稳定性判别方法

1、5.3稳定性判别方法1.线性定常系统的稳定性判别定理5.6设x (t) = Ax (t).(5.11)(i)平衡点稳定=A的所有特征值的实部非正,且实部为零的特征值对应着一阶约当块;(ii)平衡点渐近稳定=A的所有特征值实部为负.证(i)因是线性系统，只需证明平衡点x = 0的稳定性.设 T iAT=J =m(注:与能控标准变换不同)其中= 1,2, m为约当块，则 Ie/T ix 0eJtmx(Z) = eAtx T ix 0eJtmWe 的非零元素形如e e =a； 1 0a Z+JP z 0a +yp z约当块阶数减1.eJt LieJt Li(s -X k 01(s - X )21 y

2、-X J若x 0,使e K, t 0.其中 A厂一一 jj故稳定;对矿0，取S =8/K.当俨-0尸时.有 x(t忙护可 K0ii，故稳定;(ii)若全为a 0,则全lim化ea/+邓/ = 0今渐近稳定. it +oo例5.1设系统矩阵分别如下：4 =。1; (2)A = 1 .(3)4 - 1L0 0，5 枷-29( )_-1 -2 试判别* =0的稳定性.解，由A(人)= L,得入=0(2重),x = 0不稳定.由A(X) = X(X + 2),得久=2 0)01n1n0的所有根的具有负实部=下列不等式同时成立:aa0a a10 = a 0, A=10 0,A = aaa 0,112a

3、a332132aaa543aa000i0 . aa 2 aa0A =310 0.n aaaaa2 n -12 n - 22 n - 32 n - 4* * *n其中“ =a=a = 0.n+1n+2. . 2 n -1例5.2验证系统矩阵为 TOC o 1-5 h z -2 1 -1 妇1-1011-1时，x = 0是渐近稳定的.e 证由 人 +2-11I 人 I A1= -1人 +10 =人 3 + 4 人 2 + 5人 + 3,-1-1人 +1（a = 10）0得a 0及0A = a 4 0,i i=17 =17 0, TOC o 1-5 h z 10a a32A a A 51 0,33

4、2由Hurwitz判别法今所有特征值有负实部今渐近稳定.对非线性系统，常用李雅普诺夫判别法.2.稳定性的李雅普诺夫判别法（介绍）(1)李雅普诺夫第一法(一阶近似) 设n维非线性系统为x (t) = F (x (t), t), F (x , t) = 0 且n维向量函数F (x, t)对x有连续偏导. 将F (x, t)在x处展成泰勒级数，得edFx =xr(5.12)(5.13)(x x ) + R(x (5.12)(5.13)(x x ) + R(x x ). eex=xex - x |的高阶项，而af1iaf1i茧2iar 2#2a 茵 1M n #2n药 n k 茵 1M n #2n药

5、n k n称为雅可比矩阵.令 x = x - x 和 A = etxr,得线性化方程:x=xex = Ax.(5.14)李雅普诺夫给出下述结论:(i)若A的所有特征值实部为负,则系统在平衡点x是渐近稳定的，且与战无关; e(ii)若A的特征值中有一个具有正实部,则系统在平衡点x是不稳定的；e(iii)若A的特征值中有一个实部为零，则系统在平衡点x的稳定性与&有关.e例5.3设非线性系统为I x = x 一 x x , 1112Ix = x + x x , 2212试判平衡点x =。0的稳定性.e解由x = 0处的雅可比矩阵为 e1 x2x21 0 0 1在x = 0处不稳定. e1 0 0 1

6、在x = 0处不稳定. e=i(2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数)=i若系统能量随时而衰，则稳定.如 my(t) = -ky(t)-. y(t)m=1, k=1,ii =1y (t)+yf( t)+y (t) = 0X1 = y (位置),今 X = y(速度)， 2x1x2平衡线J. y这是一个在x = 0处稳定的系统. ex1x2平衡线J. y作一个”能量”函数V (x1( t), x 2( t) = x2( t) + x 2( t ) 0,(正定) 则(势能，动能)V = 2xx + 2x x代入系统方程 Vf(t) = -2x2 v 0t 112 22V ( x , x )单调递

7、减趋于0(因V (0,0) = 0且连续) 12这样的V (xi? x 2)就称为李雅普诺夫函数对一般系统，设法构造如此标量函数V(x) 0. 下面给出一般标量函数的正定、负定等概念.设标量函数V(x), x G Rn且V(0) = 0.若对任意x黄0,有V(x) 0(2 0),则称V(x)是正定的(半正定的)；V(x) V0( 0、也有V(x) V 0,则称V(x)是不定的.V(x)根据系统方程，常取为x的二次型函数，艮口V (x) = xt Px.P是实对称矩阵，此时V(x)的正、负定性与P 一致.而P的正定性由其主子行列式为正负来判定 如匕(x) = -(x1 + x2)2是半负定的;穹

8、X) = (X1 + x 2)2 +捋是半正定的.下面介绍主要结果.定理5.8设系统为(5.15)x (t) = F (x(t), t) , t t .(5.15)X = 0是其平衡点. e若存在标量函数V(x)(具有连续的一阶偏导数)，满足V(x)是正定的；沿着方程(5.15)计算的V (x)是半负定的.则平衡点x = 0是稳定的. e定理5.9设系统为(5.15),平衡点为x = 0.e若有标量函数V(x)(具有连续的一阶偏导)，满足V (x)是正定的；沿着方程(5.15)计算的V(x)是负定的；或者(ii)沿着方程(5.15)计算的V(x)是半负定的，且对Vx (10)壬0来说,V (x

9、)不恒为零，则平衡点x = 0是渐近稳定的.e进一步，若当HX| T+8时,有V(X) |T+, 则平衡点x =0是全局渐近稳定的.e注对(ii)的说明.由于V(x)为半负定，所以在x莉时，或许有V(x) = 0,可能会出现下图5.5的两种情形:可能会出现下图5.5的两种情形:1=1定理5.10系统方程、平衡点同定理5.9中假设相同.若标量函数V (x)(具有连续的一阶偏导).满足(i) V(x)是正定的;(ii)沿着状态方程(5.15)计算的V ( x)也是正定的;则平衡点x =0是不稳定的.注 上述定理条件是充分的.例5.4设非线性系统为x = x 一 x (x2 + x2)2112x =

10、一x 一 x (x2 + x2)1212试分析稳定性.解由F(x,t) = 0,得x = 0是其唯一的平衡点.e构造V (x) = x2 + x 2.是正定的.对V (x)关于t求导，得dV此 5V丘V (x) =1 +2 = 2x x + 2x x . TOC o 1-5 h z 廿dr 茵dr112 212代入状态方程得V ( x ) = - 2( x 2 + x 2)2 今负定12今V (x)为一李雅普诺夫函数,且当 xii T+8时，有| V(x) T+今x = 0为全局渐近稳定（而且是一致的）. e对线性定常系统，有定理5.11设线性定常系统为x （t） = Ax （t）,则平衡点x

11、 = 0是渐近稳定的69 e对任意正定阵o ,矩阵方程A P + P = Q （李雅普诺夫方程）（5.16）有唯一正定阵解P.由于必要性证明涉及过多知识，故只证充分性. 证(充分性)由 VQ 0, 3P 0满足(5.16),作V (x) = x Px.对,求导且将系统方程代入，得V (x) = XTPx + XTPx = (Ax)TPx + XTP (Ax ) =xT (ATP + P) x = 一 xTQx， 9V (x:)负定，且当町| T斯时，有。V (x )|厂做, 9平衡点x = 0为全局渐近稳定(且一致).(注：实用中，渐近稳定为主要特性) 例5.5设系统为,、1,、xC)= _2 _3 -()试分析x = 0的稳定性 e解设代入矩阵方程(5.16)式，得0 -2怀句+ % 句。1 =1 0 L1 -3JLpi，22Lpi，22北一2 -3L 0 -1 展开并令对应元素相等，得唯一解它的各主子式行列式 5 一 1 一 A = 0, A = 0. 1424今。正定今x = 0是渐近稳定. e且系统是线性定常的 所有平衡点是一致全局渐近稳定. 注正定阵Q的选择尽可能简单.若对某Q 0,矩阵方程(5.16)无解，则平衡点尤=