椭圆定义几何性质

1、【授课目的】（1）掌握椭圆的定义2）掌握椭圆的几何性质3）掌握求椭圆的标准方程【授课重难点】（1）椭圆的离心率相关的问题（2）椭圆焦点三角形面积的求法【授课过程】一、知识点梳理知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能获取椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，

2、都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性关于椭圆标准方程，把x换成x，或把y换成y，或把x、y同时换成x、y，方程都不变，因此椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=a和y=b所围成的矩形内，因此椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b。3）极点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的极点。椭圆（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个极点，坐标分别为A1（a，0），A2

3、（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。因为ac0，因此e的取值范围是0e1。e越凑近1，则c就越凑近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越凑近于0，c就越凑近0，从而b越凑近于a，这时椭圆就越凑近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2椭圆的图像中线段的几何特色（以以下图）：1），；2），；3）,，；知识点四：椭圆与（ab0）的差异和联系标准方程图形

4、焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原点对称性质极点，轴长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，注意：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有ab0和，a2=b2+c2；不相同点为两种椭圆的地址不相同，它们的焦点坐标也不相同。二、考点解析考点一：椭圆的定义【例1】方程x22y2x22y210化简的结果是。【例2】已知F(-8，0)，F(8，0)，动点P满足|PF|+|PF|=16，则点P的轨迹为（）1212A圆B椭圆C线段D直线【变式训练】已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为。考点二：求椭圆的标准方程【例3】若椭圆经过点(5，1)，(3，2

5、)则该椭圆的标准方程为。【例4】ABC的底边BC16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和极点A的轨迹【例5】求以椭圆9x25y245的焦点为焦点，且经过点M(2,6)的椭圆的标准方程213，c2。【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且a12的椭圆的标准方程为2、焦点在x轴上，a:b2:1，c6椭圆的标准方程为。3、已知三点P（5，2）、F1（6，0）、F2（6，0），求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；4、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为45和25，过33点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程考点三：利用标准方程确定参

6、数【例6】若方程x2+y2=15kk3（1）表示圆，则实数k的取值是.（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.【例7】椭圆4x225y2100的长轴长等于，短轴长等于,极点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于。【变式训练】1、椭圆x2y21的焦距为2，则m=。4m2、椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么k。考点四：离心率的相关问题一、求离心率1、用定义（求出a,c或找到c/a）求离心率（1）已知椭圆C:x2y21,(ab0)的两个焦点分别为F(1,0),F(1,0),且椭圆Ca2

7、b212经过点P(4,1).则椭圆C的离心率。33（2）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）（3）椭圆（a0）的左、右极点分别是,左、右焦点分别是1，2。若|1|，|12|，bABFFAFFF|FB|成等比数列，则此椭圆的离心率为_.1（4）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线距离为1，则该椭圆的离心率为。2、依照题设条件构造a、c的齐次式方程，解出e。ma2nacpc20mncp(c)20maa（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A.B.C.D.（2）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准

8、方程为x2y21(a0,b0),右焦点为a2b2F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d6d,则椭圆C的离心率为_.21（3）设椭圆的两个焦点分别为，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。二）、求离心率的范围（要点是建立离心率相关不等式）1、直接依照题意建立a,c不等关系求解.（1）椭圆x2y21(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，a2b2若MNF1F2，则该椭圆离心率的取值范围是。（2）已知F1,F2为椭圆x2y21ab0的焦点，B为椭圆短轴上的端点，a2b2uu

9、uruuuur1uuuur2BF1BF2F1F2，求椭圆离心率的取值范围。22、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立a,c不等关系求解设F1，F2分别是椭圆x2y21（ab0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,使22ab线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是。3、利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）（1）椭圆x2y21（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,a2b2则椭圆离心率的取值范围为。（2）已知椭圆x2y21(ab0)右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直a2b2于P

10、A，求椭圆的离心率e的取值范围。（3）椭圆x222y（1ab和圆x2y2ba2b22不相同的交点，求椭圆的离心率的取值范围。考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用22【例14】已知椭圆方程x2y21ab0，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，Pab是椭圆上一点，A1PA2，F1PF2求：F1PF2的面积（用a、b、表示）解析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用S1absinC求面积2【变式训练】1、若P是椭圆x2y21上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260，10064求F1PF2的面积.2、已知P是椭圆x2y21上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若259PF1P

11、F21，则F1PF2的面积为（）|PF1|PF2|2A.33B.23C.3D.33课后作业：一、选择题1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=25，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C线段D直线3已知方程x2y21表示椭圆，则k的取值范围是()1k1kA-1k0Ck0Dk1或k-117、椭圆x2y2=1与椭圆x2y2=(0)有（）3223(A)相等的焦距(B)相同的离心率(C)相同的准线(D)以上都不对18、椭圆x2y21与x2y21（0k9）的关系为（）259925(A)相等的焦距(B)相同的的焦点(C)相同的准线(D)有相等的长轴、短轴二、填空题2、椭圆x2y2

12、1左右焦点为1211169F、F，CD为过F的弦，则CDF的周长为_4、求满足以下条件的椭圆的标准方程长轴长为10，短轴长为6长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)经过点(5，1)，(3，2)5、若ABC极点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，则ABC的重心G的轨迹方程为_6.椭圆x2y21(ab0)的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于Pa2b2点。若F1PF2=60，则椭圆的离心率为_7、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_椭圆方程为_.8已知椭圆的方程为x2y2F1PF260,求PF1F2的面积41，P点是椭圆上的点且39.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F，则满足ABF为等边三角形的椭圆的离心率为1110.椭圆x2y21上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是1003611已知椭圆x2y21(a5)的两个焦点为F1、F2，且F1F28，弦AB过点F1，则a225ABF2的周长。13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为x4,那么这个椭圆的方程为。14、椭圆的两个焦点三均分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e=