结构力学 静定结构的位移计算

1、结构力学 静定结构的位移计算第1页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三1位移的种类一、概述 A （A结点的水平线位移，转角）1) 角位移：杆件横截面产生的转角2) 线位移：结构上各点产生的移动3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）A （A截面的转角）第2页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三A BA B（A、B两点的相对位移=A+B）1) 荷载。由于材料的应变而产生位移2) 温度变化。热胀冷缩而产生位移3) 支座移动。地基沉降4) 材料的干缩、制造误差2使结构产生位移的因素 A C （结点C左右截面的相对转角=A+B）AB第3页，共75页，2022年，

2、5月20日，11点41分，星期三1) 验算结构的刚度。刚度的大小是以变形或位移来度量的3计算结构位移的目的（框架结构的侧移要满足刚度要求）3) 为分析超静定结构作准备。2) 为制作、架设结构等提供依据第4页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移 将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。第5页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三 1）结构的变形或位移与其作用力成正比4线弹性体系的特征P1=1 K 若单位力P1=1作用下产生的位移，则力P作用下在K处产生

3、的位移为P2）结构的变形或位移服从叠加原理 P1 P2 Pi Pn K =K i 表示Pi=1时在K处产生的位移。第6页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三二、变形体系的虚功原理 P1荷载P1加在梁上，在荷载作用点产生位移11 则力P1作功梁上再加荷载P2 ，此时P1处有位移1211W1=1.实功、虚功的概念11 12P1 P2 P1是恒力，继续作功W2=P112 AAB22P2作功W3=P222 /2第7页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三分析：作功过程，存在两种情况： 力在其自身引起的位移上作功，称为实功；在别的因素引起的与力本身无关的位移上所作的

4、功，称为虚功，虚功并非为不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点。如：W2=P112 P11111 12P1 P2 AAB如：W1=，W3=22第8页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三 变形体系处于平衡的必要和充分条件是：对于符合变形体系约束条件的任意微小的连续虚位移，变形体系上所有外力所作的虚功总和W外，等于变形体系各微段截面上的内力在其虚变形上所作的虚功的总和W变 。2变形体系的虚功原理的表述用公式表示为： W外=W变 虚位移可以是与力状态无关的任何原因引起的，甚至是假想的，但虚位移必须是微小的，且为约束条件和变形连续条件允许的。AP结构发生虚位移的状态和结构

5、承受外力的状态是两个独立的状态。分别称为结构的位移状态和力状态第9页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三3位移计算的一般公式 P A q C3 C2C1 1）位移状态的设定dx设：结构受荷载的作用，及支座移动，求A点的竖向位移。W外=W变外力所作的虚功总和W外，等于各微段截面上的内力在其虚变形上所作的虚功的总和W变 。第10页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三dx M M+dM N N+dN V V+dV d轴力作用下伸长d 剪力作用下的变形d 弯矩作用下的变形d （微元在内力作用下的变形）d d（微元段dx的受力）这样，体系在荷载及支座移动的作用下，

6、所有的虚位移为：外部：支座移动C1、C2、C3，A点的竖向位移 内部：微段dx的变形d、d、d，第11页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三 P A q C3 C2C1 dx 2）虚力状态的建立P=1（在A点作用虚设的单位力）AdxR3 R1 R2W外=W变外力所作的虚功总和W外，等于各微段截面上的内力在其虚变形上所作的虚功的总和W变 。第12页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三 N N V V M M 轴力N 剪力V 弯矩M R3 R1 R2 支座反力 这样，体系在虚设力作用下，所有的虚力为：（微段的受力） 外力：R1 、R2 、R3 、P=1 微段

7、内力：N 、V 、M 第13页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三3）公式的建立 微段dW变=微段所在杆件所作虚功之和：体系所有杆件所作虚功之和，即：+W外=W变=依虚功原理： += 这就是求位移的一般公式。若计算结果为正，表示单位荷载所作虚功为正，故所求位移的实际指向与所假设的单位荷载P的指向相同，为负则相反。P=1AdxW外=W变 P A q C3 C2C1 dx第14页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三4虚功原理的说明1). 虚功原理适用于线弹性、非线弹性、弹塑性、塑性，静定结构、超静定结构，2). 适用于由荷载、温度变化、支座移动、制造误差、材

8、料收缩等情况。3). 求位移时，需在拟求位移处作用与位移方向一致的单位力a) 若求结构上C点的竖向位移，第15页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。若求桁架中AB杆的角位移，应加一单位力偶，构成这一力偶的两个集中力的值取 1/d。作用于杆端且垂直于杆(d等于杆长)。第16页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。4) 若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个截面上加两个方向相反的单位力偶。第17页，共75

9、页，2022年，5月20日，11点41分，星期三式中，k为截面形状系数。这样，位移公式的表达式可写为： 从公式中可见，计算位移时只须写出两套内力的表达式。 MP、NP、VP表示荷载作用下的内力。d= ，d= ，d=4). 依材料力学的结果，上述d、d、d可写为：+=第18页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三5）特殊情况（2）静定体系仅发生支座移动时（结构无内力，从而无W变）：（3）桁架结构 （4）梁和刚架结构（忽略轴向及剪切变形）+ = 0 （1）体系无支座移动时： （5）组合结构（忽略受弯杆件的轴向及剪切变形）第19页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星

10、期三例1 试求等截面简支梁中点C的竖向位移Cy。已知EI常数。qlC解：1）荷载作用下的弯矩表达式（坐标如图中所示）MP（x）=q(lx-x2)/2（规定下侧受拉为正），0 xl/2 2）虚拟状态下的弯矩表达式（坐标同1中规定） M（x）=x/2，0 xl/2P=1xx5应用例题第20页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三 C EI=常数 4m A 2kN 4m B例2 求：1）C点的竖向位移 2）结点B的转角解：1）荷载作用下各杆的弯矩表达式（各杆坐标如图中所示） BC杆：MP（X）=2X（规定上侧受拉为正），0X4 AB杆：MP（X）=8 （规定左侧受拉为正），0X4X

11、X第21页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三P=1 B X X*为求C点的竖向位移，在C点作用竖向单位力P=12）虚拟状态下各杆的弯矩表达式（各杆坐标同1）中规定）BC杆：M（X）=X，0X4AB杆：M（X）=4，0Xt1（t2t1） 则，该项取正号，其余情况取负号。注：等号右各项正负号的确定方法第54页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三例1图示刚架施工时的温度为300，冬季外侧温度为-200 ，内侧温度为100，各杆截面相同，均为矩形截面，截面高度为h ，材料的线膨胀系数为。杆长都是L，求刚架在冬季温度时B点的水平位移。6计算例题-500 -500

12、 -200 1）外侧温度变化t1=-200-300=-500 ，内侧温度变化t2=100-300= -200 ，2）t0=解：A B第55页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三3）建立虚拟力状态如图。 A B P=1L LM图 +1 P=1N图4）= ，第56页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三例2制造误差引起的位移计算 d A C B 图示桁架下弦各杆在制造时比设计长度缩短了2cm ，求桁架在拼装后结点C的竖向位移。（如果是架设桥梁，称为预先起拱） 6d 运用虚功原理，注意以下两方面解：1）变形状态 下弦各杆各缩短2cm，其余杆无变形+=第57页，共

13、75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三2）虚设力状态在C结点作用单位力 +1/2 +1/2 +3/2 +3/2 +1/2 +1/2 3）让虚力状态在变形状态上作虚功，满足：W外=W内 ，得： （实际向上）P=1,求出各杆轴力（关键是下弦各杆的轴力）第58页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三六、支座移动引起的结构位移计算 即，刚体的虚功原理 3计算例题例1已知，支座A下沉6cm，支座B下沉12cm，支座D下沉8cm，求铰C两侧截面的相对转角CC A D B C CC 2a a 2a 支座移动不引起结构内力（因而所有杆件不变形），只产生 结构位移2.运用变形体的

14、虚功原理时，内虚功为零，因而计算公式为：第59页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三解：1）虚设力系，只需求支座反力P=1 ，2） C VD VA VB 2）第60页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三例2AB杆温度升高t0，BC杆由于制造误差缩短。试求ABC的相对转角 B t0 t0 L A C L L 解： B A P= 1）先计算温度改变时产生的角度变化 由于AB杆两侧温度相同，只产生轴向伸长，故，作如图的虚拟力易算得AB杆的轴力 ，AB杆的伸长第61页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三2）再计算制造误差产生的角度变化 3）叠

15、加上述转角，得两种情况共同作用下的角度变化（ ）BC杆缩短 作同样的虚拟力系， B A P= BC杆的轴力第62页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三 1虚功互等定理 I I表示PI作用下在I处产生的位移；J I表示PI作用下在J处产生的位移I J表示PJ作用下在I处产生的位移；J J表示PJ作用下在J处产生的位移第J状态PJI J I J J J 七、线弹性体系的互等定理第I状态 I JI I J I PI第63页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三 1）把第I状态看作力系统，把第J状态看作位移变形系统，依变形体的虚功原理，（a）第J状态PJI J I

16、 J J J 第I状态 I JI I J I PI 2）把第J状态看作力系统，把第I状态看作位移变形系统，依变形体的虚功原理，（b）第64页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三第J状态PJI J I J J J 第I状态 I JI I J I PI比较（a），（b）两式，得： PI在由于PJ产生的位移上所作的虚功等于PJ在由于PI产生的位移上所作的虚功第65页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三 例：图（a）所示梁的挠曲线 ，0 x试用功的互等定理证明图（b）所示梁的跨中挠度P x L/2 L/2 yq yC L/2 L/2 图（b）图（a）x y(x)

17、第66页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三解（分析：视图（a）为1状态，视图（b）为2状态)由虚功互等定理，P x L/2 L/2 yq yC L/2 L/2 图（b）图（a） dxx x y(x)第67页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三 2位移互等定理注意：这里说的力和位移都是广义力和广义位移IJ，JI都是单位力引起的位移，记为：IJ，JI ，可得：，当PI=PJ=1时， 由功的互等定理第J状态1I J I J J J 第I状态 I JI I J I 1第68页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三 3反力互等定理（只适用于超静

18、定结构）支杆i发生单位位移，在j支座处产生的反力为rj i =1 i j i j =1rj irij支杆j发生单位位移，在i支座处产生的反力为ri j 第一状态的力在第二状态的位移上作虚功第二状态的力在第一状态的位移上作虚功 由功的互等定理：第69页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三 4反力与位移互等定理i处作用单位力，在j处产生反力矩应用功的互等定理， ，即得：rj i=1 j i j处发生单位转角，在i处产生位移i j P=1 j ii j第70页，共75页，2022年，5月20日，11点41分，星期三例： P=500 kN 0.12 0.08 0.05cm 300kN 300kN 300kN 300kN 300kN B 已知，线弹性梁受P=500 kN荷载作用时，各跨中挠度如图所示。求下图