第四角动量守恒五章刚体力学

1、第四角动量守恒五章刚体力学第1页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二一、理解描述刚体定轴转动的物理量：角坐标、角位移、 角速度和角加速度等概念。三、了解转动惯量的概念，理解刚体绕定轴转动的转动定 律，能熟练用其求解定轴转动问题。五、了解角动量概念，理解角动量定理和角动量守恒定律， 并能用其分析有关问题。基 本 要 求 四、理解力矩的功、刚体定轴转动的动能定理。 二、理解力矩的概念，能求解力对固定转轴的力矩第2页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二1. 刚体的平动 连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保持平行。一、刚体的平动和转动 特点: 刚体上所有点的

2、运动轨迹 、 都相同, 可用质点运动来描述。 刚体 说明：1. 刚体是理想模型。2. 在外力的作用下, 其上任意两点 均不发生相对位移。受力而不形变的物体。 5-1 刚体的运动 第3页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二 将刚体的运动看作其质心的平动与相对于通过质心并垂直运动平面的轴的转动的叠加。3. 刚体的一般运动 刚体上各点都绕同一转轴作半径不同的圆周运动， 在相同时间内转过相同的角度。2. 刚体的定轴转动特点： 刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动； 刚体上各点的 均相同。第4页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二二、定轴转动的描述 参考平面 与

3、转轴相垂直的平面。 2. 运动方程 位矢与 ox 轴夹角。 规定： 定轴转动只有两个转动方向 位矢沿ox 轴 逆时针方向转动时角位置 为正， 反之为负。1. 角坐标参考方向参考平面第5页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二5. 角加速度6. 角量与线量的关系4. 角速度 3. 角位移 xO (P.103) xO第6页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二三、力矩 (课本p81) 对于定轴转动, 力矩的方向可用正、负号表示之。 对 O 点力矩: 大小: 方向: 1. 力矩的定义右手法则： 伸出右手 四指垂直拇指,让四指指向 的方向， 经小于 的角度转向 的方

4、向, 拇指指向 的 方向。O和 所决定的平面 第7页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二(3) 合力矩的大小等于各力矩的代数和。 若力F 不在参考平面内, M = ? ？2. 讨论: 例： (4) 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。(1) 与转轴垂直且通过转轴的力不产生力矩。 (2) 与转轴平行的力对转轴不产生力矩。O2dO第8页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二3. 力矩的计算举例例 1：水平桌面上匀质细杆长 l ，质量 m，绕一端垂直轴转动， 已知摩擦系数为 ，求：细杆受的摩擦力矩 Mf 。解： 方向： 第9页，共52页，2022年，5月20日，

5、16点15分，星期二例 2：水平桌面上匀质薄圆盘半径 R ，质量 m ，绕中心垂直轴 转动，已知摩擦系数为 ，求：圆盘受的摩擦力矩 Mf 。解： 选细圆环，半径 r ，宽 dr 方向： 第10页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二四、转动定律 (重点）（课本p100）1. 刚体定轴转动的转动定律2. 转动定律的推导 (5-15) 刚体上任意质元 位矢 合外力 合内力 由牛顿定律:故只列切向分量式：两端同乘 得： 自然坐标系中，法向分力的力矩为零， 第11页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二对组成刚体的所有质元求和得：刚体的合外力矩 合内力矩 = 0由此

6、得出： 其中： 称刚体的 转动惯量 转动定律 (5-15） 两端同乘 得： ( )J第12页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二3. 讨论 均对同一转轴, 具有瞬时性，M 指合外力矩。 转动定律 刚体所受合外力矩 = 刚体转动惯量角加速度。 J 一定，则 ， M 是改变刚体转动状态的原因。 M 一定，则 ，J 是刚体转动惯性大小的量度。 M = 0，则 = 0， = 常量，刚体保持转动状态不变。 M = 常量，则 = 常量，刚体做匀变速转动。 第13页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二五、转动惯量 J 质点组 质量连续分布的刚体 1. J 的计算 单个

7、质点 线分布 面分布 体分布 质量线密度 质量面密度 质量体密度 O第14页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二 刚体的总质量；3. 决定 J 的三个因素 2. J 的单位 转轴的位置。 质量分布； 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡是提到转动惯量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。 结论： J 的意义：刚体转动惯性大小的量度。 第15页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二(1) 转轴过中心与杆垂直 取质元： (2) 转轴过棒一端与棒垂直 5. J 的计算举例 dmdm 课本 P.97 例 5-2 例题1: 计算匀质细杆的 J 。 例题1: 计算匀质细

8、杆的 J 。 第16页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二取质元： Rm其中： 例 题2: 均匀细圆环的 J (质量 m，半径 R，轴过圆心垂直环面)。 dm第17页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二取细圆环 例题3: 匀质薄圆盘的 J (质量 m ，半径 R ，轴过圆心垂直盘面)。 课本 P.98 例 5-3 其中： 第18页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二适用情况: 6. 平行轴定理 说明： 两轴平行； JC 为刚体绕质心轴的转动惯量； d 为两平行轴间的距离。dCACACA(5-7)例：匀质细杆 第19页，共52页，202

9、2年，5月20日，16点15分，星期二 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。 选定转轴正方向, 以确定力矩、角加速度、角速度的正负。 当系统中既有转动物体，又有平动物体时, 用隔离法解题。 对转动物体用转动定律建立方程, 对平动物体则用牛顿定律建立方程。 注意：六、转动定律的应用（重点） 1. 隔离法分析研究对象，建立坐标系。2. 对刚体列转动定律方程，对质点列牛顿定律方程。3. 列出辅助方程。第20页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二解: 隔离法 列出运动方程从以上各式解得 T2T1m1gm2gm2m1辅助方程： T1T2mOm2m1am例题4:一轻绳跨过定滑轮如图所示，

10、绳两端分别悬挂质量为 的物体，且 ，滑轮可视为质量为m半径为R的匀质圆盘，轴处摩擦力矩为 ，绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动，求重物的加速度及绳中的张力。 第21页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二若忽略 Mf ，则： 第22页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二第23页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二前面例题已求出圆盘所受的的摩擦力矩： 解: 设 的方向为正 由转动定律 得： 是匀变速转动， 由 ROm令 得： 例 题5 : 一质量为 m半径为R的匀质圆盘，以角速度 绕垂直于盘面的中心轴旋转，如图所示。今将该圆盘置于水平面上，其

11、间的摩擦系数为 ，问圆盘转动多长时间停止。 第24页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二例 题6: 物理练习二 填空题 1 解: 因为 是变力矩, 与 方向相反。 当 时， 令 得： 由 得： 由 得： 轴转动,转动惯量为 , 在 时角速度为 ,此后飞轮经历制动过程,阻力矩 的大小与角速度 的平方成正比,比例系数 为大于0的常数 ,当 时,飞轮的角加速度 ,从开始制动到 所经历的时间 飞轮绕中心垂直第25页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二练习题：质量为m的物体悬于轻绳的一端，绳绕在一轮轴上，如图所示。轴水平，轮半径为 r，物体由静止释放，在时间 t内

12、下降距离为h，试求整个轮轴的转动惯量J（用 m、 r 、t和h表示） 解：联立（1）（3）解得：代入（4）式得：第26页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二七、力矩的功 （ 课本p98） 反映力矩的空间累积结果。2. 总功： 1. 元功 3. 说明: 恒力矩的功 合外力的功 = 合外力矩的功。 合内力矩的功 = 0。 (5-11) 第27页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二八、刚体的转动动能 (P.94) 刚体分为质元 定轴转动时各质元动能： 刚体的转动动能 = 各质元动能的总和： 刚体的转动动能 1. 是刚体上所有质元动能之和。 特点: (5-5)

13、2. 因转动而存在，可使刚体反抗阻力矩做功。 第28页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二九、刚体定轴转动的动能定理 (P.100) 由转动定律 合外力矩对刚体所做的功 = 刚体转动动能的增量。得 刚体的转动动能定理 (5-14) 第29页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二 说明： 1. 定理描述了力矩作用的空间累积效果,适用于定轴转动的刚体。2. 定轴转动刚体的机械能 = 势能 + 转动动能。（其中 h 为刚体质心到势能零点的垂直高度） 3. 系统 ( 刚体+质点 ) 的动能定理为 4. 系统仅保守力做功 ,机械能守恒。 第30页，共52页，2022

14、年，5月20日，16点15分，星期二解： 前面已求出摩擦力矩 利用转动动能定理求转过的角度。 恒摩擦力矩做负功，固有 即： 得 转过的圈数： 例1 :一质量为m，长为L的匀质细杆，在水平面内绕端点O的铅直轴转动，如图所示，若初始角速度为 ，杆与水平面的摩擦系数为。求（1）细杆所受的摩擦力矩Mf；（2）若细杆只受此摩擦力矩的作用，它转动多少圈能静止？ 第31页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二另解:前面已求出摩擦力矩 利用转动定律求转过的角度,根据转动定律:利用公式:则有:转过的圈数： 第32页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二例题2 课本 P 109

15、 510 解：（1）开始摆动时，重力矩为： 根据转动定律：（2）解法一 取杆为研究对象，外力矩为重力矩，在任意位置总功：根据动能定律：解法二 取杆+地球为系统，系统满足机械能守恒的条件 取竖直位置为势能零点，则有： 第33页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二例题 3 : 在长为l，质量为m的匀质细杆的一端，固定一质量为m的小球，可绕过杆的另一端的水平轴O在竖直面内转动，如图所示，若轴处无摩擦，试求（1）刚体绕轴转动的转动惯量；（2）若由水平位置释放，当杆与竖直方向成 角时的角速度为多大？此时小球的法向加速度为多大？ O解： 由转动动能定理 得 第34页，共52页，2022

16、年，5月20日，16点15分，星期二53 定轴转动刚体的角动量 及守恒定律 一. 质点的角动量 ( 课本P.84) 大小：方向： 右手法则 单位： 注意： 与参考点有关二. 做圆周运动的质点对圆心的角动量 大小： 方向： 角动量 = 转动惯量角速度。 (4-5) 第35页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二刚体角动量： 定轴转动时刚体上各质元绕同一轴做圆周运动，所以 各质元的角动量 可写为：三. 刚体定轴转动的角动量 (课本P.103) 定轴转动刚体的角动量 = 刚体对该轴的转动惯量 角速度。 方向： 大小： 总角动量 注意: 是对同一轴而言。 (5-17)第36页，共52

17、页，2022年，5月20日，16点15分，星期二四、刚体对转轴的角动量定理 (课本P.104) 由转动定律 得 1. 冲量矩 恒力矩冲量矩 变力矩冲量矩 2. 角动量定理 （重点） 角动量定理 系统所受合外力矩的冲量矩 = 系统角动量的增量。 (5-21)力矩与其作用时间的乘积。 第37页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二3. 说明 反映力矩的时间累积效应改变系统角动量。 恒力矩作用的角动量定理： 对定轴转动而言，规定了正方向后角动量定理可写为： 注意： 本身有正有负。 (5) 角动量定理不仅适用于质点、刚体，也适用于非刚体和系统。 (6) 式中所有的角量 ( ) 都是对

18、同一轴而言。 角动量定理 (4) 角动量的变化由 和 两个因素决定。 第38页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二3. 角动量守恒的两种情况： 说明：2. 角动量守恒定律是一条普适定律。五、角动量守恒定律 (重点 p 104） 守恒条件 守 恒 式 或 1. 对质点而言： ，则 刚体定轴转动时,如果 不变, 则 不变； 如果 改变, 则 也改变， = 常量； 或 (5-22) 常矢量。 常矢量 第39页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二mmJ 花样滑冰运动员通过 改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速。人和转盘的转动 第40页，共52页，2022年，5月

19、20日，16点15分，星期二六、碰撞 指相互作用时间极短， 1. 完全弹性碰撞 质点系： 动量守恒，机械能守恒刚体： 角动量守恒，机械能守恒系统： 角动量守恒，机械能守恒2. 非完全弹性碰撞 质点系： 动量守恒刚体： 角动量守恒系统： 角动量守恒3. 完全非弹性碰撞 碰后系统获同一速度或角速度 机械能不守恒！遵守的定律与 2 相同。 第41页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二角动量定理和守恒定律应用举例 例1： 物理练习二 填空题 3 已知： 解： 轮子受恒力矩作用，由角动量定理得： 求：一个能绕固定轴转动的轮子,除受到轴承的恒定摩擦力矩 外,还受到恒定外力矩 的作用,若

20、 ,轮子对固定轴的转动惯量为 ,在 内,轮子的角速度由 增大到 ,则 .第42页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二 一匀质细杆长为 L ，质量为M， 可绕通过O点的水平轴转动，当杆从水平位置自由释放后, 它在竖直位置上与放在光滑水平面的质量为 m 的小滑块相撞 ,碰后m的速度为v.求: 相撞前后杆的角速度。解: 除重力外, 其余内力与外力都不作功， 故机械能守恒： 杆自由摆落的过程。 例题 2 : 有两个物理过程： 得： COMLm第43页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二 碰撞时间极短, 冲力极大, 系统对 O 轴的角动量守恒，设顺时针为正： 碰撞

21、过程 得： 杆以角速度 与滑块 相碰碰后杆的角速度变为 ，滑块获得水平向左的速度 。 0，顺时针； 0，逆时针 COMLm第44页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二例 题3 质量为M ，长 l 的匀质细杆一端悬挂于光滑的O点，质量为 m 的子弹以水平速度 v 从 A 点射入杆并陷入其中，使杆转动的最大角度为 30。已知 OA = l，求：子弹入射速度。解： 两个物理过程 子弹以 v 射入杆内与杆获得共同角速度 ，系统角动量守恒： 杆摆动过程仅重力矩做功，系统机械能守恒： 联立 解得： 30第45页，共52页，2022年，5月20日，16点15分，星期二 例题4: 定轴转动圆盘质量 M，半径 R ，初角速度 0 。一个质量 为 m 的子弹以速度 v 水平射入盘边缘并嵌入盘中，求：(1) 盘获得的角速度；(2) 系统动能的改变；(3) 盘获得的冲量矩。(1) 系统角动量守恒，设逆时