随机事件与概率未

1、个人简历张明迎，男， 1966年4月; 副教授 数学教育教学部专职数学教师1988.7 2002.9 从事高中数学教学2002.9 至今1概率论与数理统计淄博职业学院-张明迎2课程简介： 概率论与数理统计是一门研究和探索客观世界随机现象规律的数学学科。它以随机现象为研究对象,是数学的分支学科,在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、医学、地质学、气象与自然灾害预报等等方面都起到非常重要的作用。随着计算机科学的发展，以及功能强大的统计软件和数学软件的开发，这门学科得到了蓬勃的发展，它不仅形成了结构宏大的理论，而且在自然科学和社会科学的各个领域应用越来越广泛。因此，教育管理部门将概率论与数理统计

2、这门课程列为经济管理类各专业的必修基础课。 概率论与数理统计包括两部分：概率论部分与数理统计部分。 概率论：是根据大量同类的随机现象的统计规律，对随机现象的出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，并对这种出现的可能性大小做出数量上的描述，比较这些可能性的大小，研究它们之间的联系，从而形成一套数学理论和方法。本内容以具有不确定性的随机现象为研究对象，以探讨和研究随机现象的统计规律性为任务，主要研究随机事件及其概率，随机变量及其概率分布，随机变量的数字特征，大数定律和中心极限定理。数理统计：是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性，对通过科学安排一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证

3、明，并判定各种方法应用的条件及方法，公式、结论的可靠程度的局限性，使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的。并可以控制发生错误的概率，通过对点估计、区间估计、假设检验、回归分析的研究，介绍了怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，并对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决断和行动提供可靠依据和建议。3第一章 随机事件与概率本章要求随机试验随机事件及其运算概率的定义及其运算条件概率事件的独立性 4本章要求1.掌握随机事件之间的关系及其运算;2.理解概率的定义,掌握概率的基本性质,会用这些性质进行概率的基本计算;3.理解古典概型的定义,会计算简单的古典概型问

4、题;4.理解条件概率的概念,会用乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式进行概率计算;5.理解事件独立性的概念,会用事件独立性进行概率计算.5 特点 1 当人们在一定的条件下对不定性现象加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知其结果.现在我们来考察一下不定性现象的特点例如: 在相同的条件下抛同一枚硬币, 其结果可能是正面朝上, 也可能是反面朝上, 并且在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么.又如:一门火炮在一定条件下向同一目标进行射击,各次的弹着点不尽相同,在一次射击之前无法预测弹着点的确切位置. 1.1.1随机现象1.1 随机事件6 特点 2

5、 不定性现象在大量重复观察或试验下，它的结果却呈现出固有规律性.统计规律性 在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复观察或试验中其结果却具有统计规律性的现象,称为随机现象.7E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重 。随机试验的例子1.1.2随机试验和样本空间81.1.2随机试验和样本空间随机试验的特点：1.可在相同条件下重

6、复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果；3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为 E 9样本空间 实验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S=e；试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e. 由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件, 记为e. 例： 给出E1-E7的样本空间1.1.2随机试验和样本空间10给出E1-E7的样本空间E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和面;H， TE2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；H H H ， H H T， H T H， T H H， H T T， T H T，T

7、T H ，T T TE3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;0，1，2，3E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；1，2，3，4，5，6E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；0，1，2，3，E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重111.1.3随机事件定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等.任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.12 例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件:A“至少出一个正面” HHH,

8、 HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时” x:1000 x0,则 P(AB)P(A)P(B|A). 称为事件A、B的概率乘法公式。 乘法公式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). 46例 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、

9、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则47484950511.3.2全概率公式与贝叶斯公式例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。B52 定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：A1A2AnB53定理 设A1，, An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件BS有 称为全概率公式。54例 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六

10、个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；甲乙55定理 设A1，, An是S的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件BS，有 称为贝叶斯公式。思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:56例 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任

11、取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1由Bayes公式:57解：设分别表示第1、2、3厂的产品，B表示取到次品58 例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 设A=飞机被击落 Bi=飞机被i人击中, i=1,2,3 由全概率公式则 A=B1A+B2A+B3A解依题意，P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6

12、, P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A |B3)59可求得 为求P(Bi ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3 将数据代入计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.60P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为0.458.于是注意：本题与P21：1-34的不同6162显然 P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事

13、件A、B独立.1.两事件的独立性A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设 1.4 事件的独立性1.4.1 事件的独立63 由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受 P(B)0 或 P(A)0 的制约.64若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称A、B相互独立，简称A、B独立.两事件独立的定义6566 例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的可

14、见, P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 故 事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,67 前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的, 在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 可见 P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立.则P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/1368 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 由于“甲命中”并不影响“乙命

15、中”的概率，故认为A、B独立 .甲、乙两人向同一目标射击,记 A=甲命中, B=乙命中，A与B是否独立？例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率） 69一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai=第i件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的, 则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.70请问：如图的两个事件是独立的吗？ 即 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A 、B不互斥.而P(A) 0, P(B) 0故 A、B不

16、独立我们来计算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即牢记此关系71设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.72定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)

17、事件A、B相互独立。看P19:例1-30-32732、多个事件的独立性742.多个事件的独立定义 若三个事件A、B、C满足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。（前一改）75 对于三个事件A、B、C，若 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.76请注意多个事件两两独立

18、与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对 n (n 2)个事件?7778即79 例: 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解 将三人编号为1，2，3，所求为 记 Ai=第i个人破译出密码 i=1 , 2 , 3已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/48012 =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 381定义 若试验单次试验的结果只有两个，且保持不变，将试验在相同条件下独立地重复做次，称这 次试验为重独立试验序列，这个试验模型称为重独立试验序列概型，也称为重伯努利概型，简称伯努利概型返回上一页上一页下一页下一页1.4.2 n重贝努利实验82例 设有一批产品，次品率为，现进行有放回的抽取，即任取一个产品，检查一下它是正品还是次品后，仍放回去，再进行第二次抽取，问任取次后发现二个次品的概率是多少？返回上一页上一页下一页下一页1.4.2 伯努利()概型83设 表示第 次抽得的是次品，则表示第次抽得的是正品.在4次试验中，抽得两件次品的方式有种：，解先讨论的情形返回上一页上一页下一页下一页1.4.2 伯努利()概型84在4次试验中，恰抽得两个次品的概率