工程力学运动学与动力学

1、（优选）工程力学运动学与动力学第一页，共三十页。13.1 点的运动学 运动学研究模型概念：点：不考虑质量和大小及形状时的物体 点是运动学研究模型之一刚体：不考虑质量；但是,其大小及形状不可忽略的物体 刚体是运动学研究的另一物体模型第二页，共三十页。13.1 点的运动学 作为描述物体与之相对位置的参考物体 参考系1）参考体 建立在参考体上的坐标系 在工程中的力学研究中，需要指明参考体；通常将参考系固定在地面上，或者机器的机架上2）参考系 第三页，共三十页。13.1 点的运动学 描述点运动的矢量法OM1MrM2运动轨迹v考虑点M运动：运动方程： r = r(t)(13-1) 以某确定点为参考点，以

2、参考点到动点位置为矢径来描述点的位置的方法矢量法速度： v =drdt(13-2)单位: m/s，方向:轨迹切线加速度： a =dvdt=d2rdt2= r.(13-3)= r.单位：m/s2第四页，共三十页。13.1 点的运动学 描述点运动的直角坐标法OyxzjikMrzyx考虑点M在坐标系中的坐标：(x,y,z)r = x.i + y.j + z.k(13-4)运动方程： x = f1(t)y = f2(t)z = f3(t)(13-5)式（13-6）称为直角形式的运动方程；消去参数 t 得到点的轨迹方程F(x,y,z) =0(13-6)第五页，共三十页。13.1 点的运动学 描述点运动的

3、直角坐标法OyxzjikMrzyxr = x.i + y.j + z.k(13-4)速度： v =drdt= x.i + y.j + z.k(13-7)设：速度在直角坐标轴上的投影:(vx，vy，vz)v = vx.i + vy.j + vz.k(13-8)得到：vx =xvy =yvz =z(13-9)结论： 点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数第六页，共三十页。13.1 点的运动学 描述点运动的直角坐标法OyxzjikMrzyxr = x.i + y.j + z.k(13-4)速度： v = vx.i + vy.j + vz.k(13-8)加速度： a = v=

4、r= x.i + y.j + z.k= ax.i + ay.j + az.k(13-10)其中：(ax，ay，az)表示加速度在直角坐标轴上的投影。得到：ax =vxay =vyaz =vz= x= y= z(13-11)点的加速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应速度投影对时间的一阶导数，或等于点的对应坐标对时间的二阶导数。结论:第七页，共三十页。椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。求： M 点的运动方程 轨迹 速度 加速度例13-1BACOMyxj解：x=x(t)， y=y(t)。x = (OCcos

5、j +CMcos j)= (l+a)coswty = AMsin j = (l-a) sinwtta，MClBCACOCwj=, ：已知点M作曲线运动，取坐标系xOy运动方程第八页，共三十页。BACOMyxjx= (l+a)coswty= (l-a) sinwt消去参数t，得轨迹方程：椭圆速度：vx = x=- (l+a)wsinwtvy = y= (l-a)wcoswtvM = vx2+ vy2=w l2+ a2-2a.l.cos2w tcos(v,i)=vxv (l+a)wsinwtl2+ a2-2a.l.cos2w t=-cos(v,j)=vyv (l-a)wcoswtl2+ a2-2a

6、.l.cos2w t=x2(l+a)2y2(l-a)2+ = 1第九页，共三十页。x= (l+a)coswty= (l-a) sinwt加速度：cos(a,i) =axa -(l+a) coswtl2+ a2-2a.l.cos2wt=-cos(a,j) =aya -(l-a) sinwtl2+ a2-2a.l.cos2wt=w2 l2+ a2-2a.l.cos2wt#BACOMyxjax =vx= x= (l+a)w2coswt ay =vy= y= (la)w2sinwt a= a2x +a2y = (l+a)2w4cos2wt + (la)2w4sin2wt 第十页，共三十页。13.1 点

7、的运动学 描述点运动的弧坐标法 利用点的运动轨迹建立坐标系，并描述和分析点的运动的方法弧坐标法OMs(+)(-)运动方程： s= f (t)(13-12)该式称为：以弧坐标表示的点的运动方程速度： v = v.ttddts=OM Mrr vrs(13-15)速度大小： v =ddts= s方向： 沿动点轨迹的切线方向（与运动方向一致）第十一页，共三十页。= at + an nt13.1 点的运动学 描述点运动的弧坐标法运动方程： s= f (t)(13-12)速度： v = v.ttddts=(13-15)加速度： a =dvdt=dvdt t + vddt反映速度大小变化at反映速度方向变化

8、an(13-16)切向加速度：at = v= s(13-20)法向加速度：anv2r=(13-22)at = v.tanv2r= na = at + an(全)加速度：(13-18)第十二页，共三十页。13.1 点的运动学 描述点运动的弧坐标法= at + an nt加速度： a =dvdt=dvdt t + vddt(13-16)切向加速度：at = v= s(13-20)法向加速度：anv2r=(13-22)at = v.tanv2r= na = at + an(全)加速度：(13-18) 切向加速度反映的是速度值对时间的变化率，方向沿轨迹的切线方向；法向加速度是加速度方向的改变率，方向永

9、远指向曲率中心。大小：a= at2+an2方向：tanq =atan第十三页，共三十页。列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求：列车起点和未点的加速度。例13-2RsO解：分析：v0=0，at=Constant，t=120s，v =15m/s列车作曲线加速运动，取弧坐标如图dvdt= at = 常量积分得：v = at tat = v / t15120=0.125m/s2第十四页，共三十页。RsO列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求：列车起点和未点的加速度。例13-

10、2 t = 0 , an= 0 , a = at = 0.125m/s2 t = 2min =120sanv2r=(15m/s)2800m= =0.281m/s2a = at2+an2= 0.308m/s2#第十五页，共三十页。13.2 刚体的基本运动 刚体基本运动的两个类型：AB平行移动 定轴转动 第十六页，共三十页。13.2 刚体的基本运动 平移 刚体运动时，其上一直线在运动过程中始终平行于初始位置称为平行移动，简称平移。OyxzABrABrBrAA1B1A2B2A、B两点的轨迹相同rA= rB+ rAB常矢量第十七页，共三十页。13.2 刚体的基本运动 平移OyxzABrABrBrAA1

11、B1A2B2rA= rB+ rAB速度： d rABdt= 0d rAdt=d rBdt故vA= vB(13-24)加速度： d vAdt=d vBdt得aA= aB(13-25)结论： 当刚体做平动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时的速度、加速度也相同平移刚体运动，可看作点的运动研究第十八页，共三十页。13.2 刚体的基本运动 定轴转动称为定轴转动 运动刚体上(或其扩展部分) 有一条直线始终保持不动。转轴jjAZw运动方程： 定轴转动刚体位置：j 转角(rad)j = f(t)(13-26)角速度： =d tdjw=j(13-27)方向：逆时针为正，单位：弧度/秒 (rad/s)第十九

12、页，共三十页。13.2 刚体的基本运动 定轴转动jjAZw运动方程： j = f(t)(13-26)角速度： =d tdjw=j(13-27)角速度与工程转速关系： 2pn60=pn30转速n：r/min(转/分)rpm(13-28)第二十页，共三十页。13.2 刚体的基本运动 定轴转动jjAZw运动方程： j = f(t)(13-26)角速度： =d tdjw=j(13-27)角加速度： 2dt2dj=dtdwa=j=w(13-29) 角加速度的大小等于角速度对时间的一阶导数；或等于转角方程对时间的二阶导数。单位：弧度/秒2 (rad/s2)第二十一页，共三十页。例13-5 计算机硬盘驱动器

13、的电机匀变速转动，启动后为了尽快达到最大转速，要求3s内转速从零增加到3000r/min ，求电机的角加速度及转过的转数。解：t = 0 , w0 =0t = 3s :w =pn303000p30=100p (rad/s)dtdwa= 常量（匀变速转动）30100p0adt= dw积分：a= (rad/s2)100p3解得：又：dtdwa=djdwdtdj=wdtdj第二十二页，共三十页。例13-5 计算机硬盘驱动器的电机匀变速转动，启动后为了尽快达到最大转速，要求3s内转速从零增加到3000r/min ，求电机的角加速度及转过的转数。积分：#dtdwa=djdwdtdj=wdjdwj0100

14、p0adj= wdw解得：=150(rad)j = (100p)2(rad)3100p12j2pN =150p2p=75(转)第二十三页，共三十页。13.2 刚体的基本运动 定轴转动定轴转动刚体上各点的速度和加速度 OOsjMMABrvatanaq转动方程： s = rj(13-30)速度： v = s= rw= rj(13-31)加速度： at =dvdt= s= ra= rj(13-32)an=v2(rw)2r= rw2(13-33)=aw2a = at2 + an2= r a 2 + w4tanq =atan(13-34)第二十四页，共三十页。13.2 刚体的基本运动 定轴转动定轴转动刚

15、体上各点的速度和加速度 速度、加速度分布情况： vvv速度分布三角形v= rwaat= raan= rw2a= r a2 + w4aqanatavqanataqqaa加速度分布三角形=aw2tanq第二十五页，共三十页。O例：13-6 汽轮机叶轮由静止开始作匀加速转动。 轮上M点距轮心为r，在某瞬时的全加速度与转轮半径之间的夹角为 求叶轮的转动方程及 t =2s 时M点速度和法向加速度。 设：a=40m/s2；t=0；j0=0，q=30，r=0.4m。aMr分解M点的全加速度（切线和法线方向） 则，切向加速度和角加速度为：匀加速转动，角加速度a =常量，且与a同向解：第二十六页，共三十页。由初始条件，得叶轮的转动方程当 t=2s 时，叶轮的角速度为：求得M点的速度及法向加速度分别为：OaMr#第二十七页，共三十页。13.2 刚体的基本运动 定轴转动用矢量表示定轴转动刚体的角速度与角加速度 角速度矢量w指向： 右手螺旋规则大小:=wwd tdj=w作用线: 沿轴线滑移zkzwkw kw =w矢量表示：(13-35)第二十八页，共三十页。13.2 刚体的基本运动 定轴转动用矢量表示定轴转