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文档简介

1、27 九月 20221一、方向导数定义 若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.在点 处沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作 26 九月 20221一、方向导数定义 若函数则称为函数27 九月 20222则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得故定理 26 九月 20222则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数27 九月 20223对于二元函数为, ) 的方向导数为特别: 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角26 九月 20223对于二元函数为, ) 的方向导27 九月 20224解:26 九月 20224解:2

2、7 九月 20225解:26 九月 20225解:27 九月 20226二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：26 九月 20226二、梯度 方向导数公式令向量这说明方27 九月 20227即同样可定义二元函数称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量定义26 九月 20227即同样可定义二元函数称为函数 f (P27 九月 20228解:解:26 九月 20228解:解:27 九月 2022926 九月 2022927 九月 202210内

3、容小结1. 方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为26 九月 202210内容小结1. 方向导数 三元函数 27 九月 2022112. 梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3. 关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.26 九月 2022112. 梯度 三元函数 在点处的梯度27 九月 202212作业习 题 7-7 P108 4; 7; 26 九月 202212作业习 题 7-7 P10827 九月 202213思考练习1. 设函数(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲

4、线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 .26 九月 202213思考练习1. 设函数(1) 求函数在27 九月 202214曲线1. (1)在点函数沿 l 的方向导数M (1,1,1) 处切线的方向向量解答提示:26 九月 202214曲线1. (1)在点函数沿 l 的方27 九月 20221526 九月 20221527 九月 202216指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A提示:则(96考研)2. 函数26 九月 202216指向 B( 3, 2 , 2) 方27 九月 202217在点处的梯度

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