三角函数的图像与性质题型归纳总结

1、精细；挑选;精细；挑选;三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型1已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为y=Asin(ex+y)或y=Acos(ex+y),A0,m0,要根据y=sinx,y=cosx的整体性质求解。一、函数的奇偶性TOC o 1-5 h z例1fx)=sin(x+9)(OW甲0，W(x)是偶函数的充要条件是()A.f(0)=1B./(0)=0C.f(0)=1D.f(0)=0例2.设f(x)=sin(2x一2)(xeR)，贝f(x()A.最小正周期为兀的奇函数B.最小正周期为兀的偶函数兀兀C.最小正周期为-的奇函数D.最小正周期为-的偶函数2变式1.

2、若f(x)=sin2x-1(xeR)，贝f(兀)是()A.最小正周期为兀的奇函数B.最小正周期为兀的偶函数C.最小正周期为2兀的奇函数D.最小正周期为2兀的偶函数变式2下列函数中，既在(0,兀)递增，又是以兀为周期的偶函数的是()A.y=cos2xb.y=lsin2xIc.y=lcos2xId.y=lsinxI二、函数的周期性例3.函数y=sin(2x+)cos(2x+)的最小正周期为()667171A迈71B.4【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：函数y=Asin(x+申)+b,y=Acos(x+申)+b,y=Atan(x+申)+b的周期分别为|w|2|w|函数y=|Asin(x+申)|

3、,y=|Acos(x+申)|,y=|A|w|2|w|TOC o 1-5 h z函数y=|Asin(x+9)+b|(b工0),y=|Acos(x+9)+b|(b工0)的周期均为7T7T HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 变式1函数y=sin(2x+)+cos(2x+一)的最小正周期和最大值分别为()63A.,1B.,迈C.2,1D.2, HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 变式2.若f(x)=sinx(sinx-cosx),贝f(x)的最小正周期是.变式3.若/(x)=sin3x+1sin3x|贝f

4、(x)是()A.最小正周期为一的周期函数B.最小正周期为2的周期函数3C.最小正周期为2的周期函数D.非周期函数三、函数的单调性JT例4.函数y=sin(-2x)(xg0,)的递增区间是()6兀a.%兀a.%D.译，一6【评注】求三角函数的单调区间：若函数y=Asin(x+9)(A0,0)则JTJT函数的递增区间由2k-x+92k+(kgZ)决定；223函数的递减区间由2k+x+90,0,可将函数变为y=-Asin(-x-9)则y=Asin(-x-9)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间;(4)对于函数y=Acos(wx+9)和y=Atan(wx+9)单调性的讨论同上。变式1函数y

5、=sinx+f(x)在-，内单调递增，贝Vf(x)可以是()44A.1B.cosxc.sinxD.cosxTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 兀兀变式2.若f(x)二sinx+-)(o0)在(一，兀)上单调递增，则的取值范围是()A.,B.亍C.(0,TD.(0,24242变式3.已知函数f(x)v3sinx+cos(x+y)+cos(x)(0)TOC o 1-5 h z(1求f(x)的值域;(2)若f(x)的最小正周期为一,xG0,f(x)的单调递减区间.220)的最小正周期为兀，贝f(x)的图象()冗冗A.关于点(一

6、,0)对称B.关于直线x=对称4冗冗C.关于点(,0)对称D.关于直线x=对称3变式2函数y=sin(x-才)的图象的一个对称中心是()3兀3兀兀A.(,0)B.(-,0)C.(丁,0)D.(亍0)42x2x变式3.函数f(x)=sin#+cos#的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是变式4.若函数y=sinx.3cosx的图象向右平移a个单位(a0)后的图象关于y轴对称，则a的最小值是()A.76B.2A.76B.2C.6D.五、三角函数性质的综合【思路提示】三角函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，对称性尤为重要；(D对称性n奇偶性：若函数f(x)的图象关于y轴对称，贝f(x)是偶

7、函数；若函数/(x)的图象关于原点对称，贝f(x)是奇函数；对称性n周期性：相邻两条对称轴之间的距离为匚；相邻两个对称中心的距离为相邻的对称中心与对称轴之间的距离为T；4(3)对称性n单调性：在相邻的对称轴之间，函数(x)单调；特殊的，若f(x)=Asin(wx),A0,w0函数f(x)在0,9上单调，且0e9,91212设9=maxl91,9，则T9O124对任xeR成立，则例6.设f(x)=asin2x+bcos2x,ab对任xeR成立，则一7兀、一兀、/(77)0)6(1W的值域；2)若在区间-1,：为增函数求诙最大值.兀2兀变式1.已知函数f(x)=2sinx(o0),若f(x)在-，

8、-上递增，求的取值范围.43例8.若f（x）二sinx+-）（rn0）,fG）=f（叟）且在G，叟）上有最小值无最大值，则=6363题型2根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。【思路提示】由图象求得y=Asin（x+y）（A0,0）的解析式一般不唯一，只有限定申的取值范围，才能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点（即图象上升时与横轴兀的交点）为Ox+9=0，第二点（即图象最高点）洶x+p=-，第三点（即图象下降时乙3兀与横轴的交点）为x+9=兀，第四点（即图象最低点）为Px+9=，第五点（即图2象上升时与横轴的交点）为Px+9=2

9、兀.。例9.函数f（x）=Asin（2x+9）（A,9eR）部分图象如下图所示，贝f（0）=（）2C.2C.变式1.函数f(x)=Asin(Px+9)(A0,p0)部分图象如下图所示，贝f(0)=.精品文档精品文档一兀2变式2f(x)=Acosx+Q)部分图象如下图所示，f(一)二-,贝f(0)=2023一/023一/12A例10.已知函数f(x)=Asin(x+p)(A0,0,1pl兀)部分图象如下图所示，求f(x)的解析式。变式1.已知f(x)=cos2(x+p)(，p为常数)，如果存在正整数和实数p使得函数f(x)的图象如图所示(图象经过点(1,0)，求3的值.精品文档精品文档精细；挑选

10、;精细；挑选;方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值）求函数解析式。3冗例11已知函数f（x）二sin（x+Q）（0,00,0申）图象的相邻两条对称轴的距离为一,23且经过点（0,2）,求函数f（x）的解析式。题型3：函数的值域(最值)【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理：y=asinx+b=at+b,sinx=te1,1;y=asinx+bcosx+c=x-a2+b2sin(x+申)+c,tan申=;ay=asin2x+bsinx+c=at2+bt+c,sinx=te1,1;y=acos2x+bsinx+c=at2+b

11、t+(a+c),sinx=te1,1;y=acos2x+bsinx+c=2at2+bt+(a+c),sinx=te1,1;(4)y=acosxsinx+b(sinx+cosx)+c=a+bt+(a+c),sinx+cosx=teJ2,J2;2y=acosxsinx+b(sinx一cosx)+c=a+bt+(a+c),sinx一cosx=te*2*2；2(5)y=a迪x+b与y=asinx+b根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可csinx+dccosx+d用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值，但都必须要注意sinx、cosx的范围。例12.函数f(x)=sinxcosx的最小值

12、是()A.1B.1C.1D.122兀变式1.函数/(x)=sinxcos(x+亍)的值域为(A.2,2B.J3,鳶)C.1,1rrrrrr变式2.函数f(x)=sin2x+、：3sinxcosx在区间-一,一上的最大值为()A.1B.13C.3D.1+打22TOC o 1-5 h z例13函数f(x)=4sin(x+)+3sin(-x)的最大值为()363A.7B.2运+C5D.42变式1.求函数f(x)二cos(x+王)+2cos2的值域.32、,qIqIqIqIqI变式2.求函数f(x)二cos(2x-一)+2sin(x+)sin(x-)(xe-一,)的值域.344122例14.求函数f(

13、x)=2cos2x+sin2x-4cosx的最值.、，兀变式1.求函数f(x)二cos2x+sinx(lxl厶)的最小值.变式2.变式2.求函数f(x)二sin25x+acosx+a83(ox0在(0,-上恒成立，求a的取值范围.2例15.对于函数f(x)=(0 x兀)，下列结论中正确的是()sinxA.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值和最小值D.无最值变式1.求函数y=辿竺的值域.2+sinx兀兀变式2若-x0）的图象.途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）y二sinx向左平移申个单位、y二sin（x+p）x变为原来的、y二sin（ex+p）y变为原来的a倍、y二Asin（

14、x+p）向上平移b个单位、y二Asin（x+p）+b；途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。y=sinxx变为原来的sinx向左平移:个单位y=sinx+申）y变为原来的a倍y=Asinx+申）向上平移b个单位y=Asinx+申）+b.平移口诀：左加右减，上加下减（不要管、申、b的正负，注意先弄清楚由谁平移到谁）。例16把函数y=cos2x+l的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（）A向左平移C向左平移65个单位A向左平移C向左平移65个单位B向右平移5个单位12125个单位D向右平移5个单位6兀兀变式2.已矢f(x)=sin(x+),g(x)=cos(x-),贝f(x)的图象()A与g(x)的图象相同B与g(x)的图象关于y轴对称是由g(x)的图象向左平移少个单位得到的是由g(x)的图象向右平移；个单位得到的例17.函数(x)=1sin2xsinp+cos2xcosp-sin(+p)(0p0),函数f(x)=mf的最大值为6,(1)求)将函数=f(x)的图像向左平移12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的