经济学中的计算方法 课程论文

1、二叉树模型在股股票及股票期期权定价中的的应用摘要：本文介绍绍了期权在历历史中是怎样样形成的，并并且在现代金金融学快速发发展的情况下下，如何运用用数学工具对对其定价。期期权定价领域域中一个有用用并常见的工工具是所谓的的二叉树方法法，这里的二二叉树是指代代表在期权期期限内可能会会出现的股票票价格变动路路径的图形，这这里股票价格格被假定为服服从随机漫步步，在树形的的每一步，股股票价格具有有一定的概率率会向上移动动一定的比率率，同时股票票价格也具有有一定的概率率会向下移动动一定的比率率。在极限状状况，即步长长足够小时，二二叉树中的股股票价格趋于于对数正态分分布，而对数数正态分布正正式布莱克-斯科尔斯模

2、模型关于股票票价格的假设设。关键词：二叉树树 期权 定定价 与其它衍生产品品相比, 期期权市场的发发展有着更为为漫长和曲折折的历史。期期权交易的第第一项记录是是在圣经创世纪中中的一个合同同制的协议，里里面记录了大大约在公元前前1700年年，雅克布为为同拉班的小小女儿瑞切尔尔结婚而签订订的一个类似似期权的契约约，即雅克布布在同意为拉拉班工作七年年的条件下，得得到同瑞切尔尔结婚的许可可。从期权的的定义来看，雅雅克布以七年年劳工为“权利金”，获得了同同瑞切尔结婚婚的“权利而非义义务”。 除此之之外，在亚里里士多德的政政治学一书书中, 也记记载了古希腊腊哲学家数学学家泰利斯利利用天文知识识，预测来年年

3、春季的橄榄榄收成，然后后再以极低的的价格取得西西奥斯和米拉拉特斯地区橄橄榄榨汁机的的使用权的情情形。这种“使用权”即已隐含了了期权的概念念, 可以看看作是期权的的萌芽阶段。也也许令人印象象更加深刻的的是17世纪纪荷兰的郁金金香事件，疯疯狂的投机损损害了期权在在人们心目中中的形象，直直至100多多年后，伦敦敦期权交易也也依然被认为为不合法。1990年，哈哈里马科维茨（HHarry Markoowitz），威威廉夏普（Wiilliamm Sharrp）和默顿顿米勒（Meerton Milleer）获得诺诺贝尔经济学学奖，让金融融学进入了一一个新领域，从从此，人们开开始更加科学学化的研究股股票的价值

4、，使使得传统金融融发展为现代代金融，现代代金融理论的的核心问题是是金融衍生物物定价问题。11994年88月，国际互互换和衍生协协会 (innterlllatiolllalswwaPsannd derrivatiivesasssoeiaation，IISDA)在在一份报告中中对金融衍生生品做了如下下描述“衍生品是有有关互换现金金流量和旨在在为交易者转转移风险的双双边合约。合合约到期时，交交易者所欠对对方的金额由由基础商品、证证券或指数的的价格决定”。期权和期期货是金融市市场中比较重重要的两类金金融衍生物，期期权是持有人人在未来确定定时间，按约约定的价格向向出售方购入入货出售一定定数量和质量量的原

5、生资产产的协议，但但他不承担必必须购入或卖卖出的义务，期期权按合约中中有关实施的的条款可以分分为欧式弃权权和美式期权权，欧式弃权权只能在合约约规定的到期期日实施，美美式期权可以以在合约规定定的到期日之之前（包括到到期日）任何何一个工作日日实施，齐全全按合约中购购入和销售原原生资产可以以分为看涨期期权和看跌期期权，看涨期期权是一张在在确定的时间间，按照确定定的价格有权权购入一定数数量和质量的的原生资产的的合约，看跌跌期权是一张张在确定时间间，按照确定定的价格有权权出售一定数数量和质量的的原生资产的的合约。期权权定价问题是是金融衍生物物定价问题中中的重要问题题之一，二叉叉树是由考克克斯、罗斯和和鲁

6、宾斯坦（CCox, RRoss, Rubinnsteinn）首先建立立，本文在风风险中性的市市场中如何利利用复制来化化解风险，运运用二叉树模模型对欧式弃弃权进行定价价，并利用MMatlabb进行了二叉叉树的多步实实现。与马克克维茨的均值值-方差分析析相比，期权权在风险管理理、组合投资资方面具有着着本质的不同同和明显的优优势。理论和和实践均表明明，只要投资资者合理的选选择其手中证证券和相应衍衍生物的比例例，就可以获获得无风险收收益。这种组组合的确定依依赖于对衍生生证券价值的的合理预期。当当然，期权持持有者也必须须为自己获得得的权利付出出“代价”，这就产生生了期权定价价问题。 1.单单时段二叉树树

7、模型起点和终点分别别记时刻0与与时刻，和t分别表表示一枚硬币币的正面和反反面，时刻股票票价格为，时刻刻股票价格格将为1（h） 或1（t），上升升因子为1（h）/0，下降因子为为1（t）/，为利率 假设，定义如如果抛掷硬币币结果为正面面 衍生证券券在时刻的的支付为V1（h）如果抛掷硬硬币为反面 衍生证券在在时刻的支支付为V1（t） 欧式式看涨期权和和欧式看跌期期权是特殊的的衍生证券 欧式看跌期期权在时刻的支付为（-1 ）+欧式看涨期期权在时刻的支付为（）+，其中是到到期日的敲定定价格。为确定衍生生证券在时刻刻的价格0,我们将利用用复制期权的的方法。假设初始财财富为 ，在时刻买买入份股票，现金头寸

8、为为，在时刻股股票与货币市市场账户的资资产组合价值值为，选择 和，使得（）1（）和1（）1（） 为使衍生生证券得以复复制必须有如果选取，使得得由以上对冲衍生生证券的空头头，到时刻11支付为V1的衍生证券券在时刻0的定价应为为2.多时段定价价模型我们将上面单时时段模型推广广到多时段，考虑一个时段二叉树树资产定价模模型 其中00dru并且，定义如上。设VN为一个随机机变量（衍生证券在在时刻的支支付）。它取决于于前次抛掷掷硬币过程WW1,W2Wn，对于0到N之间间的n，衍生证券券在时刻n的价格有风风险中性定价价公式给出， 进一一步在之下，衍生证券的的贴现价格是是一个鞅，即 n=0，11，n-113.

9、隐含波动率率在期权定价价中的应用 通过大量实证研研究表明，应应用期权的市市场价格和BB-S公式推推算出来的隐隐含波动率具具有以下两个个方向的变动动规律：波动动率微笑（vvolatiility smilees）与波动动率期限结构构（volaatilitty terrm strructurre）。首先介绍波动率率微笑。Bllack-SScholees模型的假假设前提是，标标的资产价格格服从几何布布朗运动且其其波动率固定定不变。抛开开复杂的数学学定义和推导导，我们单从从形态上观察察，分别以执执行价格和隐隐含波动率为为横纵坐标轴轴，隐含波动动率常常呈现现“微笑”形态，即对对于具有相同同到期日和标标的资

10、产而执执行价格不同同的期权，这这些期权的执执行价格偏离离现货价格越越远，那么它它的隐含波动动率越大，看看起来像个笑笑脸，波动率率微笑也因此此得名。 图1：波动率微微笑为什么会出现这这种现象呢？有很多种解解释，第一种种是资产价格格非正态分布布说。这种理理论认为，标标准Blacck-Schholes模模型假定标定定资产价格服服从对数正态态分布，收益益率服从正态态分布。但是是大量实证检检验发现收益益率的分布更更加显示出尖尖峰厚尾的特特征。这种分分布下收益率率出现极端值值的概率高于于正态分布，如如在上式中采采用收益率正正态分布假设设，则低估了了较大和较小小到期期权价价值出现的概概率相应低估估了深实值和

11、和深虚值期权权的价格。第第二种是期权权市场溢价说说。从市场上上看，平价期期权以实值状状态结束和以以虚值状态结结束的概率基基本相同，其其时间价值最最大，供给和和需求基本平平衡。深实值值期权的Deelta值接接近1，在投资中中的杠杆作用用最大，需求求量很大。但但是除非投资资者预期标定定资产的价格格会有一个根根本性的变动动，一般不会会出售深实值值期权，供给给量较小。因因此深实值期期权的溢价较较高，其隐含含波动率也较较高。对相同同协定价的看看涨期权和看看跌期权，当当一个处于深深实值状态时时，另一个必必然处于深虚虚值状态。根根据看涨看跌跌平价关系，这这两个期权的的波动率应当当大致相同。可可见实值看涨涨期

12、权的溢价价也会造成虚虚值看跌期权权的溢价，从从而呈现隐含含波动率“微笑”。当然，除除了这两种解解释，学者们们还提出了其其他解释，如如资产价格跳跳跃过程说、资资产价格预期期说、交易成成本不对称说说等等。再来解释另一个个概念波动率期期限结构，也也被称为波动动率偏度，是是指对于相同同标的物和执执行价格而到到期日不同的的期权，这些些期权的隐含含波动率同期期权有效期限限之间的关系系，称为波动动率期限结构构。一般来说说，当短期的的隐含波动率率较低时，波波动率往往是是期限的递增增函数，因为为这时波动率率预期会升高高。类似地，当当短期的隐含含波动率较高高时，波动率率往往是期限限的递减函数数，因为这时时波动率预

13、期期会减小。 国外的交易易员常常结合合波动率微笑笑和波动率期期限结构来为为期权定价，方方法是建立一一个波动率矩矩阵（表格形形式），一边边填上期权的的执行价格，一一边填上期权权的剩余期限限，表中其它它空位对应的的是由定价模模型推倒出的的期权的隐含含波动率。在在任意给定时时间，交易员员往往选定一一些市场价格格比较可靠的的期权价格数数据（这些期期权大多平值值期权，非深深度实值，非非深度虚值期期权，且交易易活跃），对对应于这些点点的隐含波动动率可以直接接由市场价格格来求得，并并输入到波动动率矩阵中，波波动率矩阵上上其它点的数数据常常是通通过线性插值值计算得出的的。当要对一一个新的期权权定价时，我我们可

14、以在波波动率矩阵中中选取适当的的数据。举个个例子，如表表1所示，对一一个9个月到期，执执行价格为1100美元/桶的原油期期权定价，我我们可以从矩矩阵中选取执执行价格为1100美元/桶的那一列列期权隐含波波动率来对此此9个月到期的的原油期权进进行插值，作作为该期权隐隐含波动率的的估计，此估估计可以用于于Blackk-Schooles公式式以求出期权权价格，该价价格将投资者者对市场价格格预期考虑进进去，因此具具有较高的参参考价值。 期限执行价格7080901001101个月14.213.012.013.114.53个月14.013.012.013.114.26个月14.113.312.513.41

15、4.31年14.714.013.514.014.82年15.014.414.014.515.15年14.814.614.414.715.0表一四：美式期权定定价模型在欧式二叉树的的基础上，接接下来考虑美美式二叉树。与与欧式二叉数数不同的是，美美式期权中的的二叉树的最最后一个节点点的价格为欧欧式期权的价价格，而之前前任一节点期期权的价格等等于以下数量量的极大值：由欧式期权所计计算的值；提前行使期权的的收益。由此可见，美式式期权中使用用二叉树进行行期权定价的的原理与欧式式中的大致一一样，故计算算多步二叉树树时，仍然可可以使用前面面的思想，将将多步二叉树树分解成多个个单步二叉树树。为此，在在下面的过

16、程程中先考虑没没事中的单步步二叉树的计计算，在考虑虑多步二叉树树的计算。1、单步二叉树树由于单步二叉树树中的期权定定价还与期权权的类型有关关，下面将分分看涨与看跌跌期权分类讨讨论。（1）看涨期权权股价上涨时，期期权的价格为为，若股票下下跌时，则期期权的价格为为，由欧式期权权价格模型可可知，,此时时（初始时刻刻），将股票票抛出，则收收益为，（为股票在在初始时刻价价格以及期权权的执行价格格）：情形1、若，则则这份期权的的最佳收益为为；情形2、若，则则这份期权的的最佳收益仍仍为；所以， （2）看跌期权权股价上涨时，期期权的价格为为，若股票下下跌时，则期期权的价格为为，由式（55）可知，,此时（初始始

17、时刻），将将股票抛出，则则收益为，（为股票在在初始时刻价价格以及期权权的执行价格格）：情形1、若，则则这份期权的的最佳收益为为；情形2、若，则则这份期权的的最佳收益仍仍为； 2、多步二叉树树上面我们讨论了了单步二叉树模模型给美式股票期权权定价。接下下来讨论多步步二叉树模型型对美式股票期期权定价。 假设设股票价格经经历了个时间间步的演化到到达期权到期期日，且每一一个时间步长长为，这可用用一个 步二二叉树描述（图图形省略）。若若股票的初始始价格为，且且每经过一个个时间步，股股价或向上增增加到当前价价格的倍，或或向下下降到到当前价格的的 倍，无风风险利率为的的，则在第 个个时间步后，二二叉树上产生生

18、个节点，自自上而下分别别用 表示，则则节点对应的的股票价格为为期权价值用用表示。如果果在节点处期期权没有被提提早执行，则则期权价值 可通过式(8.2)和和(8.3)来计算，即即如果在节点处期期权被提早执执行是最优的的，则期权价价值就是提早早执行的收益益（payooff），令令为期权的敲敲定价，对股票看涨权，有有 对股票看跌权，有有 显然然，美式股票票期权在节点点处的价值应应该取和中的较大者者，即 由于于美式股票期期权在期权到到期日的价值值是已知的，因因此美式股票票期权的定价价应该由前向向后逐步计算算，这也称作作向后推演（bbackwaards iinducttion）。先先由第步（期期权到期日

19、）的的个节点上的的期权价值推推出第步对应应的 个节点点上的期权价价值，依此下下去，我们可可以得到初始始时间上的期期权价值。4.应用及maatlab程程序functioon amooptionn(s0,EE,rf,ssigma,T,dt,ds,smmax)% 隐式法求解解美式看跌期期权% 输入参数说说明：% s0 0时时刻股价% E 执行行价% rf 无风风险利率% T 到期期日（单位：年）% sigmaa 股票票波动的标准准差% smax 股票票最大值% ds 股票票价格离散步步长% dt 时间间离散步长% 初始化 %M=roundd(smaxx/ds);N= rounnd(T/ddt);ds=smaxx/M; % 重新确定股股票价格步长长dt=T/N; % 确确定时间的步步长%for j=11:Ma(j)=0.5*rf*j*dt-0.5*ssigma2*j22*dtb(j)=1+sigmaa2*j2*dt+rf*dttc(j)=-00.5*rff*