高中数学校本课程一立体几何中的数学思想

1、主讲：李XX数学与思维发展的关系 人们常把数学形容为思维的体操。培根说过，哲理使人深刻，诗歌使人聪慧，演算使人精密。其实数学不单单使人精密，数学同样也使人深刻，使人聪慧！ 哲学、诗歌不要求每人都会 数学每人必须会 数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想。看懂下面这些图，数学就变得很容易请数一数上面有多少个黑圆点。（答案：一个没有）你看见了一个旋涡吗？（其实它们是一个个同心圆）这两条线是平行的直线吗？这两条竖线哪一条长？实际上一样长线段AB长还是BC长？说说看。不信吧？图中的圆确

2、实是一个正圆形。这个菱形的边是直的你看见什么？一张女人的脸，还是一个吹萨克斯风的人？你看见六个杯子吗？还是看见六对不同态度的脸？你看见一个男人正对你虎视耽耽。还是看到一个英文单词“Liar”？ 里面哪个人最高？其实他们一样高仔细看，你看见什么？（那倒过来看又是什么呢？） 这就是倒过来的图案。你看到了什么？一个老头还是一群人？ 有人说抽象思维与形象思维是密不可分的，形象思维体现在数学上就是用图形说话，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是基本的数学素质。如果仅仅把几何理解为培养形式的载体，那就太小看几何了。立体几何中的数学思想 几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数是数学中有序

3、思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即“洞察”与“严格”，两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。 英国数学家 M.阿蒂亚 几何主要培养：把握图形的能力、空间想象能力、直观洞察能力、用图形的语言来思考问题的能力。 几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。几何学不只是数学的一个分支，而且是一种思维方式，它应该渗透到数学的所有分支。建议1：以长方体为载体导出立体几何的八大定理建议2：处理几何证明时，要充分发挥几何直观的作用建议3：要把提高图形语言的分析能力贯穿于几何证明的始终。建议4：坚持从整体到局部，从局部到整体，从外到里，从里到外，全方位地认识、剖析图形。建议5：公理定理体系化四大公理

4、、八大定理推理思路模式化线线线面面面线面线线书写表达符号化空间概念降维凸显化 在整个高中几何学习过程中，同学们要把“把握图形的能力”作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终。 数学思想是数学的灵魂，是同学们学习过程中最需要总结的法宝，掌握有关的数学思想方法，有助于学生降低学习难度，把握知识本质和内在规律，提高数学素养，发展思维能力。下面例析数学思想方法在立体几何中的应用。一、转化的思想方法 研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几

5、个方面：1、空间问题向平面问题转化 将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。立体几何中的三种角异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。 实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。异面直线所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角的定义aMba1b1 直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a1a, b1b, 我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。o.a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1b1b

6、1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，求异面直线A1B和B1C所成的角？A1B和B1C所成的角为60在正方体AC1中，求异面直线D1B和B1C所成的角？ABDCA1B1D1C1EPABCMN空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=2，求PA与BC所成的角？E线面角斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角AOB斜线与平面所成的角（ 0, 90）直线与平面所成

7、的角 0, 90异面直线所成的角（ 0, 90求直线与平面所成的角时,应注意的问题:(1)先判断直线与平面的位置关系(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线在平面上的射影求出斜线段，射影，垂线段的长度解此直角三角形，求出所成角的相应函数值在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求A1B与平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1O如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，O为下底面AC的中心，求A1O与平面BB1D1D所成的角ABCDA1B1C1D1OO正四面体PABC中，求侧棱PA与底面ABC所成的角PABCHDPAH为侧棱PA与底面

8、ABC所成的角PA=a,AH= aCOS PAH=二面角从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角O正四面体PABC中，求侧面与底面ABC所成的角PABCHDPDH为二面角P-BC-A的平面角PD=3HDCOS PDH=ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，求二面角

9、D1ACD的大小？ODOD1为所求二面角的平面角DD1=2，DO=2tan DOD1=2 ABP M N C DO解：在PB上取不同于P 的一点O，在内过O作OCAB交PM 于C，在 内作ODAB交PN于D，连结CD，可得：设PO = a ，BPM =BPN = 45CO=a，DO=a， PC a ， PD a又MPN=60 CD=PC aCOD=90因此，二面角的度数为90二面角例1.如图,已知P是二面角 棱上一点，过 P 分别在、内引射线PM、PN，且MPN=600， BPM =BPN =450，求此二面角的度数。COD是二面角 的平面角一“作”二“证”三“计算”小结二面角二面角一、二面角

10、的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。 二 面 角 AB 二 面 角 CAB D二 面 角 l 1、二面角的平面角必须满足 三个条件2、二面角的平面角的大小与 其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面 角的大小来度量 1、定义法2、三垂线（逆）定理法3、垂面法1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”2、位置关系的转化 线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一

11、定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直） 线面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行 ; 线线、线面、面面的垂直。这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。线线线面面面线线线面面面3.三种语言的转化图形语言 文字语言 符号语言 立体几何所有定理的学习，按照图形语言文字语言符号语言三种数学语言的综合描述的顺序来学习。先给出图形，再用文字和符号进行描述，使抽象和直观结合起来，更好地理解定理。空间直线和平面-位置关系-线线平行的判定1、平面内两条不相交的直线互相平行。2、平行公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。3、直线和平面平行的

12、性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。a空间直线和平面-位置关系-线线平行的判定4、平面和平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。5、直线和平面垂直的性质空间直线和平面-位置关系-线面平行的判定1、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么就说这条直线和这个平面平行。2、直线和平面平行的判定：若平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。3、平面和平面平行的性质定理：如果两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行

13、于另一个平面。aabaaa空间平面和平面-位置关系-面面平行的判定1、平面和平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行，也叫平面平行。2、平面和平面平行的判定一：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。3、平面和平面平行的判定二： 若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。aaabp空间平面和平面-位置关系-面面平行的判定3、平面和平面平行的判定二： 若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。4、平面和平面平行的判定三： 如果两个平面同时与第三个平面平行，则这两个平面

14、互相平行。a空间平面和平面-位置关系-面面平行的判定5、直线和平面垂直的性质： 如果两个平面都和同一条直线垂直，则这两个平面互相平行。空间直线和平面-位置关系-线线垂直的判定1、直线和直线垂直的定义： 若两条直线所成的角为直角，则称这两条直线互相垂直。2、直线和平面垂直的性质： 若一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内的任一直线垂直。3、平行线的性质： 若两条平行线中的一条和第三条直线垂直，则另一条也和第三条直线垂直。 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。4、三垂线定理逆定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条

15、斜线在平面内的射影垂直。空间直线和平面-位置关系-线面垂直的判定1、直线和平面垂直的定义： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则称这条直线和这个平面垂直。2、直线和平面垂直的判定： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则称这条直线和这个平面垂直。3、平行线的性质： 如果两条平行线中的一条和一个平面垂直，则另一条直线也和这个平面垂直。npmL空间直线和平面-位置关系-线面垂直的判定4、平面和平面平行的性质： 如果一条直线和两个平行平面中的一个垂直，则这条直线也和另一个平面垂直。a5、平面和平面垂直的性质： 如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平

16、面。6、平面和平面垂直的性质： 如果两个相交平面和第三个平面垂直，则它们的交线也和第三个平面垂直。abaa空间直线和平面-位置关系-面面垂直的判定1、平面和平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面，叫互相垂直的平面。二面角N-OE-M的平面角2、平面和平面垂直的判定： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。3、平面和平面平行的性质： 如果两个平行平面中的一个和第三个平面垂直，则另一个也和第三个平面垂直。aba如图，空间四面体P-ABC, M,N分别是面PCA和面PBC的重心 求证：MN/面BCAEFPMN/ EF MN /面BCA线线平行线面平行如图，两个全等的正方形AB

17、CD和ABEF所在平面交于AB，AM=FN求证：MN/面BCEABCDEFMNGHMN / GH MN /面BCE线线平行线面平行ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1/面A1C1EEFDB1 / EF DB1 /面A1C1E线线平行线面平行如果一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线与它们的交线平行abcl已知：a / ， a/ ， =l求证：a / la / a /ba/ a /cb /c b / b / l a / l11abABOMNPD如图，a,b是异面直线，O为AB的中点，过点O作平面与两异面直线a,b都平行MN交平面于点P，求证：MP=PN如图，

18、在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：面AB1D1面BDC1ABCDA1B1C1D1证明：BDB1D1BD 面BDC1B1D1 面BDC1B1D1面BDC1同理：AB1面BDC1B1D1AB1=B1面AB1D1面BDC1线线线面面面四面体ABCD中，面ADC面BCD，面ABD 面BCD，设DE是BC边上的高， 求证： 平面ADE 面ABC ABCED面ADC面BCD面ABD 面BCDAD 面BCDAD BCDE BCBC 面ADE面ABC 面ADE线面垂直面面垂直线线垂直如图，ABCD是正方形，PA 面ABCD，连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对互相垂直的平面？ABDPC面

19、PAC面ABCD面PAB面ABCD面PAD面ABCD面PAD面PAB面PAD面PCD面PBC面PAB面PBD面PAC11求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面labmnmamnbnmnm = LmLmaL11求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面lPABabPAaPA PBbPB PALPBLL .(位置关系的转化) 已知三棱锥SABC中，ABC90，侧棱SA底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F,求证:EFSC. 11(位置关系的转化) 已知三棱锥SABC中，ABC90，侧棱SA底面ABC，

20、点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F,求证:EFSC. 11二、分类讨论的思想方法 分类讨论的思想方法在数学中较为普遍。如立体几何中的一些知识和问题：空间两直线的位置关系分为相交、平行、异面三种；线面、面面的位置关系以它们公共点的多少为标准分别分为相交、平行、线在面内的三种和平行、相交两种，而对于相交的情形，根据其交角是否为直角又分为斜交和直交两种；简单几何体可划分为柱体、锥体、台体和球四类，每一类（除球外）又可分为若干个子类。 平行于同一平面的二直线的位置关系是 （ ）（A） 一定平行（B） 平行或相交（C） 相交（D） 平行，相交，异面D（1）点A是平面外的一点，过A和平面平行的直线有 条。A无数11已知：两异面直线a,b所成的角是60 ，P为空间中一定点，则过点P且与a,b都成60角的直线有 条。abp3.（6）如果两直线a ,b 相交，a平行于平面，则b与平面的位置关系是 。abb相交或平行空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相等的平面有几个？ABCD4把不共面的4个定点看成四面体的4个顶点，平面可分两类。第一类，如图1所示，4个定点分布在的一侧1个，另一侧3个，此类有4个。空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相等的平面有几个？ABCD3