流体力学习的题目及问题详解

1、实用标准文案实用标准文案精彩文档精彩文档第一章 绪论1-1 连续介质假设的条件是什么？答：所研究问题中物体的特征尺度L，远远大于流体分子的平均自由行程l，即 l/L 211物体浸入液体 中的体积为V ，浸入液体中的体积为V 112答：dS上的压力为 p，其单位外法向量为 ndS上的流体静力为dPpndS。沿物体表面积分，得到作用于整个物体表面的流体静力为PpndS。S设V 部分的表面积为S V 部分的表面积为S S ，11220交界面处的压力为 p 。0并建立下述坐标系，即取交界面为xoy平面，z 轴垂直向上为正，液体深度h向下为正，然hz。因此PpndSpndSpndS。SSS12在S1上p

2、 p01h p01z，在S2上p p02z；代入到上式中得到：PpzndSp010SS12zndSp0S1zndSp1SS12ndSzndS2S2pndSp0ndSz1zndS2SSSS1212在此，需要注意到，由于在交界面上z 0，因此有zndS1zndS 0。将这两2SS00项分别加入到上式的第二个括号和第三个括号中，则原式成为：PpndSp0SS12ndSzndS1S1zndS1S0zndS2SS20zndS2p0z1zndS2SS SS S1020利用高斯公式，可以得到：Pp dV0zdV1zdV2VVV120VkVk1 12 2VV k1 12 2即物体受到的浮力为PVV k。1 1

3、2 2第三章 流体运动学粘性流体平面定常流动中是否存在流函数？ 答：uv0；xy存在函数：Pv和Q u并且满足条件：QP 。xy因此，存在流函数，且为：Pdx Qdyvdxudy。程。就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。）umx,vmy2x2y22x2y2） u Kty2x2x2y2 2,v2Ktxy x2y2 ，其中m ，K 为常数。答：（1）流场的加速度表达式为：au u uv u ,v u v v v 。xtxyytxy由速度分布，可以计算得到： u , v 0，因此：ttxv2mx2y22xyx2x2y2umy2xv2mx2y22xyx2x2y22y 2x2y2 2， v

4、mx2y2。2y 2x2y2 2代入到加速度表达式中：a0 mxmy2x2mym2xyx2x2y22x2y2 22x2y22x2y2 2m 2x2x2y2 2a0 mxm2xymymx2y2y2x2m 2y22x2y2 2y22x2y2 22y2 2（2）由速度分布函数可以得到：u K y2x2 v2Kxytx2y2 tx2y2 3u 2Ktxx23y2 ， 2Kty3x2y2 ；xy2 yy2 3v2Ktyy23x2 ， v2Ktxx23y2 。xy2 3yx2y2 3代入到加速度表达式中：aKy2x2xx2y2 2Kt y2x2y2 22Ktx x23y2x2y2 3Kt2xy2Kty3x

5、2y2x2y2 2y2 3Ky2x2x2y2 2Kt2xy2 3aK2xyyx2y2 Kt2xyKt2Ktxy2x2x2y2 2x23y22Ktyy23x2x2y2 3x2y2 K2xyKtx2y2 32yx2y2 2y2 3已知欧拉参数表示的速度场分布为u x v y t朗日表达式。已知t 0 x ay b。答：（1）流体质点的轨迹方程为：dx udt，dy vdt将速度分布带入，得到：dxxtdtdyytdt两个方程除了自变量之外，完全一致，只需要解一个即可。将第一个方程改写为：dx x t dt该方程为一阶非齐次常微分方程，非齐次项为t。先求齐次方程的通解，齐次方程为：dx xdxdt；

6、dtx两端同时积分得到：lnx t C ， x Ce t 。令非齐次方程的特解为：x* t C t et 对其两端求导得到：dx* t dtC t etC t et；将上述x*和 dx* t 代入到原非齐次方程中，有：dtC t etC t etC t ett整理得到：C t t e t ， 两端同时积分：C ttet 1etC1代入到特解中得到：x* t C t ett 1etC1ett 1 et。1将初始条件t 0时x a代入上式，得到：Ca1 ，1因此：x* tt 1a 1 et 同理可得：y* tt 1b 1 et。轨迹方程为：r t x*t i tjt 1 it 1j 。用拉格朗日法

7、表达的速度为：rvta1i b1tj。 t绘出下列流函数所表示的流动图形（标明流动方向），计算其速度、加速度，并求势函数，绘出等势线（1）x yxy；（3）yx2答：（1）x y流动图形：流线方程为x y C ，流线和流动方向如图中实线所示；y2 。u1，v1，yxv ui i j，流场为均匀流动；a a i axy；求速度势函数：由于平均旋转角速度：1 vu10 00，因此流场为无旋流场，势函z2 xy2数 存在：udx vdyudxvdy x y；0,00,0 x,0等势线：等势线如图中虚线所示（与流线垂直）。xy流动图形：流线方程为xy C ，流线和流动方向如图中实线所示；ux，vy；y

8、xv ui vj xi yj；加速度：au u vux 1 y 0 xxxyau v vvx0 y1yyxya a i a j xy求速度势函数：由于平均旋转角速度1 vu100，流场为无旋流场，势函数z2 xy2(x,y)存在：1udx 0,0 xdxydy2y2 ；等势线：等势线如图中虚线所示（与流线垂直）。y流动图形：流线方程为x/y C ，流线和流动方向如图中实线所示；速度：ux，v1，yy2xyv ui x i 1 j；y2y加速度：au u v uxxxyy4au v v v1yxyy3a a i a xyx i 1 j；y4y3求速度势函数：1 vu12 x1 vu12 xyy3

9、zx2y2流动图形：流线方程为x2y2C，流线和流动方向如图中实线所示；u2y，vy2x，xv ui vj 2 yi 2xj 。加速度：au u v u4xxxyau v v v4yyxya a i a j4 yj；xy求速度势函数：1 vu2 0，为有旋流场，势函数 不存在。z2 xy已知平面不可压缩流体的速度分布1u yvx2u x yv x y；（3）u x2y2xv2xy y。判断是否存在势函数 和流函数 ，若存在，则求之。答 ：（1） uy，vx求速度势函数：1 vu11 11 0，为有旋流动，势函数 不存在。z2 xy2求流函数：由于 uv 0 0 0，满足不可压缩流体的连续方程，

10、流函数 存在：xy1vdx xdxydy2y2 。u x y ， v xy求速度势函数：1 vu11 1 0，为有旋流动，势函数 不存在。z2 xy2求流函数：由于 uv 1 1 2 0不满足不可压缩流体的连续方程流函数 不存在。xyu x2y2 x，v2xy y求速度势函数：1 vu12y2y0，为无旋流动，势函数 存在：z2 xy2udx vdyx2x2xy y1 x2y220,0110,01x,0 x2x32xy2y22求流函数：由于 uv2x 12x 1 0满足不可压缩流体的连续方程流函数 xy存在：1vdx 2xydxx2x,0y2y dy 2x2y xyy3。3已知欧拉参数表示的速

11、度分布为u Ax，vAy，求流体质点的轨迹。答：由轨迹方程dx dy dt，并将u Ax和vAy代入得到：uvdx Axdtdyaydt或者写成：dx xdyy两端同时积分，得到：At C1x C，即1eAtlnyAt C2y C e 2uvwxyz已知流场的速度分布为u x vy t，求t 0时通过 uvwxyz0得到：w 0z因此可知，速度分布与z坐标无关，流动为二维流动。由流函数定义式得到：vdx udyy tdxx t dy y t x x t y 。由于流函数为常数时C表示流线，因此流线方程为：y txx t y C 。将将条件：当t 0，x1、y 1代入上式，得C2；因此该瞬时过

12、的流方程为：xy 1 0。已知平面不可压缩流体的速度分布为u v求t 1时过点的流线及此时处在这一空间点上流体质点的加速度和轨迹。答：（1）求流线方程：由于 uv 2xt 2xt 0，流函数 存在，且为： xyvdx udy0 dxx2tdy x2yt；0,00,0 x,0则流线方程为：x2 yt C ；将条件：当t 1时，x2、y 1代入，得C 4；则该瞬时过将(点的流线方为：x2 y 4。求加速度：axutuuxvuyx2x2t2xt2xyt 0 x212xt2ayvtuvxvvy2xyx2t2yt2xyt2xt2xy2x2将条件：t 1时，x2、y 1代入，得到该瞬时过将(点的流体质点的

13、加速度为：a12xa12y轨迹方程：x2 ,y 。t2设不可压缩流体的速度分布为）u ax2by2dxy eyz （2 ）u y2z2b2c2,v sinx2z2a2c2。其中abcdef速度分布 w 。uvwuvwxyzw ez d 2ax，z0，得到：两端同时积分得到：1w d 2a xz C2x,y 。（2）将速度分布代入连续方程： uvw0，xyz由于：u x0 ， v 0；y因此：w 0z两端同时积分得到：w x,y,z C x,y 。2有一扩大渠道，已知两壁面交角为1出的体积流量为1 t （m/s ），试求（1）t 0时壁面上r 2处2的速度和加速度。答：（1）求速度分布：设半径为

14、r 处的径向速度为vr，周向速度为v 。显然v0，且vrS Q ；其中：S 1 r1 r，因此径向速度分布为：v11 1 t；rrr 2求加速度：vv1 1 12；arvrtrtrrr r32当t 0时，在r 2处：v1 1 01a11 1 0 217r2 2，4r2 23。232u 3ax23ay2u v 0，试求通过及 答：（1）求速度分布：由平面不可压缩流体的连续方程 uv 0，得到：xyvu6ax，yx两端同时对 y 积分：v6axy C 将条件：在点v 0代入上式，得到：C0因此：v6axy 。 u 3ax23ay2v6axy。求流函数：vdx 0 dx3ax23ay2 dy 3ax

15、2 y ay3。0,00,0 x,0求流量：利用流函数的性质：流场中任意两点的流函数之差等于通过两点之间连线的体积流量。由于： 0,00， 0,1a；因此流量为：Q0,00,10aa。设流场的速度分布为u 2az，其中a 为常数（1）求线变形速率角变形速率，体积膨胀率）问该流场是否为无旋场？若是无旋场求出速度势。答：（1）线形变速率为：uxxxa，v a，wyyyzz2a；角形变速率为：1 vu0，1 wv0，1uw0；xy2 xyyz2yzzx2zx体积膨胀率为：a a 2a 0。xxyyzz（2）求速度势：由于平均角速度的三个分量分别为：1 wvx2yz0，1uwy2zx0，1 vu0，z

16、2 xy因此：ijk 0 xyz即流场为无旋流场，速度势函数 存在，且为：xyz11udxvdywdzax2ay2az2。22000设流场的速度分布为u y z x 2y。试求）涡量及涡线方程；（2）x y z 1平面上通过横截面积dA 1mm 2的涡通量。答：（1）求涡量和涡线方程：流场的平均旋转角速度 的三个分量分别为：1 wv12 11，x2yz221uw1 2 11，y2zx221 vu12 11。z2 xy22因此平均旋转角速度为：i j k；2则涡量为：i j k其三个分量分别为：i，j，k；xyz将其代入到涡线方程：dxdydz，得到：xyzdx dzdy dz两端同时积分得到涡

17、线方程：z C1 。z C2（2）涡通量：将涡量 在S 上积分，得到涡通量为：JndSxSSjk n i nyyxj n k dSznx xySn dSyy zn n i n j n k，为平面x y z 1的单位外法向量。xyz设F x y z1， 则 ：F 1， Fxy1， F 1； zS平面外法向量n在三个坐标轴上的分量为：3F3Fx2Fy2FzFx2Fy2Fz21 1 1x33F3Fx2Fy2FzFx2Fy2Fz21 1 1y33F3Fx2Fy2FzFx2Fy2Fz21 1 1z3因此：Jnx xynyy dS111dS333333333SS333dSdA333 5时，u5y5x1y，

18、v51x；r 5时，5u，vx2y2x2。试求沿圆周x2y2R2 R 分u2v2别为（1）R 3， （2） R 5 ，和 （3） R 10u2v2在半径为rvr0，v；当r 5时：1y1 sin r，551x 1cos r，55u2v215u2v215222r25当r 5时：5y5sin r5sin ，x2y2sin rcos r2r5x5cos r5 cos；x2y2sin r2cos r2ru2v25sinru2v25sinr25cosr2r（2）求速度环量：速度环量Cv dl。C其 中 v v errv e ， dl dr errd e ee 分别为r和 方向上的单位向量。r因此：v e

19、Crv edrer2rd evrdv rd 。CC0当r 3时：r2 r218v，5C当r 5时：rdr2；5550vr，5C当r 10时：2 r2rdr255010 ；v5，r2 5rd10 。r0设在点置有的旋涡，在 点置有的旋涡，试求下列路线的00速度环量）x2y24，（2） y21，(3)x2的一个方形框，（4）x的一个方形框。答：（1）000（2）0（3）000（4）0第四章 流体动力学基本定理及其应用欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为：vvvf 1 t惯性力、质量力和压

20、力表面力。（2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：2p gz C，从左至右方程2程表示沿流线流体质点的机械能守恒。设进入汽化器的空气体积流量为Q/s，进气管最狭窄断面直径D=40mm，喷油嘴直径d=10mm。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径 d=6mm，汽油液面距喷油嘴高度为50cm ，试计算喷油量。汽油的重度7355N 3 。答：（1）求A设进气管最狭窄处的空气速度为v1，压力为 p1，则根据流管的连续方程可以得到：1 D2d2 vQ，41v。1D2d2pv选一条流线，流线上一点在无穷远处F，一点为A

21、 点；并且：FpFp ，v0；0F在 A 点： pAp?vv。1A1将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：p0pv2112g因此真空度为：118 Q21ppp v2 v012 2D2d22D2d2 2若取空气的密度为3 ，那么计算得到：p8 226 1521p v14204202 29.95 103 Pa 。求喷油量：设喷油嘴处汽油的速度为v2，并设空气的密度为1汽油的重度为选12一条流线，流线上一点为上述的A 点，另一点为汽油液面上的B 点；并且：App1 v2 ，vv?，h 50cm ；A102 1A2ABpBp ，v00，z0；B代入到伯努利方程中，可以得到：1 p1 v2p2h00

22、 0 ；02 12g22整理得到：v21 2122gh；因此汽油喷出速度为：1 v1 v22gh122其中空气重度g 1.226 9.81 12N /m113 ；v14QD2d2，并注意到喷油嘴的直径是 6mm ，而不是原来的 10mm ，则计算得到： 16 01527355314204200622 9.81 0.523.817m /s因此汽油流量为：11Qd2v2424140062817079 104m3s10cm3s。U 形弯管的体积流量Q=0.01m ，弯管截面由S =50cm 2减小1到S =10cm 2v v 均匀，若S 截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管2122的作用力及作

23、用点的位置。1000kg3。答：（1）求截面S 和S 上的流速v 和v ：1212由连续方程可知：vQ32m/s，1S50 10 4 m21vQ310m/s；2S10 10 4 m22求S上的压力p：11已知S 上的压力p1个工程大气压 0.981105Pa；22由伯努利方程：pv2pv211222g2g得到：11ppv2v2 1051000 100 4 105 Pa。122122求水流对弯管的作用力P 由动量定理可以得到：P -P-P12v2S1v2 S 。22其中P和P1分别为在S 和S1上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，大气压力对其的作用力合力为 0 。因此：S 截面

24、上作用力为：1Ppp S110 105 10550 104240N ，S 截面上作用力为：2Ppp S0。2202因此：PPv2Sv2S24010322501041021010411 12 2240 120 360N求作用力P的作用点：设作用点距S1截面中心线的距离为e，两管中心线之间的距离为L 。由动量矩定理可以得到：P ev2 S L；22即：ev2 S2210310210 10-41000.278。LP360360d =20cm 减小到d =15cm6012p =7840N/m2，流过弯管流体的体积流量 Q=0.08m 3/s1用点的位置。答：首先应注意到，表压力读数指相对压力。也就是说

25、，S1截面处压力p1和利用伯努利方程得到的S 截面的压力p 022因此在S 和S 截面上，均应以相对压力值计算。12利用连续方程求截面S和S 上的流速v和v ：1212vQ4Q ，Q4Q；1Sd112Sd222利用伯努利方程求S p ：22根据伯努利方程：pv2pv211222g2g可以得到：pp1v2v2 ；21212求管壁对流体的作用力F 和F ：xy求x方向作用力分量F ：x由动量定理：FP sinvx22v sin S022其中PpS 为S 截面上外界对管内流体的作用力；整理得到：22 22Fsin Px1v2S2 p22sin S2pv2v2v2 sin S1212221pv2v2s

26、in S12122p116Q216Q2sin S122d42d4212p8 Q211sin S12d4d421238 103008211137840142 152326N31422024015424y 方向作用力分量F ：y由动量定理：FPPy1cosv vS11 v v cos S ，2 22其中P1pS为S1 1截面上外界对管内流体的作用力，整理得到：FPv2SPy11 12v2S2 cospv2 Sp111v2 S2cos7840 10316 0082132633142 022331422450 188 262N求力的作用点：0244如图所示，设流体对弯管的作用力F 和F 与xy 轴的距

27、离分别为e 和e ，由于xyyxS 和S 上所有外力和流体动量均通过坐标原点由动量矩定理可知ee0即合力作12xy用点通过坐标原点。v =30m/s ，水柱的体积流量0Q=294m3/s，分流量Q =118 m 3/s。试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角 。1设液体的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。答：（1）由伯努利方程可知vvv；120）设流束宽度分别 为b0b和b1，则有b0Q ，b01Q 11Q 1；又由连续方程可知：QQ21因此：bQ -Q 21Q -Q1/v ；0应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角：求偏转角度 ：在y方向，平板对流体的作用力F0，即：y0

28、vv b11v v sin b ；222整理得到：v2bv2sinb01 122将vv12v 代入，可以得到：01sinb1Q 10Q1181，bQ Q 21Q Q294 1181即：。求x方向作用力分量F ：x由动量定理得到：Fv v bx00 v v cos b222整理得到：Fv2 bb cosFv2 bb cosv21cosv QQQcosx0020vv010010330 294 294 118106 )1 中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。平板封盖着另一水箱 2 的孔口，水箱 1 中的水位高度为h ，水箱 2 中的水位高度为h ，两孔口中心重合，12而且直径 d =d

29、 /2。若射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向12四周均匀流出。假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。当已知h 和水的1密度 时，求保持平板封盖住水箱 2 的孔口是h 最大值。2答 ：（1）1V ：1在水箱 1 的自由液面上选取A 点，在出口截面上选取B 点；A 点： pAp ，V00，hAhp1为大气压力；B 点： pBp ，V0V?h0。1B由过A 、B 两点的伯努利方程：p1p V2AghV2BghAA2 BB得到：1p1p00gh 21V20g 0；2 1因此：2gh1V22gh，V2gh1111求水流对封板的作用力P ：由动量定理，沿垂直于封板的方向

30、：1111P 0 ( v )vd2d2v2d 2 2ghghd2；BB 4 141 B4121 12h ：m ax在封板右侧水箱2形心处的静压力为pghmax，因此封板受到水箱 2 的静水压力：11Ppd2gh d 2 。4 2max 2当封板左右两侧压力相同时，即P P 时：11ghd2ghd221 1max2注意到d11d，整理可得：d2 2h1h21h。max2 12 1工程中常用文丘里）管测量管路中水的流量。管路和收缩管段截面积分别为1S 、S ，水的密度和U 形测压计中液体的密度分别为 、1mm性，试导出图示倾斜管路中水的流量Q 与测压计中液体的高度差读数h 之间的关系式。1-12-

31、2 的流速分别为v1和v ，则由连续方程可知：2vSv S；1 12 2又设管路的流量为Q ，则：v Q ，v11Q /S ；2选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到：p1p11v2z 2v2，2 1122 2整理得到：pp1v2gz ；（1）1222112取U 形测压计内液体的左侧Appg(zA11h1ppg(zhh)gh；B221m由于pp ，则可得到：ABpg zhpg(zhh)gh；111221m整理可得：ppg zzgh；（2）1212m将（2）代入到）中，可得：gz zgh1QQg z z ；122S2S21221再经整理得到：2ghS2S22ghQ2m12 ，QmS S。S2S

32、2S2S21 21212圆管内不可压缩定常流动如图所示。入口处流速Ux处为抛物形速度分布：urc0U ，其中r为离管轴的径向距离，c为一未知常数。入口处和x处管p p （1试确定常数c；（2）0 x证明作用在o至x间，管壁上总的摩擦阻力Dr2p001pU2。x3答：（1）入口处流量为：Q ；由连续方程可知，x处截面的流量也是Q 。00又由于通过x截面半径r处环形微元面积ds 2 rdr上的流量为：dQ2 rurdr对其积分可得到：0rQr2rurdr 20 rcUdr 2 0rr dr；00000即：002 0；2 00因此得到：c 2；r20则速度分布为：2urr2U 1。000（2）入口处

33、流体的动量为： U2 x 截面上，通过半径为r处的环形面积00流体的动量为：dM2 rdr u r ur2 将上式积分得到：2rr42M0 2 20 r 2 1dr2；00300由动量定理可知，动量的变化量等于外力的合力，因此：422ppD；30000 x0其中D 为圆管对流体的摩擦阻力，整理得到：11Dp r2r22 pU 2 。00 x03000 x3RPQ 三点的诱导速度。答：由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为：V求涡线对R31231coscos；4R21VR14coscos；21dd2其中0，cos1dd2221因此：d2d2R14l涡线 2 ：方向垂直纸面向内：cos

34、2，coscoscos；lld2ld2则：ld2lld2ld2ld2R24d2d涡线 3 ：方向垂直纸面向外：VVR3R1则对 R 点总诱导速度为：dd2l2 ddd2l2 dd2RR1R22l求涡线对Q 点的诱导速度：13dd2cos1dd221则：VVQ1Q34coscos11；ld2ldld2ld2涡线 2 方向垂直纸面向外：ldld2Q2R22 d则对Q 点总诱导速度为：VQQV1dl；d22 dd22 dd2求涡线对P13cos1，cos0；21VV1 0；P1P34l4l则：V。PP12l第五章势流理论流速为u求：(1)点涡的强度；(2) (0,5点) 的流速以及通过驻点的流线方程

35、。答：（1）求点涡的强度 ：设点涡的强度为 ，则均匀流的速度势和流函数分别为：ux，uy；1010点涡的速度势和流函数为：yarctg ， 1y2；22x222因此，流动的速度势和流函数为：u x120y arctg2urcos，02u12y 21y2uysinlnr；02则速度分布为：uuxyy，2x2y2vx；yx2x2y2由于(0, 5)为驻点，代入上式第一式中则得到：u0250，( 5)2整理得到：10 u100 。0（2）求点的速度：将100 代入到速度分布中，得到：u u10 1001050 y ，02x22x2x2y2vx100 x50 x ；2x2y22x2y2x2y2将x 0

36、y 5代入上述速度分布函数，得到：u 10 50 5 10 10 20 （m/s ），0252v 50 00（m/s）；0252（3）求通过(0,5)点的流线方程：由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程C，则流线方程为：uy 021y2C；将x 0y 5代入，得到：100C 10 5ln022则过该点的流线方程为：15250 50 ；10010y 2整理得到：1y250 50 ，y 51y25 5 ln5平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于（-1，0），其流量为=20m 3/s，点汇1位于（2,0）点，其流量为=40m 3/s，已知流体密度为 3，流场中（00）20（0,1）和（1,

37、1）答：（1）求、和点的速度：点源的速度势为：1m 1 ln x 121y2 m 1 ln x 14y2 ，点汇的速度势为：2m 2 ln x 221y2 2m 1 ln x 24y2 ；mu121x 1m2x 2，xxx2x 12y22x 22y2v12m1ym2y；yyy2x 12y22x 22y2将x 0、y 0代入，并注意到m及m，得到点的速度为：1122u m 10 1m20 2m1 m120 1 4020，20 120220 220222 222 2v m10m200；20 120220 2202其合速度为：u2u2v2(0,0)20（m/s。将x 0y 1代入，得到点的速度为：u

38、 m 11m20 21 m2 m2122252212225221 20 1 40121222521 20 2 40 13，20 1220 225 2v m11m21；20 1220 2其合速度为：V(0,1)（m/s。u2v213212170将x 1yu2v213212170m1m21 22 m1 m122 20 1 40 14，21 1221 225 22 25 22 2m1m11 20 1 4082；21 1221 225 22 2260其合速度为：260V(1,1)（m/s。u2v214282（2）设、u2v2142820pp1，且由题意知p00，则由伯努利方程：p1p10V22 1V2

39、，2 p1p10V22 2V22 因此可得：11202170115115pV212V222221428 21（N/m 2，112022607070pV222V22222142818（N/m 2。直径为2m 的圆柱体在水下深度为H=10m以水平速度 u =10m/s 运动。试求）0ABCD 四点的绝对压力；）若圆柱体运动的同时还绕本身轴线以角速度60r/min BD 两点的速度和压力。此时若水深增至 100m空泡时的速度（152.3323N/m 2）。答：（1）求AB、CD 四点的绝对压力：ABCDp p p pABCD，相对压力分别为 pA0、 p 、B0p p 1、-313，则：C0D0A

40、点的绝对压力：ppAAC 1 u2ppA 20gH C 1 u2pA 201 105 103 10 1 1031022 1032)C1Cppu2gHRC 1 u2BpB 20apB 20 105 10310 13 1031022103 2 )ppCC1 u2ppC 20gH 1 u2pC 201 105 103 10 1 1031022 1032)ppDDC1 u2ppD 20gHRC1 u2pD 201 105 10310 1 3 1031022103 2 )求驻点位置和BD 点的速度和压力：圆柱半径R 1（m），旋转角速度60因此漩涡强度为：v dl2 RRd2 R22 2；c0柱面上r

41、R处，速度分布为：v0，rvsin；02R 在驻点、C点）v0，即：sin002R将R 1、u10和202 代入上式，得到：sin，10则：arcsi0314，arcsi0314；12 在B点，则速度为：2vsin2 10 sin2 220 （m/s）；02 R2 21压力系数为：2C12sin12 p2 uR02 22 210 15.91；相对压力为：11ppBBCu2p 20 103102105 （N/m2）；2其中 B 点静水压力为：ppR ) 105 10310 1 189590 （N/m 2），B0a则 B 点处绝对压力为：1ppBBCu2p 20189590 29550010591

42、0 （N/m2）； 在D 点，则速度为：2vsin2 10 sin2 220 （m/s ）；02R221压力系数为：2C12sin12 p2 uR02 22210 1；相对压力为：ppDDC 1 u2p 201 10310244100 （N/m2）；2其中D 点静水压力为：ppgR ) 105 10310 1 209210 （N/m 2），D0a则 D 点处绝对压力为：ppDDC 1 u2p 20209210 44100 165110 （N/m 2）；B 点的压力系数最低，首先在B100m 时，B水压力为：ppgHR) 1013 10510 103981 100 1 107249（N/m 2，

43、B0a压力系数为：2C12sin12 p2 uR02 222212；22 210 1u0绝对压力为：1ppBBCu2p 20B点发生空泡的临界值为pp ，且由给定条件知p 103（N/m 2）；代入上式Bcc得到：pcpC 1 u2B0p 20p1 u2B0201 2 2 u 2，0将上式整理得到关于u 的一元二次方程：0Au0BuC00其中系数：3，8 ，4 22 ppB0c解得：4 31422 1031072490 2332；8824 3 u8 8824 3 066（m/s）。即当u（m/s）时将发生空泡。0）u=U cosav=U sina；（2）强度为m ，位于（a，0）00点的平面点

44、源；3）强度为位于原点的点涡；4）强度为M ，方向为a面偶极。答 ：（1） u u cos ， v u sin ：00udx vdyu0cos dx u0sin dy u0cos x u0sin y，vdxudyu sin dxu cos dyu sinxu cosy；0000W zi u cosxu sinyiu sin xu cosy0000u cosxiucosyu sin yiusinx0000u cos x iy iu sin xiy00u cos z iu sin z00uzcosu0zeiz强度为m ，位于点的平面点源：m ln x a1y2 2 ，m arctg y ；22x

45、a以点为原点，建立新的坐标系o xy；在新坐标系中：m ，m arctg ，W zim lnz；222由于新旧坐标系之间的关系为：x x a，yy；rx a1yy2 2，arctg；x a因此：W zm lnx m ln x a iym ln x iy am ln z a；2222强度为 ，位于原点的点涡：arctgyln1y2 lnr；2x222W zii i2222iii 222强度为M ，方向为 ，位于原点的平面偶极：以原点为圆心，将坐标系o xy逆时针旋转 角，得到新坐标系o xy 中，速度势和流函数分别为：M cos M sin，W ziM ；2r2r2z由于新旧坐标系间的关系为：r

46、 r，z rei代入到上式可得：MMMeiMeW z；2 z2 2 2 z点放置一强度为2 x 0）固壁上流体的速度分布及速度达到最大值的位置2p m m，其中t为时间变量，求壁面上的压力分布。）用位于和，强度均为m 2 的两个点源，可以构造位于x 0的壁面，其速度势为：m ln x a 212m ln x a 22211y2 21y2 1 ln x a 22ln x a21y2 ，y2 ；122ln x a2y2ln x a2y2 2速度分布为：ux ax a，x a2y2x a2y2vyy；x a2y2x a2y2在壁面上x 0，则壁面上速度分布为：u 0 ， v由于：2y；a2y2dv

47、2a2y22 y 2 y2a2y2；dya2y2 2a2y2 2令上式为 0 ，则得到：y2a2，ya；即在点 0,a 和 0, a ，速度达到最大值，且为：vmax2a1；a2a2a当y时，vlim 2y0，由伯努利方程得到：ya2y2p1v2p 1 v2，221112y22 y2ppv2v2v2；222a2a2y2 2将壁面上的压力分布pp沿整个壁面进行积分，得到流体作用于壁面的作用力P ：Pppdy2 y2dy y2dy 4a2y2 0a2y2 4aa即沿壁面的作用力为P。a当mm t时，速度势为：m t1m t ln x a 12y2 2ln x a4y2 ，m t ln x a 22

48、1y2 m t ln x a4y2 ；m tm tln x a2y2ln x a y2 ；1244速度分布为：m tx ax au，x2x a2y2x a2y2vm tyyv ；y2x a2y2x a2y2在壁面上x 0，则壁面上速度分布为：u0 ， m t2ym ty；a2y2a2y2由于：dv m t a2y2y 2ya2y2；dya2y2 a2y2 2令上式为 0 ，则得到：y2a2，ya；即在点 0,a 和 0, a ，速度达到最大值，且为：vmaxm tam t；a2a22a（2）当y时，vlim myy0，由伯努利方程得到：a2y2p1v2p 1 v2，22111m ty2m 2

49、ty2ppv2v2v2；222a22 2 a2y2 2已知复势为W z 2z 8/z ，求）流场的速度分布及绕圆周x2y210）验证有一条流线与x2y24的圆柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圆柱体的作用力。答：（1）求速度分布及绕圆周x2y210的环量： 求速度分布：由复势的定义可知：dW zu dzdW z2 8dz2z8 x iy23i x iyx iy2 x iy2x iy x iy2 8x22ixy y2 3yx2y2 22 8x2y2x2y2 216ixy x2y2 y23yx2y2x2y22 3x2y 3y38x28y2i3x23xy216xyx2y2 2x2y2 2因此：u 2 求

50、环量：3x2y 3y38x28x2y2 2v3x216xyv，；x2y2 2该流动由三个简单流动组成：第一个：2z为沿x方向的均匀流，u02；第二个：8是位于原点的偶极，设其强度为M ，则z28，M16 ；第三个： 3ilnz是位于原点的点涡，设其强度为 ，则23，6 。因此绕x2y210的环量为16 。（2）将复势改写成下述形式：W z 2z 8 3ilnzz8ri8rii2rcos8r1 cos3 2rcos8r1cos8ir1sin3 2rcos8r1cos3i2rsin8r1sin3lnr则流函数为：ImW z2rsin8r1sin32y 83当x2y24r 2，代入上式可得：2 y

51、8 y 3lnr 2 y 8 y 3ln2 3ln2 C （ 常 数 ）说明x24y24确是一条流线。由卜拉休斯公式可知，作用在柱面x2y24上的共轭合力为：idW 2Pdz；2dzc其中：dW2 8 ，dzzdW 22 8 4 12i1 41 48i 64 ；dzzz 由留数定理可知，上式中仅第二项对积分有贡献，因此：dW 2dz 2i24 ，dzcPidW 2dz i24 ；2dz2c由于：P X iY，得到：水平分力：X 0，垂向分力（升力：Y 12。如习题5-3图所示设直径为D 2m 的圆柱体在水下深度为H 10m 的水平面上以速度u10m/s 作匀速直线运动）试写出流动的绝对速度势、

52、牵连速度势、相0）ABCD 及135的绝对速度。答：（1）设圆柱半径为aD，则得到：2单位相对速度势： *0rcos 1 a2，相对速度势： *u rcos 1 a2 0，牵连速度势：uxu rcos ，e00a2a2绝对速度势：*u rcos 1e0urcosu0cos，r单位绝对速度势：0cos a2 r vcos a2v1u sin a2 ，；rr0rr0在柱面上r a，代入上式，得到柱面上的速度分布为：vu cos ，vur0sin ；A点，：vru，v0；0B：v0，vu ；2r0C点，0：vru ，v0；0点，3 ： 0，vu；2r45：v4r022u，vu；222 02 0135

53、3 ：vu24r2 2vu。22 02若一半经为r0的圆球在静水中速度从 0 加速至u，试求需对其作多少功？0答：当圆球加速至u 时，其总动能为：01mk211u2 ；0其中：m42r3 为圆球的质量，r3 为水的附加质量，为圆球的密度，为3 101132 012水的密度。做功等于动能：11 421WEk2u21102 3r3103 u22 003 0u2 。120LR 的垂直圆柱体，设其轴心被长度为l的绳子所系轴线自转。已知圆柱体重量为G ，液体密度为 ，并假定l R，试求绳子所受的张力。答：设绳子的张力为T，则圆柱体公转向心力为：T F M 其中： F 为圆柱体自转所产生的升力，且等于：F

54、vl；v l 为公转线速度， 为自转的速度环量，且等于：其中：v dl0112 R Rd2 R0vR1Rd 为柱体表面微元弧长；因此升力为：Fll2 R22；M 为总质量：Mm mLR2LR2LR2 ；11其中：m 为柱体质量，为柱体密度；m 为水的附加质量， 为水的密度；因此张力为：1T M 2l F2lLR22。1Ru=u ）t=0 时，它静止于坐标原点，液体密度为，圆柱体密度为及 t=2s 时圆柱体的位置。答：由牛顿第二定律可知推力为：F Ma其中：a du dt；Mm m ；mR2为柱体质量；mR2为液体的附加质量；0因此可以得到推力为：FMaR2u ；0由于柱体运动微元距离为ds u

55、dt，因此：1sudttdt 02c；0由于t 0时s 0，代入上式得到c 0，则：1su2 0当t 2s 1u2 012 022。0第六章水波理论6-1 求波长为 145m 的海洋波传播速度和波动周期，假定海洋是无限深的。答：c 145 14515052（m/s，1459633（；145即传播速度为15.052m/s，波动周期为9.633（ 6-210m/s 移动，试求这些波的波长和周期。答：c210264（m，64 6464（；即波长为64（m，波浪周期为6.。证明WAcos2iHt为水深为H 的进行波的复势，其中x为复变数， y 轴垂直向上， 原点在静水面上。 并证明22 th2 H （

56、 提示：cos x iy cosxchy isinxshy） 。答：在图示坐标系中，平面进行波的速度势为：ag chk y H sinkxchkH在xy方向的速度分别为：ua chk y Hcoskxt，shkHva shk y Hsinkxt；shkH由上述速度分布得到二维波浪运动的流函数为：vdx udyshk y Hsinkxtdx chk y HcoskxtdyshkHshkHashk y H coskxkshkHag shk y H coskxchkH因此，二维波浪运动的复势为：W zi ag chk y Hsinkxt iag shk y coskxtchkHchkHag1chk

57、y H sinkxt ishky H coskxchkH在上式中，令：A ag1 ，X kxt， Y k y H ；chkH则可得到：W zA chY ishY cosXA chY cos2XishYsin2A chY cos X2ishY sinX2由提示cosx iy cosxchy W zAcosX2Acoskxt2ik y HA cos kx iy ikHt2在水深为d的水平底部（即zd处），用压力传感器记录到沿x方向传播的进行波的波压力为pt。设pt的最大高度（相对平衡态来说）为H ，圆频率为 ，试确定所应的自由面波动的圆频率和振幅。0答：微幅平面进行波的压力分布函数为 p t p0

58、gz。对于有限水深d，其速度t势为：ag chk zd sinkxt，chkd对时间求导得到：ag chk z dcoskxt；tchkd其中a为表面波幅值， 为波动的圆频率，代入到压力分布函数中，得到：p t p0ag chk z d coskxtchkd当zd时，代入上式得到：p t p0ag chk d dcoskxtg chkdp0ag chkdcoskxt若波压高度为H ，则其幅值为H ，因此根据上式得到Hag ，整理得到：2chkdaH chkd2 g并且从波压分布方程可见，若波压频率为 ，则自由波面频率。70mu 航行。今有追随船后并与船航行方向一致的o波浪以传播速度 c 追赶该

59、船。它赶过一个船长的时间是 16.5s，而赶过一个波长的时间是6s。求波长及船速u 。o答：设船长为L，波长为 ，波速为c，波浪周期为T，则可得到：c u L（1）0c u6（2）0两式相比较得到：波长：6L670 2545m，波速：c 630（m/s，船速： u0c 66（m/s。重力场中有限水深微幅进行波的波面为Acoskxt，其中A为波幅；设流场速度势为Bchk z hsinkxt，试求（1）常数B；（2）波数k与频率 关系；）波的传播速度c与波长 的关系。答：（1）由线性自由表面动力学条件得到：1Bchk z hcoskxt，gtg注意到在自由表面z 0，代入上式得到：1Bchkhco

60、skxgtg将该式与给定的波面方程Acoskxt进行比较，可得到：A chkhgBAg。chkh将上述常数代入到速度势函数中得到：Ag chk z hsinkxt，chkhAg chk z hcoskxt，tchkh2Ag chk z chkhsinkxt，Agk shk z hsinkxt；zchkh在自由表面z 0上，得到：2Ag chk 0 chkhsinkxtAg sinkxt，Agk shk 0 hzchkhsinkxAgkthkhsinkxt；2代入到自由表面条件：gz0中，得到：Ag sinkxt Agkthkhsinkxt 0，整理得到：波速2 。；TTk由 因此： cgkth