11,且 AB=AC= a , BD= 2a，则 CD 的长为（）A. 2aB. w5aC. aD. J3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式EF =

17、xd2 + m2 + n2 土2mncos9 ,对于本题中，d = a ,m = a , n = 2 , 9= 60。，故 CD =、：a2 + a2 +（2a）2 2 - a - 2a - cos 60。= 2a .考点：异面直线上两点间距离，空间想象能力.19.长方体的表面积是24,所有棱长的和是24,则对角线的长是（）.A.、富B. 4C. 3 豆D. 2 3【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度.考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.已知棱长为l的正方体ABCD BCD中，E, F, M分别是AB、AD、AA

18、1的中点，又P、Q分别在线段AB、AD上,且AP=AQ=x,0 x1，设面MEF 面MPQ= l，则下列结论中不成立的是（） 1 11 111l/面 ABCD11 AC面MEF与面MPQ不垂直当x变化时，l不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结AC,BD, AC ,BD ,AC,BD交于点O AC ,BD交于点O TOC o 1-5 h z 1111111由正方体的性质知，BD/ BD，AC / AC , AC 1 BD, AC 1 BD11111111因为E, F是AD, AB的中点，所以EF/BD因为AP = AQ，所以PQ/BD HYPERLINK l bookmark221 o

19、 Current Document 1111所以PQ/EF，所以PQ/平面MEF ,EF/平面MPQ ,由 ME、面 MPQ= l，EF u 平面MEF，所以 EF/l，而 EF u 平面 ABCD,l 屯平面 ABCD,所以，l/面ABCD ，所以选项A正确；由AC 1 BD，EF/BD得EF 1 AC而EF/l，所以11 AC，所以选项B正确；连 MB , MD , OM，则 OM / AC ,而 AC 1 AB, AC 1 BD，BD / EF, AB / MF111111所以，OM 1 EF,OM 1 MF，所以OM 1平面MEF，过直线l与平面MEF垂直的平面只能有一个，所以面MEF

20、与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；因为EF/1，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直缪是唯一的，故选项D不正确.考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质.如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AAED是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）动点A在平面ABC上的射影在线段AF上恒有平面AGF上平面BCDE三棱锥A- EFD的体积有最大值异面直线AE与BD不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于AG 1 DE，FG 1 DE .所以DE1平面AFG .经过点A作平面ABC的垂

21、线垂足在AF上.所以A选项正确.由A可知B选项正确.当平面ADE垂直于平面BCDE时，三棱锥A EFD的体积最大，所以。正确.因为BDnEF，设AC = 2。.所以EF = A，E = a，当AF = 2a时，一5、2a A, G + GF (A G = GF = a)2.所以异面直线AE与BD可能垂直.所以D选项不正确.考点：1 .线面位置关系.2.面面的位置关系.3.体积公式.4.异面直线所成的角.5.空间想象力.已知棱长为l的正方体ABCD BCD中，E, F, M分别是AB、AD、AR的中点，又P、Q分 TOC o 1-5 h z 别在线段AB、AD上,且AP=AQ=x,0 x1，设面

22、MEF q面MPQ= l，则下列结论中不成立的是()1 11 111l/面 ABCD11 AC面MEF与面MPQ不垂直当x变化时，l不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结AC,BD, AC ,BD ,AC,BD交于点O AC ,BD交于点O TOC o 1-5 h z 111111111由正方体的性质知，BD/ BD，AC / AC , AC 1 BD, AC 1 BD11111111因为E, F是AD, AB的中点，所以EF/BD因为AP = AQ，所以PQ/BD1111所以PQ/EF，所以PQ/平面MEF ,EF/平面MPQ ,由 MEF面 MPQ= l，EF u 平面 MEF，所

23、以 EF /l，而 EF u 平面 ABCD, l 屯平面 ABCD,所以，l/面ABCD ，所以选项A正确；由AC 1 BD，EF/BD得EF 1 AC而EF/l，所以11 AC，所以选项B正确；连 MB , MD , OM 则 OM / AC ,而 AC 1 AB, AC 1 BD，BD / EF, AB / MF111111111所以，OM 1 EF,OM 1 MF，所以OM 1平面MEF，过直线l与平面MEF垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；因为EF/1，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直缪是唯一的，故选 项D不正确.考点

24、：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质.把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它 与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离(?)半顼D. 3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高则正四面体的高而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1,且三个球心到桌面的距离都为1,故第四个球 的最高点与桌面的距离为-一冷，选A.24.如图所示，四边形ABCD为正方形，QAL平面ABCD, PDQA, QA=AB=PD.则棱锥Q-ABCD 的体积与棱锥P-DCQ

25、的体积的比值是（?？） TOC o 1-5 h z 2:11:1 HYPERLINK l bookmark173 o Current Document 1:2 HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 1:3【答案】C【解析】设AB = a,由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q-ABCD的体积VJm易证PQ面DCQ，而PQ=Jfm，CQ的面积为 旦如， 所以棱锥P-DCQ的体积V2=二f .故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1:1，选C.25.正四面体ABCD，线段AB/平面侦，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体

26、绕以AB为 轴旋转时，则线段AB与EF在平面a上的射影所成角余弦值的范围是（）A.A.，号2B-，11C. 2，1；2D.-，2【答案】B【解析】试题分析：如图，取AC中点为G，结合已知得GF/AB，则线段AB、EF在平面a上的射影所成角等于GF与EF在平面a上的射影所成角，在正四面体中，AB 1 CD，又GE/CD，所以GE 1 GF所以EF2 = GE2 + GF2 TOC o 1-5 h z 当四面体绕AB转动时，因为GF/平面a , GE与GF的垂直性保持不变，显然，当CD与平面侦垂直 时，GE在平面上的射影长最短为0，此时EF在平面a上的射影EF的长取得最小值1，当CD与平面 1 1

27、21一一*21a平行时，GE在平面上的射影长最长为二，EF取得最大值二二，所以射影EF长的取值范围是八， 2 i 121 12典一-，山 1-_，一，人、山，4一口-厂，而GF在平面a上的射影长为定值号，所以AB与EF在平面a上的射影所成角余弦值的范围是巨，1.故选 B考点：1线面平行；2线面垂直。26.已知正方体ABCD - A1 B只中，线段凡AB上（不包括端点）各有一点P, Q，且凡P = BQ，下列说法中，不正确的是（）A、C、P、Q四点共面B.直线PQ与平面BCC1B1所成的角为定值C.I AC |D.设二面角P AC B的大小为。，则tan0的最小值为5【答案】D【解析】试题分析：

28、如下图: 淤/AC 1/AC，. A、C、P、Q四点共面，故a正确；直线PQ兀与平面BCC1B1所成的角为/尸泮广-为定值，故B正确；P在A1B1上移动，则ZAAC ZPAC ZBA 而 ZAAC = -, ZB AC = -, . - ZPAC -,故 C 正确.面角P AC B的平面角即为面PQCA面角P AC B的平面角即为面PQCA与面ABC 所成的夹角，P从B移动到A （不在A ,B处）, j i-n-i/ / I NA hj/ij， /、 1 q夕 aj 1 I i*- 17 1 /，二面角在增大，但无最大值和最小值，故D不正确，则选D.考点：1.线面平行；2.线面角；2.二面角的

29、平面角.27.如图，正方体ABCD A1BC?的棱长为J3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面 与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）5兀2兀7兀A.B.C.兀D.636【答案】A【解析】试题分析：由题得，圆弧GF在以B为圆心，半径为BG的圆上，而圆弧EF在以A为圆心，半径为AE=2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark203 o Current Document 的圆上.故 GF =1 - 2k- BG = 1 - 2兀侦AG 2 - AB 2 =-，由于 cos ZAAE = AA-=豆 ZAAE = 30。, 442 于 i AE 21，

30、,. 一一 3Ook一5兀故 ZEAF = 30。,则 EF =- 2兀 2 = ?，所以 GF + EF =-,故选 A. HYPERLINK l bookmark206 o Current Document 36Oo36考点：圆弧长度的计算球28.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：AC BD ACD是等边三角形;AB与平面BCD所成的角为60;AB与CD所成的角为60.其中错误的结论是A.B.CD.【答案】B【解析】试题分析:如图，取AC中点E,连接DE,BE,AD = DC, AB = BC, , DE 1 AC, BE 1 AC, DE c BE =

31、 E :. AC 1 面DEB ,故AC BD，正确：显然，AC = J2AD = J2DC , ACD不是等边三角形，取CD的中点H,取BC中点F，连接EH，FH，则EH = FH = EF，AEFH是等边三角形，故AB与CD所成的 角为60由知AB与平面BCD所成的角为60考点：直线与平面垂直的判定，两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角29.如图，用一边长为、；2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4兀的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为B3BC.2【答案】D【解析】试题分析：蛋巢的底面是边长为1的正方形，

32、所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.鸡蛋的表13_,面积为若4兀，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为刁=、：1-4 =.而截面到底面的距离即为1v3 1三角形的高5,所以球心到底面的距离为+号.考点：空间几何体及其基本计算.T T T T30.设 OABC 是四面体,Q 是ABC 的重心。是 OG上一点，且 OG=3GG,若G-=x-+*-*+zC,则（x,y,z） 为（）（A）（-,一,-）0）（-,-,一）(C)(-,一,-)(D)(-,一,-)【答案】A【解析】G.= GTT T=.-Ux”-_B+=C) 3 ZT j. T TT T=二+：(F- 二)+(=.-.)3三(

33、.-.+B+C),3T TT T T由 OG=3GG知；=一 -.= (l.+ lE+,_,_),i 11.（x,y,z）=（【,：）.31.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（）【答案】D【解析】在A图中分别连接PS,QR,易证PSQR,P,S, R,Q共面.在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形，如图，故P,Q,R,S四点共面.在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ RS,.P,Q,R,S共面.D图中PS与RQ为异面直线，.P,Q,R,S四点不共面，故选D.32.设0 - ABC是正三棱锥，G是AABC的重心，G是OG上的一点，且OG = 3GG

34、、，若0G = xOA + yOB + zOC，则(x, y, z)为()141，4,4,4)B.141，4,4,4)B.C.f1 1 1，3,3,3)D.【答案】A【解析】试题分析：由G是OG1上一点，且OG = 3GG1，可得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark242 o Current Document 1_又因为G1是aabc的重心，所以AG1 = 32（AB+AC）而OG = xOA + yOB + zOC，所以x=, y =二z，所以（x, y, z） = J-J-J-），选 A. HYPERLINK l bookmark249 o Current

35、 Document 444 4 4考点：1.空间向量的口减法；2.空间向量的基本定理.33三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为（）8 二-A. 3B. 4*3C.2 3 D. 4打或 3 J3 【答案】D【解析】分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况.34.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若ZA1AB=ZA1AD=60o，且 A1A=3,则A1C的长为（）A.七5B. 22C.-14D. v!7【答案】A【解析】 试题分析：法一：因为AC = AA + AB + BC = AA + AB + AD， TOC o 1-5 h z

36、HYPERLINK l bookmark543 o Current Document 111所以 Af2 = AQ2 + AB2 + AD2 + 2A】A AB + 2 A】A AD + 2 AB AD，即 AC2 = 9 +1 +1 + 2x1xcos120 + 2x 1x 1xcos120 + 2x 1x 1xcos90 = 5，故C = 5。法二：先求线AA和面ABCD所称的角为45，AC = 2，在AACA中 HYPERLINK l bookmark276 o Current Document 1一所以qC =侦5。故a正确。AC2 = AA+ AC2 -2AA1 - ACcos45

37、= 9 + 2-2x3x2x丰=5 考点：1线面角；2余弦定理；所以qC =侦5。故a正确。35.棱长为2的正方体ABCD - ABCD的内切球的表面积为（）1111B. 16B. 16C. 4兀D32兀【答案】C【解析】试题分析：设球的半径为r，则由题意，得2r = 2，即r = 1，.内切球的表面积为4兀，故选C. 考点：球的表面积36.正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都为2, E，F，G为AB，AA1，AC的中点，则B/与平面GEF所成 角的正弦值为（）.3A，53A，55B，63*6d,1q-BF =( BF =( 2,0，1)，EF =(1,0,1)，FG2,乎17-!,2 k7【

38、答案】A【解析】如图，取AB的中点E，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz.则 E(0,0,0)，F(-1,0,1)，B(1,0,2)，A( 1,0,2)，C(0，3，2)nEF= - x + z = nEF= - x + z = 0,设平面GEF的一个法向量为n = （x, y, z）,由nFG=1 x + 吏 y + z = 0, L = 5x22令x=1,则n = （1,* , 1）,设B1F与平面GEF所成角为仇则sin 9=lcosn, B F|=1=1 n BF 5L_37.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1ClDl中，AA1 = 2, AB=BC=1,动点P, Q分别在线段C1D

39、, AC上， 则线段PQ长度的最小值是（.C.【答案】C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A（1,0,0）, B（1,1,0）, C（0,1,0）, C（0,1,2）,设点 P 的坐标为（0,兀 2少 4E0,1,点 Q 的坐标为（1一,即0）,同0,1,PQ =气,：（1一旦）2+（人一旦）2+4 人 2 =2 旦 2+5人 2 2人旦一2日+11 、 ，9 ,5、 ，4152侧棱垂直于底面，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3,则如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，BB与平面AB1C1所成的角为（兀A，g【答案】A【解析】记点B到平面AB的距离为d, BB侧棱垂直于底面，底面是边

40、长为2的等边三角形，侧棱长为3,则如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，BB与平面AB1C1所成的角为（兀A，g【答案】A【解析】记点B到平面AB的距离为d, BB与平面AB所成角为6,连接BC,利用等体积法，VA_BB1C1出 17 111,口 3 p 八 d 1兀= VBAB1C1，即三 xv3 xsx2x3=a dx-x2%2：3，得 d=,则 sin 6=.，所以 6=二, B-AB1C132322BB 26如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A1B1C1, CA = CC=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角）.11兀 B.4兀C. 一3的余弦值为（C.W).兀D,23D，5【

41、答案】A【解析】设CA = 2则 C(0,0,0),【解析】设CA = 2则 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,0,1),C(0,2,0), B(0,2,1),可得AB1 =(-2,2,1), BC1 =（0,2,1），由向量的夹角公式得cos AB1BC1、&-=.V 4+4+1 x x. 0+4+1*550+4140.如图所示，在正三棱柱40.如图所示，在正三棱柱ABCAlBlC中 C1AB的距离为（）.AB=1.若二面角CABCl的大小为60,则点C到平面A.1B.2C.A.1B.2C.D. 1【答案】ACD，则ZCDC1是二面角C-CD，则ZCDC1是二面角C-AB-C1的平

42、面角.因为AB=1,所以CD=,3=3CD 所以在 RtDCC中，CC1 = CDtan 60=项 x、$3 = , C1D=cdc = v3 -。1设点C到平面C1AB的距离为h,工z 1 1 T 1 13 3由 VC C1AB=7C1 -ABC, 得 3 xx1 3 h= 3 xx1x ,3解得h=.故选A441 .在正四棱锥P-ABCD中，PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60, E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A. 90。B. 60。C. 45。D. 30。【答案】C【解析】试题分析：连接AC,BD交于点O，连接OE, OP。因为E为PC中点，所以OE PA，所以

43、ZOEB即为异面直线PA与BE所成的角。因为四棱锥P- ABCD为正四棱锥，所以PO 1 面ABCD ,所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以ZPAO即为PA与面ABCD所成的角，即ZPAO =60 ,因为PA = 2 , 0所以OA = OB = 1, OE = 1。所以在直角三角形EOB中ZOEB =45 ,即面直线PA与BE所成的角为 045。考点：1异面直线所成角；2线面角；3线面垂直。42.长方体ABCD-A1BiCiD1中，AB=AA=2, AD=1, E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角则 A则 A(1,0,0), E(0,2,1), B(1,2,0), C1(0,2

44、,2),BC 1 =(1,0,2), AE =(1, 2,1).cos cos BC 1, AEAE BCv30ae| 陀的余弦值为().A.、丽B.2tC.10101010【答案】B【解析】建立坐标系如图所示.所以异面直线BC所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为、画To43.若P是平面a外一点，A为平面a内一点，n为平面a的一个法向量，则点P到平面a的距离是IpA n|pa nAPA nA. PA nB.L：C.-D.-rfrnPAn【答案】C【解析】PA nn，故C正确.n，故C正确.试题分析：设PA与n的夹角为0，则点P到平面a的距离为 TOC o 1-5 h z 考点：空间向量、向

45、量的运算. A-*F444.棱长均为3三棱锥S - ABC，若空间一点P满足SP =尤SA + ySB + zSC （x + y + z = 1）则SP的最小 值为（）.V 63An 6B、一C、D、1 HYPERLINK l bookmark297 o Current Document 36【答案】A【解析】试题分析：根据空间向量基本定理知，P与A,B,C共面，则SP的最小值为三棱锥的高，所以h = ：32 -（3 ）2 = ,6，故选 A.考点：1.空间向量基本定理；2.正四面体的应用.45 .若正方体ABCD - ABCD的外接球O的体积为4岳，则球心O到正方体的一个面ABCD的距 ii

46、ii离为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】试题分析：外接球O的直径2R为正方体的体对角线，因为4兀R3 = 4拓K，所以R =。设正方体边长为a，则3a2 =Gq），所以a = 2，ABCD所在截面圆的半径为r =已二2L =技，所以球心O到正方体的一个面ABCD的距离d = ：R2 - r2 = p3- 2 =1。故A正确。考点：正方体外接球，球的体积公式，点到面的距离。46 .在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（）【答案】D【解析】试题分析：由正视图、俯视图，还原几何体为半个圆锥和有一个侧面垂直于地面的三棱锥组成的简单组 合体，故侧视图为D.

47、考点：三视图.247.如图，正万体ABCD-A1B1C1D.1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E, F,且EFy，则下列结论中错误的个数是（） .（1） ACXBE.(2)若(2)若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为（3）三棱锥A-B EF的体积为定值. 在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条. TOC o 1-5 h z A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】试题分析：（1）连接BD ,由AC 1 BD, AC 1 DD，可知AC 1面BDD B，而BE u面BDD B ,.

48、HYPERLINK l bookmark182 o Current Document 11 11 12AC 1 BE,（1）正确；（2）由AA 面BDDB，则尸点到面BEF的距离等于A到面BDD B的距离二厂， 11 11 12（2）正确；（3）三棱锥A-BEF中，底面积是定值，高是定值，所以体积是定值，（3）正确；（4）在AC上任取点P，过点P和直线DD1确定面a，设面a面BCC1 B= l，则l与直线B1C1必有交点G （若I BC，则B1C1。口1,矛盾），则直线PG就是所画的直线，因为点P的任意性，所以这样的直线有无数条，（4）正确；（5）设CC1的中点为O，过点O与AC1所成的角是4

49、00的直线，是以与AC1平行的直 线为轴的圆锥的母线所在的直线，过点O与面BDD1 B1所成的角是500的直线，是以过点O且与面 BDD1 B1垂直的直线为轴的圆锥的母线，两圆锥交于两条直线，（5）正确.考点：1、线面垂直的判定；2、异面直线所成的角；3、直线和平面所成的角.二面角a-l-P等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面a、P内，ACl，BDl，且 TOC o 1-5 h z AB=AC=BD=1，贝CD 的长等于（ ）A.戒 B.把/ C. 2 D. */【答案】CV【解析】略 .*/如图所示，在棱长为1的正方体ABCD - ABCD的面1111对角线A1B上存在-点

50、P使得AP+D1P取得最小值,则此最小值为（A. 2B. ”；，C. 2+克D.顼2+百【答案】D【解析】解：把对角面A1C绕A1B旋转，使其与AAA1B在同一平面上，连接AD1,50. 8、已知等腰直角三角形ABC中，匕B=&0, AC, BC的中点分别是D, E,DE把该三角形折成直二面角，此时斜边AC被折成折线ADC,则匕ADC等于（）A. 150 B. 135 C. 120 D. 100【答案】C【解析】本题考查平面图形的翻折，线面垂直，空间想象能力.在等腰直角三角形ABC中，匕B=90, AC, BC的中点分别感D, E,所以DE BC;在折成直二面角图形中CE 1 DE，因为平面C

51、DF平面A）EB,所以CE 平面40匹8,所以CE 顼设等腰直角三角形ABC的边孩至。2，则指皇2克,CE = DE = 1, AD = CD =、还, TOC o 1-5 h z A D ? C 广一 DAF = AB2 + BE2 = ；5,所以 AC =AE2 + CE2 = .；6;在 AADC 中，取 AC 中点 F,连CF 1 AC .6 ,气DF，则DF 1 AC, sin /CDF = 一 = -2一 =二,CD CD 22/CDF = 600,则/ADC = 2/CDF = 1200.故选 C第II卷（非选择题）评卷人得分评卷人得分评卷人得分请点击修改第II卷的文字说明二、解

52、答题（题型注释）三、新添加的题型四、填空题 TOC o 1-5 h z 51.如图所示的一块长方体木料中，已知AB = BC = 2, AA1 = 1,设F为线段AD上一点，则该长方体中经过点A1,F,C的截面面积的最小值为.6【答案】5侦5【解析】试题分析：如图所示，经过点A1,F,C的截面为平行四边形CFA1E设=2人，则CF = + +(2一泌，为了求出平行四边形快的高，先求口ACF的高h由等面积法可得 1 ：2设=2人，则CF = + +(2一泌，为了求出平行四边形快的高，先求口ACF的高h由等面积法可得 1 ：22+(2-2人)2-h = 112X 2 2Xn hf = .，又由三垂

53、线定理可得平行四边形；1 + (1 -X)2、22X/CFAE 的高 h = S = CF h = CF = (22 + (2-2X 、5X2 2X + 2 = 2(5X2 2X + 2，当且仅当 X = 1 时 5考点：几何体的截面面积的计算1 + (1一人52.如图所示的一块长方体木料中，已知AB = BC = 4, AA = 1,设E为底面ABCD的中心，且AF = X AD,(0 X 2)，则该长方体中经过点 E, F的截面面积的最小值为125 【答案】飞一【解析】试题分析：如图所示，经过点A1，E,F的截面为平行四边形FA1HN设 AF = 4 人，则 NF = J 42 +(4 -

54、派，为了求出平行四边形FA HN的高，先求ANF的高h ，由等 1面积法可得1 e42 + (4-8X)2 h =1 4 4X n h =, 耿、=，又由三垂线定理可得平行四边形22：1 + (1-2X)2FAHN 的高h =-h2+1 =1(4X、2一 20X 2 - 4X + 2，+1 = ，/，因此平行四边形FA HN的面积1 + (1-泌1S = NF h = (42 + (4 8X.、20X2 4Xt2 = 4.20X2 4X + 2，当且仅当 X =时1 + (1-2X10考点：几何体的截面面积的计算；三棱锥D - ABC的体积为53.三棱锥P- ABC中，PA 1平面ABC, A

55、C BC ；三棱锥D - ABC的体积为下图所示)，则AD与平面PBC所成角的大小为.【答案】:，【解析】 试题分析：由题设及正视图可知AD1 PC，又由PA 1平面ABC, AC 1 BC得BC 1 AD，所以AD 1兀1 116平面PBC，即AD与平面PBC所成角为5 .三棱锥D - ABC的体积V = - x - x 4 x 4 x 2 = 考点：1、三视图；2、三棱锥的体积.54.长方体ABCD - ABCD中，已知AB = AD = 2,明 =3，棱AD在平面a内，则长方体在平面 a内的射影所构成的图形面积的取值范围.【答案】4 S 2 13.【解析】试题分析：四边形ABCD和ADD

56、1 At的面积分别为4和6,长方体在平面a内的射影可由这两个四边形在平面a内的射影组合而成.显然，Smin = 4 .若记平面ABCD与平面a所成角为0 ,则平面ADD1A1与平面 所成角为-0 .它们在平面a内的射影分别为4cos0和6cos(-0) = 6sin0，所以， TOC o 1-5 h z a22-0 = ,S = 4cos0 + 6sin0 = 2v13sin(0+)(其中，tan= )，因此，S = 213，当且仅当2 时 HYPERLINK l bookmark215 o Current Document max取到.因此，4 S 2(13 .考点：三角函数的化简和求值.5

57、5.如图1，已知点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD-A1 BgD的棱AA、BB、DD1的中点， 点M、N、P、Q分别在线段AG、CF、BE、C1D1上运动，当以M、N、P、Q为顶点的三棱锥Q-PMN 的俯视图是如图2所示的正方形时，则点Q到PMN的距离为.【答案】a【解析】试题分析：根据俯视图可知，点尸,Q,M,N的位置如下图所示.易知点Q到平面PMN的距离即为正方体的高a .考点：1、空间几何体及其三视图；2、点到平面的距离.,2。256.【改编题】已知A ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cos A = ，BC=1，AC=3，则球O的表面积为1&，三棱锥O- ABC的体积为.

58、14【答案】 【解析】试题分析：设球的半径为R， A ABC的外接圆半径为1，球心0到截面ABC的距离为d，球O的表面积为4兀R2=16-，得球的半径为R = 2，积为4兀R2=16-，得球的半径为R = 2，由 cos A =二一得，sin A =飞，由 =2r，得3 sin Ar = a =- = 3，球心0到平面ABC的距离d = VR2 -r2 =4一9 =土7，由余弦定理得 2sin A 2 x - 24212 = BC2 = AC2 + AB2 - 2AC x AB cos A = 9 + AB2 - 2x 3AB x 2，解得 AB=2 0）绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为.9

59、4【答案】1位【解析】 试题分析：V = 2134k（1-兰）dx = 8兀（X X3）3 = 16兀09270考点：旋转体体积59.如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB = 1，BC = 2，分别以A、D为圆心，1为半径 作圆弧EB、EC （ E在线段AD上）.由两圆弧EB、EC及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一 周，则所形成的几何体的体积为.、2兀【答案】刁-【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为，母_44兀线长为2；体积为匕=Kr2h = 2兀；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为V2 =与兀r3 =；则 所求几何体的体

60、积为2兀V = V - V =.123考点：旋转体的组合体. 一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为|/2，则它的表面积为.【答案】4 + 4再【解析】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2。，则Sabcd = 4a2,h = PB2 -BO2 =4。2 2。2 = J2。，则 V = 3x4很a3 = 4)角后不能回到原位置，得到的新正方体必定与原正方体不重合.满足题意的直线PQ共有三种情况：如图1，当PQ为正方体的体对角线时，正方体绕PQ旋转身,4；时，能与原图重合.这样的PQ PQ 有4条；如图2,当PQ穿过正方体对面中心时，正方体绕PQ PQ旋转；,兀，琴 时，能与原图重合.这样的P