【6年级奥数课本(上)】第16讲 数论综合提高二

1、 4/4【6年级奥数课本(上)】第16讲 数论综合提高二 小学奥数创新体系6年级 （上册授课课本） 最 新 讲 义 小学奥数 第十六讲 数论综合提高二 本讲知识点汇总： 一、约数、倍数 1 基本概念 （1） 如果a 能被b 整除（也就是），则b 是a 的约数（因数），a 是b 的倍数； （2） 约数具有“配对”性质：大约数对应小约数 2 约数个数 （1） 分解质因数，指数加1再相乘； （2） 平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数 3 约数和公式 （1） 如果一个数的质因数分解式为，则约数和为； （2） 如果一个数的质因数分解式为，则约数和为； 二、公约数、公倍数 1 基本概念 （1） 如果

2、a 是若干个数公有的约数，则称a 是它们的公约数，其中最大的叫做最大公约数； （2） 如果b 是若干个数公有的倍数，则称b 是它们的公倍数，其中最小的叫做最小公倍数； （3） 公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 2 计算方法 （1） 短除法； （2） 分解质因数法； （3） 辗转相除法（只用于计算两个数的最大公约数） 3 基本性质 （1） ； （2） 两个数的最大公约数是它们和或差的约数； （3） 已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来： 例如，甲、乙的最大公约数是5，则可以把甲乙分别设为5a 和5b ，其中a 、b 互质，此时甲乙的最小公倍数是5ab

3、4 两个最简分数的最大公约数、最小公倍数： (),a b a b a b ?=? ()()()2111a b c c +?+?+ 2a b c ? ()()22311a a b b b +?+ 23a b ? |b a ； 一、 约数、倍数 1 约数的配对思想； 2 约数个数与完全平方数的关系； 3 求约数个数； 4 求约数的和； 5 利用约数个数反推原数的质因数分解形式 二、 公约数、公倍数 1 基本计算； 2 带有应用题背景的公约数公倍数计算； 3 有关最大公约数和最小公倍数的反求问题； 4 最大公约数、最小公倍数的质因数的分配 例1 庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的

4、当天举行大型的庆祝活 动，由编号1100的100名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次编号是3的倍数的小朋友再向左转，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？ 分析首先分析出转几次的人会面朝南方，这些次数排成一列，找出这组数列的规律 练习1、有2012盏灯，分别对应编号为1至2012的2012个开关现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关已知第1个人按的开关的编号是1的倍数，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数，依次

5、做下去，第2012个人按的开关的编号是2012的倍数如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？ 经典题型 ()a c a c b d b d ?=?, ()a c a c b d b d ?= ?, 例2一个数有15个约数，这个数最小是多少？第二小是多少？ 分析根据约数个数公式分析出含有15个约数的数的分解质因数形式 练习2、有10个约数的自然数最小是多少？有8个约数的最小的奇数是多少？ 例3在35的倍数中，恰有35个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式）分析所求数一定含有35的质因数，再结合含有35个约数的数的分解质因数形式即可找到解题的突破口 练习

6、3、42的倍数中，恰好有42个约数的数有多少个？ 例4三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10个那么这三个自然数分别是多少？ 分析把含有8、9、10个约数的数的分解质因数形式及86400中个质因数的个数结合在一起进行分析 练习4、三个自然数乘积为5184，且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个、A+2个那么这三个自然数分别是多少？ 例5两个整数的差为7，他们的最小公倍数和最大公约数的差是689，则这两个数分别是多少？ 分析列不定方程求解 例6大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的

7、脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印问：这个花圃的周长是多少米？ 分析这是一道公约数、公倍数的问题，首先回忆一下公约数、公倍数的求法，再思考一下题中各数据之间的关系 亲和数（Amicable Pair） 亲和数是一种古老的数 遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b，b的所有真因数之和等于a，则称a，b是一对亲和数相传，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要象220和284一样亲密什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我”后来，毕氏学派宣传说：人

8、之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”从此，把220和284叫做“亲和数”（也叫“朋友数”或叫“相亲数”）这就是“亲和数”这个名称的来源毕达哥拉斯首先发现220与284就是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，或者走出困境数学家们仍然没有找到第二对亲和数 距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车

9、轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费马终于找到了第二对亲和数17296和18416，这个发现也重新点燃寻找亲和数的火炬两年之后，“解析几何之父”法国数学家笛卡尔于1638年3月31日宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千五百年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛 在十七世纪以后的岁月，许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列，他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆可是，无情的事实使他们省悟到，已经陷入了一座数学迷宫，不可能出现法国人的辉煌了 正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷1747年，年仅39岁的瑞士数学家欧拉

10、竟向全世界宣布：他找到了30对亲和数，后来又扩展到60对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程 时间又过了120年，到了1867年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的16岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了这戏剧性的发现让数学家们大为惊叹 在以后的半个世纪的时间里，人们在前人的基础上，不断更新方法，陆陆续续又找到了许多对亲和数到了1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得，发表了1095对亲和数，其中最大的数有25位同年，另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数 电子计算机诞生以后，结束了笔算寻找亲和数的历史，人们利用计算机，可以更有效率的寻找和分析亲和数，但直到今天，亲和数仍有许多未解之谜，等待着数学家和计算机专家来解决 作业 1.300共多少个约数？其中有多少个是6的倍数？有多少个不是4的倍数？ 2.把一张长108厘米，宽84厘米的长方形纸裁成同样大小的正