直线圆锥曲线有关向量的问题

1、v1.0可编写可更正直线圆锥曲线有关向量的问题高考考什么知识要点：1直线与圆锥曲线的公共点的状况直线：axbyc0Bx(或Ay2ByC0)曲线：f(x,y)Ax2C00（1）没有公共点方程组无解（2）一个公共点i)订交A0ii)相切A0,0（3）两个公共点A0,02连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：12y1y2AB1k2x1x21k3以平面向量作为工具，综合办理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题几何与向量综合时可能出现的向量内容（3）给出,等于已知是的中点;（5）给出以下状况之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三

2、点共线.（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角。1v1.0可编写可更正（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直均分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;高考怎么考主要题型：1三点共线问题；2公共点个数问题；3弦长问题；

3、4中点问题；5定比分点问题；6对称问题；7平行与垂直问题；8角的问题。近几年平面向量与剖析几何交汇试题观察方向为1）观察学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。2）观察学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的地址关系。特别提示：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线地址关系的重要工具。例1过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP2PA且OQ?AB1，则点P的轨迹方程是（D）2v1.0可编写可更正A3y2B3x23y23x21(x0,y0)1(x0,y0)

4、22C323y21(x0,yD323y21(x0,y0)x0)x221x2221的长轴为短轴，且与1例2已知椭圆C：4y1，椭圆C以CC有相同的离心率求椭圆C2的方程；AB的方程(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB2OA，求直线y2x2解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为a241(a2)，其离心率为3a2432y2x22，故a2，则a4，故椭圆C的方程为1641.(2)解法一：，两点的坐标分别记为(x，y)，(x，y)，AABB由2及(1)知，B三点共线且点，不在y轴上，因此可设直线的方程OBOAOAABAB为ykx.x221中，得(12)x224，2A22yx22将yk

5、x代入1中，得(4k)x16，16421622因此xB4k2，又由OB2OA，得xB4xA，16即4k214k2，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，B三点共线且点，B不在y轴上，因此可设直线的方程OBOAOAAAB为ykx.x2222将ykx代入4y1中，得(14k)x4，24A2因此x14k，由OB2OA，216216k2，2Bk2Bk3v1.0可编写可更正22y2x24k222将xB，yB代入1641中，得1421，即4k14k，k解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.例4已知A,B为抛物线x2=2py

6、(p0)上异于原点的两点，OAOB0，点C坐标为（0，2p）（1）求证：A,B,C三点共线；（2）若AMBM（R）且OMAB0试求点M的轨迹方程。1）证明：设A(x1,x12),B(x2,x22)，2p2p由OAOB0得x1x2x12x220,x1x24p2，2p2p又AC(x1,2px12),AB(x2x1,x22x12)2p2px1x22x12(2px12)(x2x1)0，2p2pAC/AB，即A,B,C三点共线。（2）由（1）知直线过定点，又由OMAB0及AMBM（R）知，ABCOMAB垂足为，因此点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为Mx2+(y-p)2=2(x

7、0，y0)。p例6设F1、F2分别是椭圆x2y21的左、右焦点.4（）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值;（）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不相同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.解：（）解法一：易知a2,b1,c3，因此F3,0,F23,0，设Px,y，1则PF1PF23x,y,3x,yx2y23x21x2313x2844因为x2,2，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值-24v1.0可编写可更正当x=2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值1解法二：易知a2,b1,c3，因此F13,0,F

8、23,0，设Px,y，则222PF1PF2PF1PF2cosF1PF2PF1PF2PF1PF2F1F22PF1PF21x2y2x2y212x2y23（以下同解法一）332（）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l:ykx2,Ax,y2,Bx,y，122ykx2212联立，消去y，整理得：k4kx30 x2y2x144x1x24k,x1x23k21k21443或k由4k4k134k230得：k32422又00A0B900cosA0B0OAOB0，OAOBx1x2y1y20又yykx2kx2k2xx2kxx243k28k24k211212121k21k21k214443k210，即k24k21k2

9、1442k2故由、得2k33k2或22自我提升1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足OCOAOB，其中R，且=1，则点C的轨迹方程为(D)A3x+2y-11=0B22C2x-y=0Dx+2y-5=0(x-1)+(y-2)=52、已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x2)iyj,b=(x2)iyj,且5v1.0可编写可更正满足|a|+|b|=4.则点P(x,y)的轨迹是.(C)A椭圆B双曲线C线段D射线y252012许昌一模设F1、F2分别是双曲线x291的左、右焦点若点P在双曲|()PFPFPFPF12A22C42D2105D剖析依照已知PF

10、F是直角三角形，向量PFPF2PO，依照直角三角形斜1212边上的中线等于斜边的一半即可求出，则|.PF1PF20PF1PF2|2|PO|F1F2|210.6已知A、B为抛物线x2=2py(p0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则y轴上恒存在一点K，使得KA?KF0；CF?DF0；存在实数使得ADAO；若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有FT?AB0。中说法正确的为_7.已知椭圆x2y21，过P(1,0)作直线l，使得l与该椭圆交于A,B两点，l与y2轴的交点为Q，且AQPB，求直线l的方程。解：直线l过P(1,0)，故可设方程为y=k(x-1)，因为AQPB，

11、因此AB的中点与PQ的中点重合.由得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0因此4k2，又x2y21xAxB22k21yk(x1)xP+xQ=1故4k2得2，所求的直线方程为2(x。1ky1)12k222x2y2a282012瑞安质检设椭圆M：a221(a2)的右焦点为F1，直线l：xa22与其中O为坐标原点)11求椭圆M的方程；设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2(y2)21的任意一条直径(E，F为直6v1.0可编写可更正径的两个端点)，求PEPF的最大值a2，F1(a22，0)，解：(1)由题设知，Aa22，011a2x2y2由OF2AF0，得222因此椭圆M的方程为62a2

12、2a2.解得a6.1.解法1：设圆N：x2(y2)21的圆心为N，222则PEPF(NENP)(NFNP)(NFNP)(NFNP)NPNFNP1.220y0设P(x0，y0)是椭圆M上一点，则222212.621，因此NPx0(y02)2(y01)因为y02，2，因此当y021时，NP获取最大值12.因此PEPF的最大值为11.x2x1，解法2：设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，P(x0，y0)，因此y24y1.可得PEPF(x1x0)(x2x0)(y1y0)(y2y0)(x1x0)(x1x0)(y1y0)(4y1y0)x20 x21y20y214y14y0 x20y204y0(x21y

13、214y1)因为点E在圆N上，因此x21(y12)21，即x21y214y13.22x0y0又因为点P在椭圆M上，因此621，222211.即x063y0.因此PEPF2y04y092(y01)因为y02，2，因此当y01时，(PEPF)min11.9.设椭圆C：x2y21(ab0)的左焦点为F，上极点为A，过点A作垂直于AFa2b2的直线交椭圆C于别的一点P，交x轴正半轴于点Q，且AP8PQ5（1）求椭圆C的离心率；y（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：Ax3y50相切，求椭圆C的方程.PFOQx7v1.0可编写可更正解：设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知FA(,),AQ(x0,)cbbFAAQ,cx02b2b0,x0c设P(x1,y1),由AP8PQ，得x