经济数学一阶微分方程

1、经济数学一阶微分方程第1页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二一、可分离变量的微分方程与分离变量法设有一阶微分方程则称方程为可分离变量的微分方程,其中都是连续函数.根据这种方程的特点,我们可通过积分来求解.设用除方程的两端,用乘以方程的两端,以使得未知函数与自变量置得,第2页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二两边积分,得如果则易知也是方程的解.求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.上述第3页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二第4页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二例1 求微分方程解分离变量两端积分从而记则

2、得到题设方程的通解第5页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二第6页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二第7页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二例3解分离变量得得求微分方程的通解.的各项,先合并及设两端积分得于是第8页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二则得到题设方程的通解记注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中,用它除方程两边,这样得到的通解,不包含使的特解.但是,其失去的解仍包含在通解中.如在本例中,我们得有时如果我们扩大任意常数的取值范围,则到的通解中应该但这样方程就失去特解而如果允许则仍包含在通解

3、中.的前提下,我们在假定第9页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二例4某公司年净资产有(百万元),并且资产本身以每年5%的速度连续增产,同时该公司每年要以30百万元的数额连续支付职工工资.(1)给出描述净资产的微分方程;(2)求解方程,这时假设初始净资产为(3)讨论在三种情况下,变化特点.解(1)利用平衡法,即由净资产增长速度资产本身增长速度职工工资支付速度得到所求微分方程第10页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二解(1)得到所求微分方程(2)分离变量,得两边积分,得(为正常数),于是将代入,得方程通解:上式推导过程中当时,或第11页，共49页，202

4、2年，5月20日，18点25分，星期二通常称为平衡解,仍包含在通解表达式中.(3)由通解表达式可知,当百万元时,产额单调递减,公司将在36年破产;净资万元时,公司将收支平衡,当百将资产保持在600百万元不变;当百万元时,不断增大.公司净资产将按指数第12页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式,得可分离变量的方程1.定义)(xyfdxdy=形如.)(xuufdxdu-=即第13页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二,ln)(1xCuufdu=-得第14页，共49页，2022年，5月20日，18点

5、25分，星期二例5解原方程变形为求解微分方程令则故原方程变为即分离变量得,dxduxudxdy+=齐次方程第15页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二分离变量得两边积分得或便得所给方程的通解为回代第16页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二例6求下列微分方程的通解:解原方程变形为令则代入原方程并整理两边积分得即变量回代得所求通解第17页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二课堂练习 求解微分方程解,dxduxudxdy+=则第18页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二微分方程的解为第19页，共49页，2022年，5月

6、20日，18点25分，星期二一阶线性微分方程的标准形式:上面方程称为齐次的.上面方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.三、一阶线性微分方程第20页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二齐次方程的通解为1. 一阶线性齐次方程一阶线性微分方程的解法由分离变量法第21页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二2. 一阶线性非齐次方程讨论两边积分即非齐次方程通解形式对照),()(xvdxyxQ为设=-dxxPCey)(齐次方程的通解第22页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质: 未知函数的

7、变量代换.作变换第23页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解第24页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二解例7第一步，求相应的齐次方程的通解.2的通解求方程xxydxdy=-第25页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二解例7第二步，常数变易法求非齐次方程的通解.2的通解求方程xxydxdy=-第26页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二解例7第27页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二例8解方程化为其中.02)6(2的通解求方程=+-

8、ydxdyxy第28页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二所以第29页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二四、利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为.)(92的通解求例yxdxdy+=第30页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二例10 用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为贝努利方程,2dxdyydxdz=则第31页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二解分离变量法得所求通解为,dxdyxydxdz+=则第32页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二解代入原式分离变量法得所求通解

9、为另解（一阶线性微分方程）,1-=dxdudxdy则.yxdydx+=方程变形为第33页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二五、小结1.可分离变量的微分方程:分离变量法（1）分离变量;（2）两端积分-隐式通解.可分离变量的微分方程解法：第34页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二3.线性非齐次方程2.齐次方程齐次方程的解法线性非齐次方程的解法第35页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二思考题1.求解微分方程2.方程是否为齐次方程?第36页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二思考题解答为所求解.第37页，共49页，2

10、022年，5月20日，18点25分，星期二2.方程两边同时对 求导:原方程是齐次方程.第38页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二第39页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二练 习 题一、求下列微分方程的通解: 1. 0tansectansec22=+xdyyydxx； 2. 0)()(=+-+dyeedxeeyyxxyx； 3. 0)1(32=+xdxdyy. 二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1. xdxyydyxsincossincos=,40p=xy； 2. 0sin)1(cos=+-ydyeydxx,40p=xy. 第40页，共49

11、页，2022年，5月20日，18点25分，星期二第41页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二五、 求下列齐次方程的通解: 1. 0)(22=-+xydydxyx； 2. 0)1(2)21(=-+dyyxedxeyxyx. 六、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: 1. 1,02)3(022=+-=xyxydxdyxy； 2. ,0)2()2(2222=-+-+dyxxyydxyxyx 11=xy . 第42页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二七、求下列微分方程的通解: 1. xexyysincos-=+； 2. 0)ln(ln=-+dyyxydxy

12、； 3. 02)6(2=+-ydxdyxy. 八、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 1. 4,5cot2cos-=+=pxxyexydxdy； 2. .0,132132=-+=xyyxxdxdy 第43页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二第44页，共49页，2022年，5月20日，18点25分，星期二十、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解: 1. 11+-=yxdxdy； 2. 1cossin2sin)1(sin222+-+-+=xxxyxyy； 3. xyxyxdxdy-=)(sin12. 十一、已知微分方程)(xgyy=+,其中 =0,010,2)(xxxg,试求一连续函数)(xyy=,满 足