数学建模习题集及答案解析课后习题集

1、.第一局部 课后习题学校共 1000 名学生，235 人住在 A 宿舍，333 人住在 B 宿舍，432 人住在 C 宿舍。学10人的委员会，试用以下方法分配各宿舍的委员数：1按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数局部较大者。22.1 节中的 Q 值方法。dHondt 方法：将 各宿舍的人数用正整数 12345A235117.578.358.75B333166.511183.25C43221614410886.4将所得商数从大到小取前 10 10 的数分别为 2，3，5，这就是 3 个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。如果委员会从 10 人增至 15 人，用以上 3 种方法

2、再分配名额。将 3 种方法两次分配的结果列表比较。4你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品廉价这种现象了吗。比方洁银牙膏 50g 装的每支 1.50 元，120g 装的 3.00 元，二者单位重量的价格比是 1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。分析商品价格C 与商品重量w 定，这些本钱中有的与重量w 成正比，有的与外表积成正比，还有与w 无关的因素。2给出单位重量价格c 与 w 的关系，画出它的简图，说明w 越大 c 越小，但是随着 w的增加 c 减少的程度变小。解释实际意义是什么。身长cm重量g身长cm重量g胸围cm36.831.

3、843.836.832.145.135.932.17654821162737482138965245424.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析建立模型，再用数据确定参数用宽 w 的布条缠绕直径d 的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应.jz.可能多的圆盘。建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。之间的关系吗。下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。组别最大体重抓举 kg挺举 kg总成kgkg154132.5155287.5259137.5170307.5364147.5187.5335470162.5195357.5576167

4、.5200367.5683180212.5392.5791187.5213402.5899185235420910819523543010108197.5260457.5第一局部 课后习题答案12的席位分配结果如下表：宿舍123123A322443B333555C455667总计1010101515151生产本钱主要与重量w 成正比，包装本钱主要与外表积s 成正比，其它本钱也包含与w 和s 成正比的局部，上述三种本钱中都含有与 .jz.形状一定时一般有s w2 / 3 C w2 / 3 , 为大于 0 C2单位重量价格c w1/ 3 w1 ，其简图如下：显然 c 是 w 的减函数，说明大包装比

5、小包装的商品廉价减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上一样，所以重量 w 与身长l 的立方成正比，即w k l 3 k 为比例系数。11常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等对待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，那么横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是w k d 2 l ， k 为比例系数。22利用数据估计模型中的系数可得k =0.014k =0.0322，将实际数据与模型结果比较如12下表：实际重量g模型76548211627374821389652454727469122672748313

6、3972746912267274831339675483730465110073048314716074831模型w k2d 2 l根本上满意。将管道展开如图：可得 w d cos ，假设 d 一定，w 趋于 0， 趋于 /2；w 趋于 d， 趋于 0。假.jz.设管道长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然 dl /w.，假设考虑两端影响，那么应加上 dw/sin 。对于其它形状管道，只需将 d 改为相应的周长即可。设圆盘半径为单位 1，矩形板材长 a，宽 b材之间均可相切。方案一：圆盘中心按正方形排列，如以下列图1，圆盘总数为 N =a/2b/21方案二：圆盘中心按六角形排列，如以下列图

7、2，行数m 满足 m-13 a，于是m= a 2 133图 1 图 22 第 1 n b/2； 假设bb/2b/2-1。圆盘总数为 N2 m(b1)/2mm(b1)/21/2其中1为：m 为偶数。2为：m 为奇数，b为偶数。：两个方案的比较见下(表中数字为N /N)：12ab342/273/3105/5157/82054/46/688/71010/9142020/1930/2950/4870/76100/105当 a，b 较大时，方案二优于方案一。其它方案，方案一、二混合，假设 a=b=20，3 行正方形加 8 行六角形，圆盘总数为 106。假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不

8、变且动物体内热量主通过它的外表积散失，对于一种动物其外表积S 与某特征尺寸 l 之间的关系是S l 2 ，所以饲养食物量w l 2 。.jz.假设举重比赛成绩 y 与运发动肌肉的截面积 s 成正比，而截面积s l2 l wl3 ，于是 y w2/3 。用举重总成绩检验这个模型，结果如以下列图 3；如果用举重总成绩拟合 y w 得 =0.574。图 3 图 4第二局部课后习题Malthus模型预测的优缺点。阻滞增长模型预测的优缺点。简述动态模型和微分方程建模。按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。表达 Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。试比较连续形式的阻滞增长模型

9、 (Logistic 模型)和离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。第二局部课后习题答案优点: ; 缺点: ; 原因: 数, 没有考虑环境对人口增长的制约作用。优点: ; 缺点: ; 原因: 预报时假设固有人口变化而变化。动态模型: (空间)的演变过程, 分析对象特征的变化规律, 预报对象, : 的关系确定函数, 根据建模目的和问题分析作出简化假设 , 按照内在规律或用类比法建立微分方程。.jz.描述传染病的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 预报传染病高潮到来的时刻, , 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。, (假设性别比为 1:1), 是一种

10、差分方程模型。连续形:y(t)表示某种群t 时刻的数(人)dy ry(1y )dtNm离散形:y 表示某种群第n 代的数(人)ny yn1n ryn(1yn ), n 1,2,Nmy假设 yn N,那么 mn1,y, Nm Nm,y* Nm是平衡点;yn1 ryn(1n )Nmrr1的平衡点为 y* N.y (r 1)y1y 的平衡点为 x* 1, 其mn1n(r1)Nmr1b中b 1r,xry/(1r)N, f (x)bx(1x), 此时的差分方程变为nnm.x bx (1 x ) f (x )n 1,2,.n1nnnx f (x) bx(1 x1,1b1 0.在平衡点 x* 0 处,由于

11、f (0) b 1 ,因此, x*1 0 不稳定.在在平衡点 x* 1b处, 因 f (x* ) b(1 2x* ) 2 b ,所以1(i)f (x* ) 1 b 3当b 3 时, 1;b(ii)f (x*) 11b3当1b 3时, 1 1 .b第三局部 课后习题判断以下数学模型是否为线性规划模型a,b,c为常数，x,y为变量.jz.f 3x .7xx 2x1236x8 1235x x8x 20s.t1233x 4x1 12x ,x012(2)max f n c xjjj 1 nijia x j bijis.tj (i m)x0(j n)xjmin f a 2b 2 y ,iii 1jjj 1

12、x yiic2(i j m)ij将下述线性规划问题化为标准形式。Z x12x23x3 2x x x9x 3 1 23xx2x414 x 2x423 6123x 0,2 x 取值无约束123Z | x | | y|x y 2x 3x,无约束min f 2x x122x3 x x x 4123 x x x 6123x x1 0, x3无约束.jz.max f 2x x12.3x x34x x x x 7 12342x 3x5x 8s.t.x1122x32x14x , x13 0, x2 0, x4无约束用单纯形法求解线性规划问题。max f 2x15x2x 412x122123x 2x12 18x

13、 ,x012检验函数 f (x) 100(x2 x 2 ) 1 (1 x1) 2 在 x*g 0, G* 正定，从而x* 为极小点。证明G 为奇异当且仅当x2f (x) 0.0025 的 x，G 是正定的。x2 0.005 ，从而证明对所有满足1求出函数 f (x) 2x1x22x x1 2x1x4 的所有平稳点；问哪些是极小点？是否为1全局极小点？应用梯度法于函数 f (x) 10 x 1 x 2 , 取 x (1)2 (0.1,1)T . 迭代求 x ( 2) .第三局部 课后习题答案答案1是2不是是1令x x , x11 x x3,x2 x2 2.引入松弛变量x4x x 65.jz.mi

14、n z x12x23x33x3.42x x x x x7 12334x x 2x 2x x212335s.t4x 2x 3x 3x 21233x x426x , x1,x3,x3,x4, x ,x0562令x, xx0y, y 0, y 0 x ,x,y1x0.2 x, x010, y 0.2 y, y 0引入松弛变量s,t.可得到如下的标准形式：min z x x1y y12x x y s 2 1212s.tx x t 3 12x , x , y , y , s,t 012123解： 令x1 x , x1 x x 33引入松弛变量x ,可得到如下的标准形式z 2x x 2x 2x 41233

15、x x x x 1234s.tx x x xx6 12334x , x , x , x ,x0123344解：令x x ,x x x 22444引入松弛变量x , 和剩余变量x ,可得到如下的标准形式 ：56min f f 2x1 x 3x2 x x 44x x x 12 x x x74452x 3x 5x 8s.t.x122x2x2xx1 13446x ,x1, x , x3, x4, x ,x056.jz.答案：在上述问题的约束条件中参加松弛变量x x x ，将原问题化成标准形式如下：345min f f 2x15x2x x 4s.t.132x x1252125 123x2x x18x ,

16、 x ,x0125其现成可行基, , 对应的单纯形表如下：345f2x31x40 x3x 1 xx 1 x2 x3 x4 x550000501004201012200118换基迭代，得0- 5/20-30 x x12x x12fxx342x503452x1100-1/31/32x3101004x20101/206x5300-116x x12xxxf000-11/6-2/3-3x30011/3-1/32x0101/206X * (2,6,2,0,0)T ，目 标 函数的最优值为 f * 34 . 400 x x 400 x3 2x 24.证明：g(x) 12200(x211 x 2 )1 400

17、 x1200 x2 2 400 x G(x) 21 400 x12001 ， 802400经检验，g(x*) G(x*) 400 正定，G(x) 奇异当且仅当 G(x) 0, 即 x2 x 2 0.005。1.jz.400 x假设21200 x 2 2 01.，即 x 2 x 0.005 .0 时， G(x) 正定，80000 x1 80000 x2 400 012所以假设 f (x) 0.0025, 那么100(x2 x2 )1 0.0025 ，即x2x1 0.005 ，故G(x) 正定。 4x2x 6x2 4x3 5.g(x) 12112x 2x )21412x12x 2G(x) 112

18、， 故平稳点为 (0,0),(0.5,0.5),(1,1), 极小点为(0,0),(1,1), 且是全局极小点。6.x(2) (99,)T110 11第四局部 课后习题如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能确定，即图中b 的数值不确 、b应满足什么条件？a, (0, 4).jz.静态贝叶斯博弈中参与人的策略有什么特点？为什么？有了海萨尼转换，不完全信息动态博弈和完全但不完美信息动态博弈根本上是一样的这种论述是否正确？判断以下论述是否正确，并作简单讨论。的判断是正确的，那么交易者肯定不会懊悔。力素质有不可替代的作用。假设1 的情况还是得益矩阵 2 的情况，并让博弈方 1 知道而不让博

19、弈方 2 博弈方 1 在 T 和 B 中选择，同时博弈方 2在 L和 R中进展选择。找出该静态贝叶斯博弈的所有纯策略贝叶斯纳什均衡。请用下面这个两市场博弈验证海萨尼关于混合策略和不完全信息博弈关系的结论。第四局部 课后习题答案参考答案：a 而 b 表示甲的得益。在第三阶段，如果a 0 ，那么乙会选择不打官司。这时逆推回第二阶段，甲会选择不分，因为分的得益 2 小于不分的得益 0 1 小。在第三阶段，如果 a 0 ，那么乙轮到选择的时候会选择打官司，此时双方得益是(a,b)。逆推回第二阶段，如果b 2 ，那么甲在第二阶段仍然选择不分，这时双方得益为.jz.(a,b)a 1.时乙会选择不借，双方得

20、益a1a,bb 2，那么甲会选择分，此时双方得益为2，2212，2根据上述分析我们可以看出，该博弈比较明确可以预测的结果有这样几种情况：1a 0 ，此时本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方，完毕博弈，双方得益b 的值是多少0 ab 2，此时博弈的结果仍然是乙在第一阶段选择不借，完毕博弈，双方得益1，03a且b 2 ，此时博弈的结果是乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打，最后结果是双方得益a,b4a b 2 ，此时乙在第一阶段会选择借，甲在第二阶段会选择分， 2，2要本博弈的“威胁，即“打是可信的，条件是a 0 。要本博弈的“承诺，即“分是可信的，条件是a 0 且b

21、2 。注意上面的讨论中没有考虑 a=0a=1b=2 很难用理论方法确定和预测。不过最终的结果并不会超出上面给出的范围。参考答案：静态贝叶斯博弈中博弈方的一个策略是他们针对自己各种可能的类型如何作相应的 的策略仍然是一种行为选择，但我们同样可以认为是其类型的函数。可能类型下的最优行为，而不仅仅只考虑针对真实类型的行为选择。参考答案：正确。事实上，不完全信息动态博弈与完全但不完美信息动态博弈本质上常常是一样的，是一种博弈问题的两种不同理解方法，而把它们联系起来的桥梁就是海萨尼转换。参考答案：1错误。即使自己对古玩价值的判断是完全正确的，仍然有可能懊悔。因为古玩承受的成交价格，因此仅仅自己作出正确的

22、估价并不等于实现了最大的潜在利益。2错误。事实上经济学并没有证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。 .jz.可能对提高劳动力素质有作用以外，还具有重要的信号机制的作用。也就是说，即使教育并不能提高劳动力素质，往往也可以反映劳动力的素质。参考答案：在这个静态的贝叶斯博弈中，博弈方1 1 时选择T，当“自然选择得益矩阵2 时选择。博弈方 2 的策略那么根据期望利益最大化决定。博弈方 2 选择 L 0.510.50 0.5R 策略的期望得益为0.500.52 2 必定选择 。1 1 择 T2 时选择B2 选择。参考答案：0.5 的概率随机选择A 和B。矩阵所示：其中t 和t12 , 时候，我们

23、不难证明厂商 1 采用策略“ t10时选择 A，否那么选择 B，厂商 2 也采用策略“t 0 时选择 A，否那么选择 ，构成这个不完全信息静态博弈的一个贝叶斯纳2什均衡。根据t 和t12的上述分布，我们知道两个厂商选择A 和 B 的概率都是 0.5。当 趋向于 0 时，这个不完全信息博弈与完全信息博弈越来越接近，其纯策略贝叶斯均衡当然与完全信息博弈的混合策略纳什均衡完全一样。第五局部 课后习题简述古典回归模型的根本假定。检验的原理和目的。简述虚拟变量的作用和设置原那么。简述多重共线性产生的原因和影响。异方差的后果D.W检验的优缺点.jz.第五局部 课后习题答案1解释变量 x取值是可控的、固定的

24、。 =0，即随机误差项的平均值为零。iK是一样的。=2常数，即各随机误差项的离散程度或波动幅度非自相关假定 ，ij，即随机误差项之间是互不相关、互不影响的。ijiX =0或 X iii与随机误差项互不相关，彼此独立的对y 产生影响。无多重共线性假定，即解释变量之间不存在完全的线性关系。2目的：检验模型的异方差性。1 和样本 2 分别建立回归模型，并求出各自的残差平方和RSS1 和 RSS2RSS1 与 RSS2 的值应该大致一样；假设两者之间存在显著差异，那么C 个C=n/4F 统计量判断差异的显著性。评价：GQ 果与数据剔除个数C 的选取有关。3作用：反响无法度量的定性因素对经济变量的影响，

25、使模型更加准确地反响实际。设置原那么：对于一个因素多个类型的虚拟变量：对于有m 个不同属性类型的定性因素， 应该设置 m-1 个虚拟变量来反映该因素的影响。对于多个因素各两种类型的虚拟变量：如果有 m 的属性类型，那么引入m 个虚拟变量。4产生原因：1经济变量的内在联系是产生多重共线性的根本原因。2经济变量变化趋势的“共向性。3解释变量中含有滞后变量。影响：1增大 OLS 估计的方差。2难以区分每个解释变量的单独影响。3T 检验的可靠性降低。4回归模型缺乏稳定性。5.jz.1OLS 估计失效2t 估计失效3模型预测误差增大6优点：适用范围广、检验方便缺点：1有两个盲区2模型中不能含有滞后变量3

26、只能检验一阶滞后自相关第六局部 课后习题试举出三个模糊集合的例子。模糊性和随机性有哪些异同？我们给定一个三角形，测得三个内角的读数为C=45。令I 表示“近表示“近似正三角形，它们都是U 上的 Fuzzy集，其隶属函数规定如下：I (B,C) 1I1 min B, B C60R (B,C) 1RR (B,C) 1R1A 90601 ( A C)60问给定的三角形属于哪一类？设U b,c, d ,求 A B,ABA 0.50.10.30.91abcdeB 0.4 0.2 0.6 0.6 0.7abcde影响教师教学质量的因素可以取为四个：=清楚易懂， =教材熟练， =生动有趣， 1 2 3=板书

27、清楚。这样便做出因素集U , , ,0.5，0.2，0.2，0.11234评价取集为V v v v 很好，较好，一般，不好=1234.jz.对于某个教师 ，请假设干人教师，学生等等1.来说，假设有40%的人说好， 的单因素决策向量：1类似地有问该教师的教学质量如何评价？设 X 1,x ,23x ，对 有：45,x,x , x 0 0.41234 5x,x ,x ,xx 240.4 0.6A,0.60.7,x 2,0.7 0.8试求 A 。x140.8 1.0第六局部 课后习题答案3.答案：计算I (80,55, 45)IR (80,55, 45)R5 0.8368 0.899 (80,55, 45) 135R180R 0.81按最大隶属原那么，这个三角形应归入“近似直角三角形。答案：A B (0.5 0.4) (0.1 0.2) (0.3 0.6) (0.9 0.6) (1 0.7) 0.4 0.1 0.3 0.6 0.7 0.7AB (0.50.4)(0.10.2)(0.30.6)(0.90.6)(10.7) 0