电场线的应用

1、7/7电场线的应用 1、关于感应电荷问题感应电荷的绝对值小于或等于施感电荷的绝对值如图所示,A是带正电的导体，电量为q，当它靠近中性导体B时，在的近端产生感应负电荷- ,远端产生感应正电荷 这里，若简单认为感应电荷量等于施感电荷量,即 ，则结论是错误的，事实上可以证明 导体在静电平衡下是个等势体，根据电场线性质,B的远端 发出的电场线不能终止于近端的- 上，只能终止于无穷远处，因此必有同理，从无穷远处来的电场线亦不能终止于导体B近端的 上，因此，可以断定终止于B近端负电荷的电场线全部来自于A上的施感电荷由高斯定理的几何意义，起始于A上施感正电荷的电场线条数为 ，终止于B近端上感应负电荷的电场线

2、条数为。.若注意到施感电荷+q发出的电场线可以部分终止于无穷远处或全部终止于B近端感应电荷 上的事实，则有 。 在特殊情况下,施感电荷发出的电场线可以全部终止于感应电荷上,因而有.譬如导体空腔内的施感电荷在腔内表面感应的电荷就属于这种情况 两个导体中(不论电荷量如何）至少有一个导体其表面上各点的面电荷密度不会异号.这一结论可采用反证法来证明。设、两个导体上都出现异号电荷,如图所示又设 ，则根据电场线性质,起始于A上正电荷的电场线必定有一部分终止于上的负电荷，而终止于A上负电荷的电场线不可能起始于A上的电荷，因为是一个等势体,当然也不可能起始于B上的正电荷，否则将导致 与题设相矛盾.因此，只可能

3、起始于无穷远处，于是有同理可知，起始于B上正电荷的电场线既不能终止于B上的负电荷,也不能终止于A上的负电荷，只能终止于无穷远处于是又，这与 相矛盾.由此证明,原先假设A、B两导体同时带异号电荷是不可能的，可能的是两个导体中至少要有一个不同时带异号电荷 带等量同号电荷的两相同导体球面不可能感应异号电荷为确定起见,假定两导体球面上原来带的都是正电荷（负电荷可同样论证)，且其中有一个球面上出现负感应电荷,则根据电场线性质应有电场线终止于该负电荷处因为两导体球面的电势相等，所以终止于负电荷的电场线既不可能起始于同一球面,也不可能起始于另一球面，而只能起始于无穷远处。但是，球面上原有正电荷发出电场线是终

4、止于无穷远处的,即无穷远处的电势比球面的电势要低,所以不可能有电场线是起始于无穷远而终止于导体球面的，这就证明了球表面不可能感应出负电荷。 2、关于电势问题在无电荷存在的真空静电场中,电势不可能有极值.设所论空间某点P的电势有极大值，则点电势高于周围临近各点的电势.根据电场线性质,必有电场线从P点发出,于是根据电场线性质,P点肯定有正电荷存在，这就与无电荷真空相矛盾,故点电势不可能有极大值。同理可证P点电势也不可能有极小值。若所有导体电势都相等，则导体以外的无电荷空间中各点的电势均与各导体的电势相等. 设所论空间有三个导体,且 ,根据电场线性质，三个导体间彼此不可能有电场线相连接，空间可能有的

5、电场线要么从三个导体发出终止于无穷远，要么从无穷远射来终止于这些导体上。若空间某点P电势与导体电势不相等,如 ,则根据电场线性质,过P点必有电场线指向导体，于是空间中必有电势为极大值的点,因为电势在没有电荷的空间是连续分布的,且空间的边界一个是U（三个导体)，另一个是无穷远( ）显然，这种情况与前一结论相矛盾同理可证 将产生相同的矛盾由于P点是任意取的，则命题得证在除了导体以外没有其他电荷分布的情况下，若所有导体都是电中性的,则各导体的电势都相等，且为零如图所示，设导体1与导体2电势不相等,如 ,两个导体都是电中性，则根据电场线性质1、3,由导体1上正电荷发出的电场线，一部分将终止于导体2上的

6、负电荷，另一部分将延伸到无穷远处;导体2上正电荷发出的电场线只能延伸到无穷远处;导体1上的负电荷是要终止电场线的,但这电场线既不能由导体1发出(导体是等势体)，也不能接受导体上发出的电场线(因 ),更不能接受来自无穷远处的电场线，因为导体2已有电场线延伸到无穷远处，这就与假设 相矛盾。采用同样的方法，不难证明对于 的所有情况都会出现类似的矛盾因此，导体1和导体2的电势只能相等且为零，故结论得证 中性孤立导体的电势等于零，表面电荷面密度处处为零这个结论可用反证法加以论证不妨假设孤立中性导体的电势U0,则根据电场线性质，此导体表面某处必有电场线发出而终止于无穷远处，因此该处表面必有电荷存在导体既然

7、是电中性的,那么，由电荷守恒定律可以谁知,导体表面另外某处必有等量负电荷存在,同样由电场线性质可知负电荷上必有电场线终止，这些电场线唯一可能的来源只能是起始于无穷远处,因此有 ，显然，这和开始的假设相矛盾若假设U0，同样导致矛盾的结果由此证明,中性孤立导体的电势只能等于零，其表面各点不可能有面电荷密度 中性导体接近带负电的导体时,前者电势降低,后者电势升高.在中性导体B末进入带负电的导体A所激发的电场前，导体B属中性孤立导体,故由上述所证结论知, 当B接近导体后,由于静电感应,其左右两端分别出现感应电荷，如图所示根据电场线性质，终止于导体B右端负电荷的电场线只能起始于无穷远处,沿着这些电场线电

8、场强度的积分 ，因此， ，而且B越接近,右端感应的负电荷面密度越大,终止的电场线越密，由电场线性质知附近的电场强度也越大，因而 越小(从无穷远处为电势参考点去考虑）与此同时，由于静电感应,A上负电荷向右端聚集，左端负电荷面密度减小，因而终止的电场线相应减少,A的左半空间的电场强度也减小,于是A的电势升高同理可证,中性导体接近带正电的导体时，前者电势升，后者电势降低.、关于导体接地问题接地导体的电势等于零,地球与无穷远同电势，即 . 先讨论如图所示的情形，如果B是一个很大的导体球，则B的远端离A的距离就很大，远端表面也很大因此，远端的感应电荷面密度与A表面电荷面密度及近端表面电荷面密度比较就显得

9、很小,故远端附近的电场线也就很疏.根据电场线性质可知远端表面附近的电场强度与A附近的电场强度比较也很小，沿着这些电场线电场强度的线积分 也很小，即 很小设想当B的半径 ，则远端电荷面密度 ，远端表面附近的电场强度，因而 再讨论导体B接地时的情形（如图），这时B和地球组成一个导体，地球的另一侧成了这个导体的远端，因为地球半径很大,所以。 在以上的讨论中，我们认为地球是一个很大的导体球，且是电中性的，并将无穷远区取在地球之外,得出 .实际上,所讨论的带电体的线度与地球半径相比往往是非常小的，而离带电体足够远处就可视为无穷远，所以实际上无穷远处仍在地球上。带电体在该处产生的电场已小得足以忽略.由于带

10、电体在地球上感应的电荷面密度在离带电体足够远处也近乎于零,因此,地球是电中性的.这样,在无穷远区就没有电场，因此,无穷远处为等电势区域,且与地球的电势相等这样,我们又得到了 但这与以前的不同，以前的无穷远区在地球之外，现在的无穷远区在地球之上了！事实上，我们讨论静电平衡问题都属于这种情况孤立导体接地后,表面电荷面密度处处为零.设孤立导体接地后其表面某处有 ，则由电场线性质可知,该处必有电场线发出，又根据电场线性质，这些电场线不能终止于导体自身，只能终止于无穷远处，因此有 ，显然，这就与接地导体的电势等于零的结论相矛盾如设导体表面处有 ，同样导致矛盾结果由此证明接地导体表面电荷面密度处处为零接地

11、导体附近若只有一个带电体，则接地导体表面不可能有与带电体上的电荷同号的电荷。 上述结论还与接地线在什么位置无关,. 、关于孤立带电导体电场的能量问题 设孤立导体的电容为C，所带的电量为Q，则由普物静电场理论可知,孤立导体所激发的电场具有总能量 下面我们同样用电场线有关性质来证明这个结论如图所示，为确定起见,设孤立导体A所带电量 ，根据电场线性质，它发出的所有电场线都将延伸到无穷远处,其中T为一束细电场线管.已知静电场能量密度为 ，现在对整个管取 的体积分,即: 式中 为管上的任一横截面积， 为沿T管方向的线元, 为整个管中的电场能量。 根据电场线性质，电场线管T内的电场线条数到处一样，常数，于是，( l