任意角的三角函数教学设计

1、任意角的三角函数（第一课时）教学设计一、教材分析。“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，又是学好本章教学内容的关键。它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上进行的推广。教材从任意角三角函数定义基础上衍生出丰富的三角内容，因此三角函数的定义整个三角部分的基础，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用.同时它又为后面学习平面向量、解析几何等内容作必要准备。二、教学目标。知识与技能：（1）理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。（2）能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值。（3）能根据定义判断出三角函数值在各个象限的符号。过程与方法：经历从锐

2、角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系和单位圆的功能，丰富数形结合的经验.3情感目标和价值观：通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想。培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。三、教学方法。启发探索、讲练结合四、教学过程。（一）复习引入、回想再认问题1:在初中，我们已经学习了锐角三角函数，它是怎样定义对边邻边对边sina=，cona=，tana=斜边斜边邻边设计意图：从学生已有的数学经验出发，为用坐标定义三角函数作准备.（二）引伸铺垫、创设情景问题2：现在，利用平面直角坐标系

3、将角的概念已经推广到了任意角，上述定义能否推广到任意角的三角函数？学生思考：不能。设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程.问题3：如何定义任意角的三角函数？设计意图：引导学生探索任意角三角函数的定义.教师活动：用直角坐标系来研究任意角的三角函数.布置任务情景:请同学们尝试用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义!1、把锐角放入直角坐标系：师生配合（学生口述，教师ppt展示）：把锐角a安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）2、坐标化:3、问题：如果将锐角置于平面直角坐标系

4、中，如何用角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中，在角a终边上任取一点P（x,y），用点P的坐标来重新得到锐角a的正弦、余弦、正切的值。对边y邻边x对边ysina=，cona=.，tana=斜边jx2+y2斜边Jx2+y2邻边x此处做法简单，思想重要.用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础，如：从实数到复数的扩展等）.（三）利用单位圆、简化问题问题4：上述定义中的结构形式较为复杂，你能否选择特殊点P斜边邻边x

5、问题：当角a是任意角时，满足OP=r=l的轨迹就是圆，象这种在直角坐标系中，以圆点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。设计意图：引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。该问题与问题1结合，分步推进，降低难度，基本尊重教材的处理方式。2、产生新问题：问题5：p在单位圆与否得到的三角函数值相同吗？依据：三角形相似，三角函数值与角终边上点的位置无关。（四）分析归纳、自主定义布置任务情景：请你利用上述定义方式写出任意角的三角函数的定义。（分小组分别写出角a的终边位于第二、三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数）针对其中的图（4）学生写出sina=v=0

6、，cona=工，tana=2=0，y”x针对其中的图（5）学生写出sina=y，cona=x=0，tana无意义。设计意图:把角的终边分别在四个象限、四条半轴上的情形全作出来，有利于对角任意性的全面把握.明确函数值存在与否的条件，为确定函数定义域作准备.三角函数的定义：设a是任意角，它的终边1与单位圆交于，点x，y),那么TOC o 1-5 h zy叫做a的正弦，记作sina，即sina=y.x叫做a的余弦，记作cosa，即cosa=x.y叫做a的正切，记作tana，即tana(xh0).xx正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函

7、数。从函数角度认识三角函数问题6：根据上述过程，你能写出三角函数的定义域吗？你能用函数的定义对三角函数进行分析吗？正弦sm口余弓艺cos口正切tan口对应法则sm口=yCOSCT=Xytana=X自变量IJUU定义域口ER口CR0产一+比72朮EZ-2-三角函数可以看成是以实数为自变量的函数（六）符号判断、形象识记问题：利用三角函数定义你能判断三角函数值的正、负吗?三角函数值的符号决定于X、y值的正负：y+y+y+xxx+-tana=2Sina=ycosa=xx设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求.要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，

8、帮助理解和记忆.（七）应用新知、联系巩固例1、求宝的正弦、余弦和正切值。3（设计意图：巩固对定义的理解。）与单位圆的交点坐标，再根据定义求解。解：如图5，在平面直角坐标系中作ZAOB二宝，3与单位圆的交点坐标，再根据定义求解。解：如图5，在平面直角坐标系中作ZAOB二宝，3所以ZAOB终边与单位圆的交点坐标是（1-根据定义可得：sin宝=_空，con竺=1,3232tan竺=3例2、已知角a的终边经过点p（-3，-4），求角a的正弦、余弦和正切值。（设计意图：通过问题的转化，进一步加深对定义的理解。）分析：通过相似求出角a的终边与单位圆的交点坐标，之后再根据定义求解。解：如图6,由已知可得：|

9、0P。匕；（_3）2+（_4）2=5。设角a的终边与单位圆交于点P（X，y）,分别过点P和P作x0轴的垂线MP,M0P0,则MP=4,MP=-y,Om=3,Om|=-x根据OMPs000TOC o 1-5 h z|0|_OM_|1-V_3_4AAOMP，可得，即，所以，。所以0043y4sni=y=,匚匚违口二疋二一一*tan。设计意图：上述书写过程基本与例1统一，这样可以将该题目的求解思路同化，降低学习难度。（八）回顾小结、建构知识体系要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？设计意图：以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，建构知识体系，优化知识结构，培养认知能力.（九）课后作业、知识拓展拓展1：通过求解例2,你能发现还可以怎么定义任意角的三角函数呢？请阅读教材的旁白。这是三角函数定义的等价定义。（设计意图：培养学生类比、对比解决问题能力。2.