龙格库塔方法

1、Runge-Kuttua方法和matlab原理龙格库塔法（Runge-Kutta）数值分析中，龙格库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔龙格和马丁威尔海姆库塔于1900年左右发明。经典四阶龙格库塔法龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。四阶Runge-Kutta方法这样，下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：k1是时间段开始时的斜率；k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率 k1 来决定 y在点 tn

2、+ h/2的值；k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率 k2决定 y值；k4是时间段终点的斜率，其 y值用 k3 决定。当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：误差分析：注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。 四阶R-K方法的每一步需要计算四次函数值f，可以证明其局部截断误差为O(h5).R-K(高阶)方法不唯一,选择不同的参数能得到不同的R-K公式注意的问题R-K方法的推导是基于Taylor展开法，因而要求解具有较好的光滑性，如果光滑性较差精度可能不如改进Euler方法,最好采用低阶算法而将步长h 取小。Runge-Kutta法的主要运算在于计算 Ki 的值，即计算 f

3、的值。计算量与可达到的最高精度阶数的关系：753可达到的最高精度642每步须算Ki 的个数四阶Runge-Kutta方法的MATLAB实现原理：四阶R-K方法实现开始输出x1,y1结束YNfunction ff=rk(yy,x0,y0,h,a,b)%yy为y的导函数,x0,y0,为初值,h为步长,a,b为区间c=(b-a)/h+1;i1=1; %c为迭代步数；i1为迭代步数累加值y=y0;z=zeros(c,6); %z生成c行，6列的零矩阵存放结果；%每行存放c次迭代结果，每列分别存放k1k4及y的结果不断迭代运算：for x=a:h:b if i1=c k1=feval(yy,x,y);

4、k2=feval(yy,x+h/2,y+(h*k1)/2); k3=feval(yy,x+h/2,y+(h*k2)/2); k4=feval(yy,x+h,y+h*k3); y=y+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); z(i1,1)=x;z(i1,2)=k1;z(i1,3)=k2;z(i1,4)=k3;z(i1,5)=k4;z(i1,6)=y; i1=i1+1; endend例4解例 题 4xnYn|yn-y(xn)|R-K3误差y(xn)0.11.0959 0.00051.095440.45e-41.09540.21.1841 0.0009 1.183220.17e-41.18

5、320.31.2662 0.0013 1.264910.15e-41.26490.41.3434 0.0018 1.341650.48e-41.34160.51.4164 0.0022 1.414220.25e-41.41420.61.4860 0.0028 1.483260.55e-41.48320.71.5525 0.0033 1.549210.14e-41.54920.81.6165 0.0040 1.6124780.21e-41.61250.91.6782 0.0049 1.673350.54e-41.67331.01.7379 0.0058 1.732090.06e-41.7321改进Euler法一步需要计算两个函数值(h=0.1)四阶Runge-Kutta方法一步需要计算四个函数值（h=0.2）总计算量大致相当，但四阶Runge-Kutta方法精度更高五、变步长Runge-Kutta方法从每一步看，步长越小，截断误差越小；但随着步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就会增加，步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累，因此需要选择步长如何衡量和检验计算结