九级预科数清班资料

1、前 言 本资料在了解各个学校进度的基础上，权衡之下编写的。主要部分为 “二次根式”及“一元二次方程” ， “圆”相关内容。每个课时都按120分钟容量编写，供老师与学生选取。考虑到个别学校进度情况也附录“二次函数”的相关知识。本培训内容分12次上完，第13次考试，第14次简评及50分钟新课。详细安排如下：第一讲 复习二次根式第二讲 一元二次方程第三讲 根的判别式与韦达定理第四讲 一元二次方程的应用第五讲 旋转第六讲 圆的有关性质1第七讲 圆的有关性质2第八讲 直线与圆的位置关系1第九讲 直线与圆的位置关系2第十讲 圆与圆的位置关系第十一讲 正多边形与圆第十二讲 概率第十三讲 考试第十四讲 二次函

2、数附 录第一讲 复习二次根式一、知识要点：1、如果，则叫的平方根。当0时，；当0时，。2、二次根式的性质：中，3、满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式： （1）被开方数所含因数是整数，因式是整式； （2）不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。4、同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。5、把分母中的根号化去叫分母有理化。两个含有根号的代数式相乘，若它们的积不含根号，则这两个根式互为有理化因式。6、，可取任何实数； ，0二、基础夯实：下列各式; ; ; ; 其中一定是二次根式的有（ ） A4个 个 个 个 下列各式中，一定能成

3、立的是（ ） A B. C. D.式子的取值范围是（ ） A. x1 且 X -2 1且x-2 C.x-2 D. .x14、的最小值是_，此时的x为_。5、化简= 6、的倒数是（ ）A、 B、 C、 D、7、计算：(1) (2) (3) (4) 8、比较下列各组数的大小：(1) (2) 三、例题解析 例1：化简 例2：化简（1） （2）例3：化简+例4：已知ab0,化简例5：求出使等式成立的x,y值例6：设的整数部分为x,小数部分为y，求x+y+的值四、课堂练习：1、化简下列各式（1） （2）（3）+ （4）+（5）2、设 的整数部分为a，小数部分为b，求的值3、已知, 化简的结果是( ) A

4、 B. C. D. 4、若=,则a的取值范围是( ) =5 5 C.a5 D.无论a取何值,等式都无意义5、设,则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 计算= 7、在实数范围内分解因式 8、在下列二次根式中，最简二次根式的个数有 个 9、若 ,则的值为 10、已知，则 11、设的整数部分是a，小数部分是b，求的值。12、如图，化简 13.阅读下面问题： ；。 试求：（1）（n为正整数）的值。 （2）利用上面所揭示的规律计算：第二讲 一元二次方程的解法一、中考考点会推导一元二次方程的求根公式，理解公式法与用直接开平方法、配方法解一元二次方程的关系，会选用适当的方法熟练地解一元二次方程.二、中

5、考热点、要点、难点聚焦1一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程一般形式：ax2bx+c=0(a0）2一元二次方程的解法： 配方法：用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k0）的一般步骤是：化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；化原方程为(x+m）2=n的形式；如果n0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=0，则原方程无解 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式

6、是(b24ac0) 因式分解法：因式分解法的步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解3一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a0因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程如关于x的方程（k21）x2+2kx+1=0中，当k=1时就是一元一次方程了 应用求根公式解一元二次方程时应注意：化方程为一元二次方程的一般形式；确定a、b、c的值；求出b24ac的值；若b24ac0，则代人求根公式，求出x1 ,x2若b24a0，则方程无解 方程两边绝不能随便约去含有

7、未知数的代数式如2(x4)2=3（x4）中，不能随便约去（x4 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法4注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性知识点1：配方法（重点、难点）【例1】用配方法解下列方程（1）（2）知识点2：公式法（重点）【例2】用公式法解方程：（1）（2）知识3：因式分解法（重点）【例3】用因式分解法解下列方程：（1）（2）三、例题解析例1：方程的实根的个数为（ ）（A）1 （B）2 (C)

8、3 (D)4例2：已知 m,n是二次方程的两个根，求的值例3：解关于x的方程：例4：已知方程有二实根，, 方程有二实根a,求 的值例5：已知a,b都是正实数，且，求？能力提升：1、已知方程可以配成 的形式，那么 可以配成 的形式2、设方程 和的较小的根分别为 a,b 则 ab= 3、方程 的解应是 4、方程的所有整数解的个数是（ ） A（2） B (3) C(4) D(5)5、若则 6、已知那么代数式+的值为（ ）（A） （B）- （C） （D）7、已知 则代数式 的值为（ ）（A）1996 （B）1997 （C1998 （D）19998、已知 求的值9、设方程求满足该方程的所有根之和第三讲

9、根的判别式与韦达定理知识要点：1、根的判别式：一元二次方程的根的判别式 。 当时，方程有 的实数根。 当 0时，方程有两个相等的实数根。 当时，方程 实数根。 当 0时，方程有两个实数根。2、根与系数的关系： 若一元二次方程的两个根是，则 ， 。 以这两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 。3.方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0(a0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.特殊的例子有：C=0 x1=0 ， a+b+c=0 x1=1 ， ab+c=0 x1=1.例题分析：例1：已知三个关于的方程：和 ，若其中至少有两个方程有实根，则实数 的取值范围是（ ）(A)

10、 (B) 或 （C） （D）例2：已知有两个不相等的实数根， 有两个相实的实数根没有实数根 ，求a,b的取值范围。例3：已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=8且a0,求证：例4：已知关于 的方程求证：无论 取何实数值，方程总有实数根：若等腰三角形ABC的一边a=6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长例5：如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是（ ）A B C D 例6：已知m,n是方程的两根，且mn，不解方程，求的值例7：已知x,y均为实数，且满足，求能力提升：1、已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 2、关

11、于的一元二次方程的根的情况是（ ）A、有两个不相等的实根 B、有两个相等的实根 C、无实数根 D、不能确定3、已知m,n是方程的两根，则的值为 4、设m,n是方程的两个实根，且（m+1）(n+1)=8，则k值是（ ）A -3或1 B -3 C 1 D 的一切实数5、设a,b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且a0,b-3a0，减小时xEF C AB+CDAC，D为弧BAC的中点，DE垂直AB于E，求证：课堂练习：1（2022湖北十堰）如图，ABC内接于O，连结OA、OB，若ABO25，则C的度数为（ ）A55 B60 C65 D702（2022年湖南怀化）如图，、分别切于点、，点是上一点，且

12、，则_度3、已知O的半径为13, 该圆的弦，且，则AB和CD之间的距离为（ ）A、17 B、7 C、13或26 D、17或74、如右图所示，在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。5、如图所示，AB是O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明。6、已知，如图O的半径为12cm，弦AB=16cm。（1）求圆心到弦AB的距离；（2）如果弦AB的两个端点在圆周上滑动，那么弦AB中点形成什么样的图形？如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的O；对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，ABB

13、D，且PC=求四边形ABCD的周长第七讲 圆的有关性质2知识要点：1、圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。2、同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。3、顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。注意：圆周角必须同时具备两个特征：(1) 顶点在圆上； (2) 角的两边都和圆相关。 4、圆周角的性质： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是圆的直径。例题分析：例1：如图锐角ABC内接于圆O，ABC60度，BAC36度，

14、作OE垂直于AB交劣弧AB于点E，连接EC，求OEC例2：以AB为直径作一个圆，圆心为O，C是圆上一点且ACBC,求CAB例3：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，弧AB弧BD，BM垂直AC于M，证明：AMDC+CM例4:已知O中，半径r=5，AB、CD是两条平行弦，且AB8,CD6,求AC的长例5：如图，矩形ABCD的边AB经过圆O的圆心，E、F分别为边AB、CD与圆O的交点，若AE3,AD4,DF5,求圆O的直径例6：如图，已知ABC内接于直径为d 的圆，设BCa,AC=b 求ABC的高夯实基础：1、如图，已知弧弧弧，弦和交于点，度，求B的度数2、下面命题中是真命题的是（ ）A、同一条弦所对

15、的圆周相等 B、直角所对的弦是直径C、等弧所对的圆周角相等 D、圆周角的度数等于它的所对弧度数的2倍3、如图所示，AB是O直径，OD2、直线和圆的位置关系有三种：（圆心到直线的距离为d，圆半径为r） 相交：直线和圆有两个公共点，此时的直线叫割线；（相交d r）3、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。4、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。基础夯实：1、已知，O的直径为10 cm，点O到直线a的距离为d：若a与O相切，则d=_；若d=4 cm，则a与O有_个交点；若d=6 cm，则a与O的位置关系是_。2、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦B

16、C与小圆相切，则BC=_ cm。3、以等腰三角形顶角的顶点为圆心，顶角的平分线为半径的圆必与_相切。4、（09福建）如图，在直角梯形ABCD中，AB=AD，BAD的平分线交BC于E，连接DE（1）说明点D在ABE的外接圆上；（6分）（2）若AED=CED，试判断直线CD与ABE外接圆的位置关系，并说明理由（6分）例题分析：例：如图，已知为O的直径，切O于，切O于，交的延长线于，若,求的长例、如图，已知是半圆的直径，切圆于，交O于，切O于，,DE、BE是方程的两个根（DE+d =+ d +d =d 0时，开口向上，当x=-时，y取最小值；当a0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，当=

17、b2-4ac0 b0 B a0 b0 C a0 c0 0 x D a0 c00 xyyyy8、二次函数与一次函数在同一直角坐标系中图象大致是 （ ）yyyy xxxxxxxx00000000A B C D热身进阶1.抛物线y=4(x-2)2+5的顶点坐标是_ 。2. 二次函数的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向下平移3个单位，得到的图象的函数解析式为_ _3函数有最_值，最值为_；4如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（ ）A、x3 B、x1 D、x15函数的图象如图所示，那么关于x的方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个异号实

18、数根 C有两个相等实数根 D无实数根例题讲解例1（1）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，）在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（2）（武汉）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 (1) (2)例2 （烟台）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（1）写出y与x的关系式；（2）当x=2，时，

19、y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例3（天津）已知抛物线y=x2+x- （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴 （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长课堂练习1二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）Ay=x2+3 By=x2-3 Cy=（x+3）2 Dy=（x-3）22（宿迁）将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_3如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是_ 4

20、观察下面的表格：x012ax22ax2+bx+c46（1）求a，b，c的值，并在表格内的空格中填上正确的数；（2）求二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标与对称轴5二次函数的顶点坐标为C（4，-），且在x轴上截得的线段AB的长为6（1）求二次函数的解析式；（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得PAC被x轴平分，如果存在，请求出P点坐标，如果不存在请说明理由 附 录：第十五课时 二次函数的应用课前热身1. 边长为4米的正方形的中间挖去一个边长为x的小正方形，剩下四方框形的面积为y,y与x之间的函数关系式为 。2. 某公司的生产利

21、润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）。Ay=x2+a By= a（x1）2 Cy=a（1x）2 Dya（l+x）23. 把一段长16米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y则当y最大时，x所取的值是（ ）A B C D064.某飞机着陆生滑行的路程s米与时间t秒的关系式为：，试问飞机着陆后滑行 米才能停止.5. 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( ).A B4m C D知识整理：二次函数应用例题讲解例1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图10所示)，拱高6 m，跨度2

22、0 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.(1) 将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11所示)，其表达式是的形式.请根据所给的数据求出的值.(2) 求支柱MN的长度.例12OxABCy(3) 拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2 m例12OxABCy例1例1110m20m6mMN例2. 某商店经营一批进价每件为2元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价3元销售，日销售量为18件，如果单价每提高1元，日销售量就减少2件设销售单价为x（元），日销售量为y（件）（1）写出日销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）设

23、日销售的毛利润（毛利润=销售总额-总进价）为P（元），求出毛利润P（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）在下图所示的坐标系中画出关于x的函数图象的草图，并标出顶点的坐标；（4）观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高？是多少？112345678910111121605040302010P/元Ox/元课堂练习1.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此抛物线的解析式为_ABCD（第2题图）菜园墙2如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为米，则菜园的面积（单位：米）与（单

24、位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）ABCD（第2题图）菜园墙3.苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s=gt2(g是不为0的常数)，则s与t的函数图象大致是()4.已知一个长方体的木箱高为80，底面的长比宽多10，（1）求这个长方体的体积（）与长方体的宽（）之间的函数关系式；（2）问当该木箱的体积为时，木箱底面的长与宽各为多少？5（贵阳）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函

25、数关系式（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 6、二次函数的图象的一部分如右图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。（1）请判断实数的取值范围，并说明理由；（2）设此二次函数的图象与轴的另一个交点为C，当AMC的面积为ABC面积的倍时，求的值。二次函数综合检测题 一、选择题（每小题3分，共30分）1如果y=（m-2）x是关于x的二次函数，则m=（ ） A-1 B2 C-1或2 Dm不存在2对于抛物线y=x2+2和y=x2的论断：开口方向相同；形状完全相同；对称

26、轴相同其中正确的有（ ） A0个 B1个 C2个 D3个3y=x2-7x-5与y轴的交点坐标为（ ） A-5 B（0，-5） C（-5，0） D（0，-20）4下列函数一定是关于x的二次函数的是（ ） Ay=ax+bx+c By=x+bx+c Cy=（a2+a）x2+bx+c Dy=（a2-a）x2+bx+c5下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a0）模型的是（ ） A在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B我国人口的自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D圆的周长与半径之间的关系6二次函数y=x2-2x-1的顶点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限7抛物线y=x2-x-6与x轴的交点坐标是（ ） A（3，0） B（-2，0） C（-6，0），（1，0） D（3，0），（-2，0）8已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ） 9下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中，正确的是（ ）A开口向下 B对称轴是直线x=1 C与x轴有两个交点 D顶点坐标是（-1，