空间角与距离

1、学高考总复习：空间角与距离点编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：辛文升知识网络1雨目标认知京考试大纲要求：扇能用解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，能求距离 重点：二线线角、线面角、二面角及点线、点面、面面距离等的求值问题 难点：商正确作出异面直线所成的角，斜线与平面所成角以及二面角的平面角.知识要点梳理1函知识点一：异面直线所成角扇（1）定义：已知两条异面直线白，经过空间任一点。作直线冰“盆护/作，”，护所 成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线“档所成的角（或夹角）.为了简便，点。通常取在异面直线的一条上.(2)(2)异面直线所成的角的范围：与(3)(

2、4)说明：异面直线所成的角为直角时，则称两异面直线互相垂直. 求异面直线所成角的步骤：作证算求异面直线所成角的方法：平移法、向量法、补形法等知识点二：线面角，必（1）定义：斜线和平面所成的角是指平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是（0,5）；直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角； 直线垂直平面它们所成角为5.打（2）直线和平面所成角的范围：0,.说明：直线和平面所成角为直角时，则直线垂直于平面.（3）求直线和平面所成角的步骤：作证算 知识点三：二面角薛：（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半 平面；从一条直线出发的

3、两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面.若棱为，两个面分别为冬的二面角记为女一一 ；（2）二面角的平面角：过二面角的棱上的一点。分别在两个半平面内作棱的两条垂线。&。气则月叫做二面角歹的平面角；（3）二面角的平面角范围：成，I*】；说明：二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互 相垂直.（4）求二面角的步骤：作证算（5）作二面角的平面角的方法：定义法：在棱上找一点O，以O为端点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 组成平面角.垂面法：在棱上找一点O,经过O点画垂直于棱的平面与两个面的交线组成平 面角.特殊图形中的中线法：二面角

4、A-LM-B中AM=AL，BM=BL，则取LM的中点 O，连结 AO、BO，ZAOB是二面角的平面角.三垂线定理(或逆定理)法：从二面角的一个面内选一个特殊点A,由A向另 一个平面作垂线，垂足为B，再由B向棱作垂线交于C，则ZACB为该二面角的平面角.面积射影法：如果一个多边形在一个平面内的射影是多边形，且这两个多边形所在平面的二面角为部则& 知识点四：空间距离1扇异面直线的距离：两异面直线间公垂线段的长度. 点到平面的距离：已知点尹是平面此外的任意一点，过点尹作，垂足为 虬则山唯一，则叫是点尹到平面的距离.即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做 这一点到这个平面的距离.直线到与它平行平面的

5、距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离叫做 这条直线到平面的距离(转化为点面距离).两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离规律方法指导如1、角二异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相 交直线所成的角.忌求异面直线所成的角或求角的余弦值时，一定要注意角的范围是 2，不要将 余弦值求为负值.求直线和平面所成的角，关键是作出斜线在平面内的射影，将直线与平面所成的角转化成线线所成的角来度量.（4）两平面相交所成二面角，一般有两个，要注意所求的是哪一个2、距离疝（1）异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离（

6、2）线面距离，面面距离常化归为点面距离.（3）求点到平面的距离的方法：直接法：先作出表示距离的线段，再证明它就是所求的距离，然后再计算间接法：用等体积法或者转化法.转化法即进行点面、线面、面面之间的转化， 直到求出距离.1.在正四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求异面直线AF、CE所成角 的余弦值.艾思路点拨：求异面直线所成的角，可通过过某一点作异面直线的平行线，转化为求相交 直线所成的角.这里因为E为AD的中点，故可取FD的中点G，由三角形的中位线定理知 EG/AF，从而求AF、CE所成的角.解析：如图，连DF，取DF的中点G，连GE、GC，/ E为AD的中点，. EG/AF，

7、/.ZGEC即为AF、CE所成的角.设正四面体的棱长为a,则CE=AF=DF=乏a,73 77.EG=FG= 4 a,在RtA GFC中依=如宜+川成=4 a.GE2 + EC2 - GO2 2=3.在 ECG中，由余弦定理可得：cosZGEC=2GE EC .异面直线AF、CE所成的角的余弦值3 .=3总结升华：作异面直线所成的角常用的方法平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线或利用 中位线；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.一般来说，平移法是最常用的，应作为求两异面直线所成角的首选方法;8 冷,5= : 2向量法：用夹

8、角公式刻举一反三：【变式1】如图，在正方体勘中，&凡G丑分别为乳%应月攻，i，Wi的中点，则异面直线因与&丑所成的角等于（）A. 45。 b.盯 C.町 D. 1 河【答案】B；【变式2】正方体AC1中，E、F分别是AB、BB1的中点，则AR与QF所成的角的余 弦值是（）1也2%国A、B、C、亏D、【答案】C；设正方体的棱长等于4a，在攻耳上取点产，使绰*耳，连接叩、片，则PF / A 占，所以尖叫就是异面直线与G所成的角或补角，营中，牛片与*, 妇ABCD-A.B.C.D. , AA = 2AB【变式3】如图，正四棱柱I】1中，则异面直线马 与 1所成角的余弦值为（）12A乙 B 5 .【答

9、案】D；类型二：直线与平面所成角 薛：举一反三：【变式1】已知正三棱柱如一乱跖1的侧棱长与底朋1与心1司所成角的正弦值等于（）A.y/WB.C.DA.y/WB.C.D.【答案】A【变式2【变式2】如图，在正三棱柱ABC-ABC中，侧棱长为龙，底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角是【答案】【变式3】已知： ABC中，/BAC=90, BC a A a , AB、AC与平面a所成 的角依次是30和45，ADBC，D为垂足，求：AD与平面a所成角的大小.【答案】作AG作AGa , O为垂足，连结OB、OC、OD,贝0 AOOB, AOOC, AOOD, BO, CO, DO 为

10、AB、AC、AD 在a 内的射影. .ZABO=3O,ZACO=45,ZADO 为所求 AD 与a 所成的角.设 AO=a,则 AB=2a, AC= a,.NBAC=90 , .BC=a,VADXBC, .AB AC=AD BC,2a . -fla _ 2-73.AD=而 3._ a _ 73AD 2/3 - 2Z在 RtA AOD 中，sin/ADO=3./ADO=6O ,即AD与平面a所成的角为60 ,类型三：二面角云3.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1 中，AB=2, BC=BB1 = 1, E 为 D1C1 的中 点，求二面角EBDC的正切值.扇解法一：VABCDA1B1C1D1

11、 是长方体，.作EF面BCD,而E为逐1的中点，则F为CD的中点，过F作FMXBD交BD于M,连EM,由三垂线定理知EMXBD,Z.ZEMF就是二面角EBDC的平面角，又VAB = 2, BB=BC=1, EF=1,FM=1X %厅=5 tan tanZEMF=解法二：VSABDF=SAEBD-Cse-BDFM而 SABDF= 2又 BD=必，ED=也，BE=.ED2+BE2=BD2/.DEEB 故 S&BD= 2 ED EB= 2cos0 =七偌；tan0 =必.总结升华：二面角平面角的作法及求法：作出二面角的平面角，主要运用三垂线定理或其逆定理，还可用定义法、垂面法、公 式法（异面直线上两

12、点间距离）.求二面角，可用射影法：若多边形面积为S，它在一个平面上的射影的面积为S。，若 该多边形所在平cos 8 =面与其射影所在平面构成的二面角为。，则售举一反三：【变式1】正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC 所成二面角的余弦值.【答案】设B1E，BC的延长线交于点G，连结GA，在底面ABC内作BHXAG，垂足为H，连结 HB1，则B1HAG，故ZB1HB为平面ABR与平面ABC所成二面角或其补角的平面角.在RtAABG中，=七侦!，则s端咤，即+宓学cosZ51JV5 =-HBy 3 ，1 故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为3【变式

13、2】如图，在三棱锥 卜况 中，侧面 W 与侧面甜均为等边三角形， 至必= 90。，。为中点.证明：平面如(II)求二面角4 范的余弦值.8【答案】(I)由题设藤二二沂源=SA，连结OH, 如。为等腰直角三角形，OA = OB = OC = SA所以2 ，且，RO - 幽又电配为等腰三角形，故SOJLBC，且2从而口逐+跖虹幻.所以曷A为直角三角形，龄上如,又应。淮。=0 所以(II)取中点垃，连结血，”，由（I）知 = 朗nc,得血项，血冒二 Z0M4为二面角 A8C - B的平面角.由航上眈，航皿0= 0得HOL平面蹈CAM =立混所以 AOLOM, 又2,sm ZAMO =半=也故血盘3

14、.豆所以二面角ASCB的余弦值为3 .类型四：空间距离 必4.已知奶知是边长为4的正方形，占、尸分别是彤、的中点，&”垂直于ABCD所在平面，且GC=2,求点B到平面EFG的距离.艺解法一:如图：为了作出点3到平面占FG的距离，延长殖交破的延长线于M,连结GM，作BNLBC，交于村， 则有跚皿，测1平面瑟%.作珀瑚，垂足为Q,则珀坪面酣气于是6是点3到平面占FG的距离.BN=- 厂 PN= ./BP2 + BN2 =易知 3*=局由奕伽“矿蹄得奕=咎.解法二:如图解法二:如图过B作BPVEF，交理71的延长线于卢，易知即项， 这就是点B到二面角O-S-G的棱占尸的距离.连结应交占尸于H，连结G

15、H，易证GHC就是二面角C-EF-G的平面角.GC= 2 AC = 4 心=也 ，质=3质=3也 GR =屈，解法三:如图，作职1GM，R为垂足.又GM1踮，易得平面Bg平面/G， 占#为它们的交线，所以/或就是占3与平面占FG所成的角3.BR=710，在凡阻脂中，箜顷。在凡阻脂中，箜顷。BR=710 EB= 2 ，所以 础11，于故所求距离为解法四:设点月到平面&FG的距离为， = Lscg另一方面又可得这个三棱锥的体积 3，.2 血= l.2.2泌=所以有33 ，解得 H .总结升华：求点到平面的距离的方法：确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质.转化法.即化

16、归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面 距.举一反三:【变式1】如图，在正三棱柱ABC-AiG中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1 的距离为.【答案】由等体积法可得点B1到平面ABC】的距离为【变式2】正三棱锥高为2,侧棱与底面所成角为4罗，则点H到侧面尹月。的距离是.【答案】设P在底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，旦二2设底面边长为a,则& 2，.&= 2右设侧棱为b则b=2也，斜高=必.由面积法求H到侧面尹3的距离:携 5 .类型五：综合应用点5 .如图，四面体ABCD中

17、，O、E分另ij BD、BC的中占 CA = CB = CD= BD = 2, AB = AD =也.,求证：AOL平面BCD；求异面直线AB与CD所成角的大小;求点E到平面ACD的距离.解析：BO = DO, AB = AD-AOYBD， BO = DO, AB = AD-AOYBD， BO = DO,BC = CD COYBD，-7- KAOC | |, r , t A-nZg AO = L CO = -J3. E AC = 2,在中，由已知得，而 成+1检，.至冗二对，即如宜明rw。平面go(II)取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知财圳觇0E M.直线OE与EM所成

18、的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 TOC o 1-5 h z EM = -AB = ,OE = -DC = , 在圣顺中， 222OM = -AC = :0M是直角山以7斜边AC上的中线，.2cosZOW = V2ai_L：r：os.异面直线AB与CD所成角的大小为4(III)设点E到平面ACD的距离为攻rr rr一城区满=一.且0.团ACD5-LACDrr rr一城区满=一.且0.团ACD5-LACDCA = CD = 2,AD = 2.在而 AO = 而 AO = L R田班=2X 4- *，= .点E到平面ACD的距离为举一反三：【变式1】如图，在直三棱柱航。-中，4月C 二 9。口

19、，昵=2 ,庭=4 ,8T踮分别为片峪的中点.KG上面BCC.8 - FGGE在中 GE =很,GF = 2? /. tanZGST7 =也,-异面直线月。与占所成的角的正切值为姻设拦到面勘口的距离为，过3作月丑上必于、则况面HgA*_血=/5 !.膈品:甘峥如-1.1.4-22 = |- 4 25- -1.1.4-22 = |- 4 25- 2 2r 4 -2425【变式2】如图，在四棱锥PABCD中，PAL底面ABCD, ABAD, ACCD,ZABC=60PA=AB=BCABC=60PA=AB=BC, E 是 PC 的中点.(I)求PB和平面PAD所成的角的大小;证明AE上平面PCD；求

20、二面角APDC的大小.【答案】解：在四棱锥PABCD中，因PA上底面ABCD, AB平面ABCD, 故 PAL AB，又ABLAD，PACAD=A，从而ABL平面PAD，故PB在平面PAD内的射 影为PA，从而ZAPB为PB和平面PAD所成的角，在 RtAPAB 中，AB=PA，故/APB=45，所以PB和平面PAD所成的角的大小为45 .证明：在四棱锥PABCD中，因PAL底面ABCD，CD平面ABCD，故 CD LPA，由条件 CDLPC，PAHAC=A，ACDL面 PAC，又 AEU 面 PAC，AELCD，由 PAAB=BC，/ABC=60，可得 AC=PA，VE是PC的中点，.AEL

21、PC，.PCCCD=C， 综上得AEL平面PCD.(Ill)解：过点E作EMXPD，垂足为M,连结AM,PDPD,由(II)知，AEL平面PCD, AM在平面PCD内的射影是EM,贝0 AM因此ZAME是二面角APDC的平面角， 由已知，可得ZCAD=30,设 AD=a，可得 PA=a设 AD=a，可得 PA=a,在 RtAADP 中，AMPD,A AM PD=PA AD,.em AE 屈 sinZLWS =.em AE 屈 sinZLWS =在 RtAAEM 中，AM 4，.应arcsm所以二面角APDC的大小 4【变式3】在直三棱柱心一占明中，ZABC = 90a,AB = BC = (1

22、)求异面直线1与所成的角的大小;(2(2)若也。与平面航。所成角为45，求三棱锥ABC的体积。【答案】.BCBC, /.ZACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角).NABC=90 , AB=BC=1, ./ACB=45.异面直线B1C1与AC所成角为45。VAA1平面 ABC,ZACA1 是 AQ 与平面 ABC 所成的角，ZACA =45 .,?ZABC=90 , AB=BC=1, AC,.AA1.1 世.三棱锥A1-ABC的体积V= 3 SabcXAA1= 2高考题萃如若白一慎，则下列不等式中正确的是（）A.H答案：D 解析：利用赋值法:令=侦=排除A,B,C,选D.2.已知占，

23、b都是实数，那么“住”是，y b”的（）B.必要而不充分条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件C.充分必要条件答案：D解析：利用赋值法：满足“，但a b”的非充分条件;令侦=一七满足&b，但蛆&， 的不必要条件;的既不充分也而不必要条件.3.不等式 x x + 2 U 利用解得法二:xeR1 x 2 工1,2）,.取二=一1,不满足，排除C, D；，排除B.4.不等式（Z）的解集是（）一3竺一；间；，1)U(1，3A. 已B.C.解析：由题意得：(x-W。且x+5 = 2(x-l)L-i x 3解得2 且1.法二：利用赋值法：显然E,排除b；取,满足3一1取,满足3一1)，排除c；壬A 不满足顷T)，排除A.5.在平面直角坐标系工。7中，满足不等式组I 】 的点的集合用阴影表示为 下列图中的()ViVi答案：CF-,6.已知变量x、y满足条件U +芬一父5则工