数学必修4必修5知识点总结文档

1、高中数学必修45总结第一部分三角函数及其恒等变换1与角终边相同角的会集为k360,kZ，象限角，轴线角的会集可借用此表示。2是第几象限角，求nN*所在象限的方法：先把各象限均等为n等份，再从x轴的正半轴的上方起，已知n依次将各地域标上一，二，三，四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的地域。n3半径为r的扇形的圆心角（为弧度制）所对弧的长为l，周长为C，面积为S，则有以下公式：lrC2rlS1lr1r222y4三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。PT5三角函数线：sinMPcosOMtanAT6同角三角函数的基本关系：OMAxsin2cos21tansincos7三角

2、函数的引诱公式：公式一：sink2sincosk2costank2tan公式二：sinsincoscostantan公式三：sinsincoscostantan公式四：sinsincoscostantan公式五：sincoscossin22公式六：sincoscossin22公式一到四：函数名称不变，正负看象限。公式五到六：奇变偶不变，正负看象限。补充公式：tan1tan1k2tantan,kZ228三角函数的图象与性质ycosxytanx函ysinx性数质图象定义域RRxxk,k2值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数2k,2k2k,2k上是增函k,k上是增函2上2数。kZ22

3、单调性是增函数。kZ数。kZ2k,2k上是减函2k,2k32数。kZ2上是减函数。kZ对称中心k,0对称中心k,0对称性2k对称轴x对称轴xk2kZkZ对称中心无对称轴。k,0，kZ，29三角函数不等式的解法（1）三角函数线法。（2）函数图象法。例：若求sinx2y2的解集，则画出直线，则该直线上方y值所对应的x的值就是该不等式的解集。2210函数yAsinxbA0,0的图象与性质：（1）图象的变化过程：函数ysinx的图象向左平移个单位ysinx，图象上各点的横坐标变缩短为原来的1倍ysinx，图象上各点的纵坐标变为原来的A倍yAsinx，图象向上平移b个单位yAsinxb。（2）yAsin

4、xb的周期T为2，同理得2T11（3）若yAsinxb的最大值为ymax，最小值为ymin，则Ayminymaxymin。ymax，b22（4）利用以上结论，再依照图象中任意一点以及的范围，可求得yAsinxb的解析式。11两角和与差的正弦，余弦，正切公式和二倍角公式：（1）sin()sincossincoscoscoscossinsin2）sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2（3）tantantantan22tan1tantan1tan212拓展公式（不要求记忆）（1）半角公式：sin1coscos1costan1cos2221cos22（2）积化和差公式：

5、sincos1sincos1sinsinsinsin22coscos1cossinsin1coscoscos22（3）和差化积公式：sinsin2sin2cos2sinsin2sin2cos2coscos2cos2cos2coscos2sinsin22（4）弦化切公式：2tan1tan22sin2cos1tan2tan2122（5）三倍角公式sin33sin4sin3cos34cos33costan33tantan313tan213几个适用的三角函数结论（1）若tanb，则arctanb，则有以下结论：aaasinbcosa2b2sinarctanba（2）当k时，且kZ，则1tan(1tan

6、)24（3）函数yAsinxb的对称轴为xk2kZ，对称中心为(k,b)kZ第二部分：平面向量与解三角形1向量的基本看法：三要素，零向量，单位向量，平行向量，相等向量，共线向量。（1）零向量与任向来量平行0a。（2）若a与b共线，则ab。（3）若a与b相等，则ab且ab2平面向量的线性运算：1）向量的加法运算：三角形法规（左图），平行四边形法规（右图）。2）三角形不等式：ababab（3）向量的加法满足交换律，结合律。（4）向量的减法运算：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。（5）向量的运算公式：ABBCAC（合并公式），ACABBC（分解公式），ABBA0这些在做题中应用相当广泛。（6）

7、向量的数乘运算：aa，0时，a的方向与a相同；0时，a的方向与a相反；0时，a0。向量的数乘运算吻合交换律，结合律，分配律。（7）向量共线定理：若a与b共线，a0则有唯一的实数，使得ba。用这个结论可以证明两向量共线。3平面向量的基本定理：若是e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2。（不共线的向量e1，e2作为这一平面内全部向量的一组基底）4平面向量的坐标运算：1）平面向量的坐标：将向量的始点平移到坐标原点上则向量的终点对应的坐标即为该向量的坐标。即一个向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标。（2）平面向量的坐标运算：若

8、ax1,y1，bx2,y2，则：abx1x2,y1y2abx1x2,y1y2ax1,x2（3）平面向量共线的坐标表示：若ax1,y1，bx2,y2，a与b共线，则有以下关系：x1y2x2y10用这个结论可以证明两向量共线。（4）两点Ax1,y1，Bx2,y2之间的距离公式，中点C的坐标公式为：ABx1x22y1y22Cx1x2,y1y222（5）分点坐标公式：设点是线段x1,y1，x2,y2uuuruuur12上的一点，1、2的坐标分别是，当12时，点的坐标是x1x2,y1y2115平面向量的数量积：（1）ababcos（为a与b的夹角），零向量与任向来量乘积为0。（2）ababa与b同向；a

9、b0为锐角；ab0为直角；ab0为钝角；ababa与b异向。（3）abab0abab（4）平面向量数量积的坐标表示：若ax1,y1，bx2,y2，为a与b的夹角，则有以下关系：abx1x2y1y2cosabx1x2y1y22222abx1y1x2y26正弦定理与余弦定理：（1）正弦定理：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，则：abc2RabcsinAsinBsinAsinBsinCsinC（2）余弦定理：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC解三角形的推论：

10、（1）三角形的面积公式：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：S111acsinBabsinCbcsinA222（2）判断角的大小范围：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2b2c2C为锐角；a2b2c2C为直角；a2b2c2C为钝角。（3）判断三角形解的情况：1已知一边与两个角。（一个解）2已知三边。（若两边之和大于第三边则有一个解，否则无解）3已知两边及其夹角。（一个解）4已知两边及一边的对角。（一个解，两个解也许无解）已知三角形ABC两边a，b，a的对角为A。（1）若A为直角也许钝角，ab，则有一个解，否则无解。（2）若A为锐角，absin

11、A，则有两解。B可取锐角也许钝角。（3）若A为锐角，absinA，则有一解。B可取直角。（4）若A为锐角，absinA，则无解。（4）在三角形内成立的特别关系：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：sinABsinCcos(AB)cosC0sinABcosCcosABsinC2222tanAtanBtanCtanAtanBtanC（5）中线长公式：若在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a边上的中线长为ma，b边上的中线长为mb，c边上的中线长为mc则：2b22c2a22a22c2b22a22b2c2ma2mb2mc2第三部分数列1等差数列：（1）等差数列

12、的递推公式：an1and。（2）等差数列的通项公式：ana1n1d。（3）若a，b，c成等差数列，则b为a与c的等差中项，则2bac。2等差数列的前n项和：等差数列前n项和的公式：Snna1an，Snna1nn1d。223等差数列的推论：（1）anan1d（可用此证明等差数列）。（2）2anan1an1。（3）a1ana2an1a3an22a中（结论2的实行）。（4）若an，bn为等差数列，那么panqbn也为等差数列。（5）aman(mn)d（通项公式的实行）。（6）求公差的公式：danan1，daman。mn（7）若mnpq，那么amanapaq。（8）等差数列的通项公式也可表示为anpn

13、q，它是一个一次函数，已知任意两项，即可用待定系数法求通项公式。其中，a1pq，dp。（9）（依照结论3进行推导）（10）等差数列前n项和的公式为Snna1nn1d，也可表示为SnAn2Bn，它是一个二次函数，2其中，a1AB，d2A。反之，若SnAn2Bn，则an为等差数列。若SnAn2BnC，则an从第2项起为等差数列。（11）已知Sn，求an的方法：a1S1，anSnSn1n2（12）若an为等差数列，则Sn也为等差数列。n（13）若an，bn为等差数列，其前anA2n1n项和分别为An，Bn，那么B2n1bn（14）Sm，S2mSm，S3mS2m，mZ也为等差数列。（15）若项数为2n

14、nN*，则S2n2n1an，S偶S奇nd，且S奇an。S偶an1（16）若项数为2n1*，则，且S奇S偶a，S奇n，其中，奇，nNS2n12n1annSnanS偶n1S偶n1an。4等比数列：（1）等比数列的递推公式：an1qan（2）等比数列的通项公式：ana1qn1（3）若a，b，c成等比数列，则b为a与c的等比中项，则b2ac5等比数列的前n项和：等比数列前n项和的公式：Sna11qna1anq1，Snqq16等比数列的推论：（1）and（可用此来证明等比数列）an1（2）an2an1an1（3）a1ana2ana3an2（结论2的实行）。12a中（4）若an，bn为等比数列，那么anb

15、n也为等比数列。（5）amanqmn（通项公式的实行）。（6）求公比的公式：qan，qmnam。an1an（7）若mnpq，那么amanapaq。（8）等比数列前n项和的公式经过变形，可写为SnAqnA的形式，其中Aa11。反之，若数列前n项q和满足SnAqnA，则该数列为等比数列。（9）若在a，b之间插入n个数，使之成为等比数列，则这个等比数列的公比qn1b。an项和有分式的项进行裂项，提取公因式，全部相加可消去其中大多项，经过适（10）Sm，S2mSm，S3mS2m，mZ也为等比数列。（11）若项数为2nnN*，则S偶qS奇（12）设等比数列前n项积为Tn，若项数为2nnN*T偶qn，若项

16、数为2n1nN*奇qn。，则，则TT奇T偶7数列技巧方法归纳：（1）叠加法，累乘法。一般方法：将数列的递推公式也许数列前n项和的递推公式从1n全部列出，将所列出全部的式子全部相加（或相乘）获取数列的通项公式也许数列前n项和的公式。（2）倒序相加法一般方法：将数列的前n项和的排列成序次和倒序两种形式，两式相加，经过合适变形，获取前n项和的公式。（3）错位相减法一般方法：前n项和两边乘以（或除以）必然倍数有递加（或递减）趋势的量，作为一式，来减去原式，经过合适变形，获取前n项和的公式。（4）裂项相消法。分式裂项公式：11111111nnaannannaanan（n和a既可以为常数，也可以为字母或代

17、数式）一般方法：将数列的前当变形，获取前n项和的公式。（5）构造数列法。一般方法：若是题目中已给出特定的形式，则直接换元，变为等差数列也许等比数列，求出所求通项公式今后，再换回来得解。若题目中无特定的形式，则采用两边同时相加（减）也许两边同时相乘（除）的方法，换元变为等差数列也许等比数列，求解。（6）由递推公式求通项公式：an1panqp,q为常数型：递推公式两边加一个常数k，使之满足两边项的系数比相等，两边相除，构造等比数列求解。其中kq，通项公式为ana1kpn1kp18解答数列大题的一般步骤：（1）若已知Sn，Sn1，an，an1的关系，利用公式：a1S1，anSnSn1n2，转变为an

18、，an1等量的递推关系。（2）利用递推关系进行合适的变形（构造数列，两边相加，相乘等方法），将数列转变为熟悉的等差数列或等比数列来求得通项公式。3）利用通项公式进行解析，利用叠加法，累乘法，倒序相加法，错位相减法，裂项相消法等方法进行变形，整理，得出该数列的求和公式。4）在整个过程中要注意必定使脚码的数值有意义。第四部分不等式1不等式的性质：1）若是2）若是3）若是ab0，那么ab；若是ab0，那么ab；若是ab0，那么ab。ab，bc，那么ac。ab，那么acbc。4）若是5）若是6）若是7）若是ab，c0，那么acbc；若是ab，c0，那么acbc。ab，cd，那么acbd。（不等式的相加

19、原理）ab0，cd0，那么acbd。（不等式的相乘原理）ab0，那么anbn。n1（8）若是ab0，那么nanb。n12不等式性质的应用：（1）证明某不等式成立。（2）不等式性质的推论：若ab0，c0，则bbc，aac。aacbbc（3）已知几个字母的范围，求它们和，差，积，商的范围。（利用性质3，4，5，6）（4）做差法比较数或代数式的大小：利用性质1：若是ab0，那么ab；若是ab0，那么ab；若是ab0，那么ab。（5）做商法比较正数也许正今世数式的大小：若是a1，那么ab；若是a1ab；若是a1，那么那么ab。其中a0b0bbb。且3一元二次不等式的解法：1）二次函数的图象、一元二次方

20、程的根、一元二次不等式的解集间的关系：先将一元二次不等式的二次项系数变为正，尔后看图写解集，以下表：鉴识式b24ac000二次函数yax2bxca0的图象一元二次方程bb24acx12abax2bxc0a0 x1x2没有实数根的根bb24ac2ax22a一元二次不等式bax2xxRbxc0a02axxx1或xx2的解集一元二次不等式ax2bxc0a0 xx1xx2的解集（2）若0，一元二次方程ax2bxc0a0的根为x1，x2，若所对应一元二次不等式二次项系数a与不等式整体的系数同号，则解集取两边；若所对应一元二次不等式二次项系数a与不等式整体的系数异号，则解集取中间。（同号取两边，异号取中间

21、）（3）一元二次不等式中的分类谈论思想：1若二次项系数为字母，则需考虑二次项系数为0的情况。2若一元二次不等式中含有字母，解出的两根需要考虑大小问题，分类谈论，再取解集。（4）一元二次不等式中的解的情况：1一元二次不等式ax2bxc0a0恒成立的条件是a0且0；一元二次不等式ax2bxc0a0恒成立的条件为a0且0。（即解集为R）2一元二次不等式ax2bxc0a0解集为的条件是a0且0；一元二次不等式ax2bxc0a0解集为的条件为是a0且0。4一元二次方程的有关技巧：（1）速解特别一元二次方程的根的技巧：1一元二次方程ax2bxc0a0中，若2一元二次方程ax2bxc0a0中，若abc0，则

22、x11，x2c。abac，则x11，x2c。a（2）十字相乘法解一元二次方程：一般方法：将一元二次方程的三个系数均化为无分母的形式（既不是分数也不是小数），且a的为正整数，获取ax2bxc0a0，将a分解成2个正整数的乘积a1,a2，将c分解成2个非分数的乘积c1,c2，进行交织相乘，若是a1c2a2c1b，那么分解成功，原方程可转变为a1xc1a2xc20的形式，化为两个一元一次方程，进而求得方程的根。（3）一元二次方程根情况的谈论：b且c。1两根x1，x2同时为正a0a0b且c。2两根x1，x2同时为负a0a03两根x1，x2c异号0a5特别不等式的解法：（1）分式不等式的解法：一般方法：

23、先将全部项移到不等式左边，通分，若是分式的值大于0，则分子与分母同号，求解；若是分式的值小于0，则分子与分母异号，求解。注意分母不行以为0。（2）一元高次不等式的解法：一般方法：解出其中的全部根x1，x2，xn，从小到大排序，画在数轴上，从右上开始像穿针线那样画一条穿过全部根的线，若有同时有偶数个相同的根，则反弹回去，若同时有奇数个相同的根，则正常穿过。若求的是大于0的解集，则看数轴上方线上对应的x，即为原不等式的解集；若求的是小于0的解集，则看数轴下方线上对应的x，即为原不等式的解集。（理论本源：三次函数以上高次函数的图象可得，这里不做研究。）6解析几何的简单知识：（1）直线的倾斜角与斜率1

24、一条直线与x正半轴方向所夹的角为该直线的倾斜角，若该直线与x轴平行或重合，则0。2直线斜率k的公式：若倾斜角为，则ktan；若直线上任意两点坐标为x1,y1,x2,y2，则ky2y1。若是该直线垂直于x轴，则该直线的斜率不存在。x2x1（2）直线的方程的形式：1一般式：AxByC0A,B不相同时为02斜截式：ykxbk为斜率，b为直线在y轴上的截距3点斜式：yy0kxx0k为斜率，x0,y0为该直线上的任意一点yy1xx1x1,y1,x2y2为该直线上任意两点4两点式：y1x2x1y2xy1a,b分别为直线在x轴上的截距与直线在y轴上的截距5截距式：ba（3）点x,y到直线AxByCAxByc

25、0的距离为。A2B2（4）圆的标准方程为xa2yb2r2a,b为圆心坐标，r为半径。7二元一次不等式（组）与平面地域：（1）确定二元一次不等式AxByC0或AxByC0A,B不相同时为0平面地域的方法：先在平面直角坐标系中画出所对应的直线AxByC0A,B不相同时为0，将平面地域分成两大块，选择测试点，带入原不等式，若是成立，则解集为该点所在的地域。若是不成立，则在另一边的地域。（2）确定二元一次不等式AxByC0或AxByC0A,B不相同时为0平面地域的方法：若B的符号与不等式整体的符号同号，则满足原不等式的平面地域位于直线的上方；若B的符号与不等式整体的符号异号，则满足原不等式的平面地域位

26、于直线的下方。（同号取上方，异号取下方）3）确定二元一次不等式组的平面地域：把各个二元一次不等式的平面地域画出来，取公共部分，即为原二元一次不等式组的平面地域。8线性规划问题：（1）求目标函数zaxby（a,b不相同时为0）的最值：一般方法：先画出满足题意的二元一次不等式组的平面地域，先把目标函数化为yaxz的形式。bb若z0，求z的最大值，由于斜率必然，则将yaxz在满足线性拘束条件的前提下平移，找到bbbz直线与y轴截距最大的点，及截距，可算出z的最大值；最小值同理。若0，则截距的最大值求出的z为z的最小值；截距的最小值为出的z为z的最大值。b（2）若使目标函数zaxby（a,b不相同时为0）获取最值的最优解有无数个，则目标函数对应的直线azyx必与