2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷28.1 锐角三角函数(一)同步测控优化训练(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷28.1锐角三角函数(一)同步测控优化训练(含答案)28.1锐角三角函数（一）一、课前预习(5分钟训练)图28-1-1-11.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB上有一点B′，B′C′、BC是边AC上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶图28-1-1-12.在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值()A.没有变化B.都扩大5倍C.都缩小5倍D.不能确定3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于()A.B.C.D.二、课中强化(10分钟训练)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB=，则cosA等于()A.B.C.D.2.如果α是锐角,且sinα=,那么cos(90°-α)的值为()A.B.C.D.3.在△ABC中，∠C＝90°，AC=，AB=，则cosB的值为()A.B.C.D.4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=15,则AC=______________.5.如图28-1-1-2,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值.图28-1-1-2三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28-1-1-3,已知菱形ABCD，对角线AC=10cm,BD=6cm,，那么tan等于()A.B.C.D.图28-1-1-3图28-1-1-42.如果sin2α+cos230°=1,那么锐角α的度数是()A.15°B.30°C.45°D.60°3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.4.在Rt△ABC中，斜边AB=,且tanA+tanB=，则Rt△ABC的面积是___________.5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且a=3,c=5,求∠A、∠B的三角函数值.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且b=6,tanA=1,求c.7.如图28-1-1-5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6cm，求AB、AD的长.图28-1-1-58.如图28-1-1-6，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC的值；（2）AD的长.图28-1-1-69.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.图28-1-1-7参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB上有一点B′，B′C′、BC是边AC上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________.图28-1-1-1解析：由相似三角形的判定得△AB′C′∽△ABC，由性质得B′C′∶AB′=BC∶AB，B′C′∶AC′=BC∶AC.答案：△AB′C′∽△ABCBC∶ABBC∶AC2.在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值()A.没有变化B.都扩大5倍C.都缩小5倍D.不能确定解析：三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变.答案：A3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于()A.B.C.D.解析：sinA=,设a=3k,c=5k,∴b=4k.∴sinB=.答案：C二、课中强化(10分钟训练)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB=，则cosA等于()A.B.C.D.解析：tanB=,设b=k,a=2k.∴c=3k.∴cosA=.答案：B2.如果α是锐角,且sinα=,那么cos(90°-α)的值为()A.B.C.D.解析：cos(90°-α)=sinα=.答案：A3.在△ABC中，∠C＝90°，AC=，AB=，则cosB的值为()A.B.C.D.解析：由勾股定理,得BC=，∴cosB=.答案：C4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=15,则AC=______________.解析：∵sinA=,BC=15,∴AB=39.由勾股定理,得AC=36.答案：365.如图28-1-1-2,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值.图28-1-1-2分析：因为三角函数值是在直角三角形中求得，所以构造直角三角形就比较重要,对于等腰三角形首先作底边的垂线.解：过A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=2.在Rt△ADB中，由勾股定理,知AD=，∴sinB=.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28-1-1-3,已知菱形ABCD，对角线AC=10cm,BD=6cm,，那么tan等于()图28-1-1-3A.B.C.D.解析：菱形的对角线互相垂直且平分，由三角函数定义,得tan=tan∠DAC=.答案：A2.如果sin2α+cos230°=1,那么锐角α的度数是()A.15°B.30°C.45°D.60°解析：由sin2α+cos2α=1,∴α=30°.答案：B3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.图28-1-1-4解析：坡度=,所以BC=5，由割补法知地毯长=AC+BC＝7（米）.答案：７米4.在Rt△ABC中，斜边AB=,且tanA+tanB=，则Rt△ABC的面积是___________.解析：∵tanA=,tanB=,且AB2=BC2+AC2,由tanA+tanB=,得+=,即AC·BC=.∴S△ABC=.答案：5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且a=3,c=5,求∠A、∠B的三角函数值.解：根据勾股定理得b=4,sinA=,cosA=，tanA=;sinB=,cosB=，tanB=.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且b=6,tanA=1,求c.解：由三角函数定义知a=btanA，所以a=6，根据勾股定理得c=.7.如图28-1-1-5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6cm，求AB、AD的长.图28-1-1-5解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA=,∴=.∴AB=10.∴AC==8.∴AD=AC-CD=8-6=2.8.如图28-1-1-6，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC的值；（2）AD的长.图28-1-1-6解：（1）∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD＝BC＝2DC.∴tanC=2.（2）∵tanC=2，BE⊥AC,BE=4,∴EC=2.∵BC2=BE2+EC2,∴BC=.∴AD=.9.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.图28-1-1-7解：∵AC2=AB2-BC2,∴AC=.∴tanA=,即山坡的坡度为.28.1锐角三角函数综合训练（检测时间：60分钟满分：100分）班级_______姓名_______得分_______一、选择题（每题3分，共24分）1．计算2sin60°+3tan30°的值为（）A．B．2C．3D．42．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角B的正切值（）A．扩大4倍B．扩大2倍C．保持不变D．缩小4倍3．已知α为锐角，tanα=，则cosα等于（）A．B．C．D．4．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（）A．4.5cm2B．9cm2C．18cm2D．36cm25．Rt△ABC中，∠C=90°，b=5cm，a=12cm，则cosB等于（）A．B．cmC．D．cm6．如图1所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E，反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为（）A．(1)(2)(3)7．如图2所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（）A．1B．C．D．28．如图3，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500m，∠D=55°，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（）A．500sin55°mB．500cos55°mC．500tan55°mD．500cot55°m二、填空题（每题3分，共21分）9．在△ABC中，若│sinA-1│+（-cosB）2=0，则∠C的度数是______．10．在Rt△ABC中，∠A是锐角，则│-sinA│+=______．11．在△ABC中，∠A=90°，设∠B=θ，AC=b，则AB=_____．（用b和θ的三角比表示）12．若tan（x+20°）=，则x=_____．13．锐角α越大，则tanα越_______．（填“大”或“小”）14．等腰三角形△ABC中，AB=AC，底边BC=10，S△ABC=，那么∠A=_____，∠B=______．15．如图所示，在C处测得铁塔AB的塔顶A的仰角为30°，向塔前进10m到达D，在D处测得A的仰角为45°，则铁塔的高为________．三、解答题（55分）16．（8分）计算．（1）2cos60°-sin45°sin60°（2）17．（6分）已知α为锐角，当无意义时，求sin（α+15°）+cos（α-15°）的值．18．（6分）求2sin2α-3sinα+3=0中锐角α的值．19．（11分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，CD是高，BC=10cm，∠B=53°6′，求CD、AC、AB．（精确到1cm）20．（12分）如图所示，等腰梯形ABCD，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8．求：（1）BE的长；（2）∠COE的正切值．21．（2006，北京）（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=45°，BE⊥CD于点E，AD=1，CD=2．求：BE的长．答案:1．B2．C3．A4．B5．C6．C7．B8．B9．60°10．111．cot12．10°13．大14．120°30°15．5（+1）m16．（1）-；（2）-17．18．α=60°19．CD=BC·sinB=10·sin53°6′≈8（cm），AC=BC·tanB=10·tan53°6′=13（cm），AB=≈17（cm）20．（1）由题意知BE=DE，EF⊥BD，∠DBE=∠BDE=45°，∴BD⊥BE，根据等腰梯形性质易求EC=3，∴BE=5（2）tan∠CDE==21．解：过点D作DF∥AB交BC于点F，∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形，∴BF=AD=1，由DF∥AB，得∠DFC=∠ABC=90°，在Rt△DFC中，∠C=45°，CD=2，由cosC=，求得CF=2，∴BC=BF+FC=3，在△BEC中，∠BEC=90°，sinC=，求得BE=．第28章锐角三角函数(§28.1）同步测试（时间45分钟满分100分）班级______________学号姓名____得分____一、选择题（每小题3分，共24分）1．在Rt△ABC中，如果各边的长度都缩小至原来的，那么锐角A的各个三角函数值（）A．都缩小B．都不变C．都扩大5倍D．仅A不变2．如图，菱形ABCD对角线AC＝6，BD＝8，∠ABD＝．则下列结论正确的是（）A．sin＝ B．cos＝C．tan＝D．tan＝3．在Rt△ABC中，斜边AB是直角边AC的3倍，下列式子正确的是（）A．B．C．D．4．已知ΔABC中，∠C＝90，CD是AB边上的高，则CD：CB等于（）A．sinA B．cosAC．tanA D．5．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）A．B．C．D．6．如图，在△EFG中，∠EFG＝90°，FH⊥EG，下面等式中，错误的是（）A．

B．

C．

D．7．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高8．如图，已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4:5，E是AB上的一点，沿CE将ΔEBC向上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，则tan∠DCF等于（）CBAEFD第2题第6题第8题 A． B． C． CBAEFD第2题第6题第8题二、填空题（每小题3分，共30分）9．在中，．则．10．已知∠B是锐角,若,则tanB的值为_______．11．如图表示甲、乙两山坡情况，其中tan_____tanβ，_____坡更陡．（前一空填“>”“<”或“＝”，后一空填“甲”“乙”）12．在Rt△ABC中，若∠C＝900，∠A＝300，AC＝3，则BC＝__________．13．如图，已知的一边与以为直径的相切于点，若，则=．14．先用计算器探究cos21、cos37、cos48的值，在按由小到大的顺序排列应是．ABOC15．已知tan·tan30°＝1，且为锐角，则＝______．ABOC第11题第13题16．若为锐角，化简＝．17．若tan＝1（00≤≤900）则＝．18．把一条长1.35m的铁丝弯成顶角为120°的等腰三角形，则此等腰三角形底边长为______．（精确到0.1m）三、解答题（共46分）19．（6分）△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，试确定△ABC的形状．20．（6分）已知，，求的值．21．（8分）等腰三角形的底边长20cm，面积为cm2，求它的各内角．22．（8分）已知如图3，AB∥DC，∠D＝900，BC＝，AB＝4，＝，求梯形ABCD的面积．第22题第22题23．（8分）在△ABC中，∠A＝1200，AB＝12，AC＝6．求sinB＋sinC的值．（提示：过C点作CE⊥BA交BA的延长线于E，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于D）第23题第23题24．（10分）要求tan30°的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=，∠ABC=30°，∴tan30°=．第24题在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值，请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15°的值．第24题参考答案一、选择题1．B2．D3．D4．B5．B6．C7．D8．A二、填空题9．10．11．＜、乙12．13．14．cos48＜cos37＜cos2115．60°16．1－sin17．18．0.6m三、解答题19．等边三角形20．21．三个内角为30°，30°，120°22．23．24．tan15°=.测试1锐角三角函数定义学习要求理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．课堂学习检测一、填空题1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM于C′点，则△B'AC′∽______，从而，又可得①______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比是一个______值；②______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比也是一个______；③______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比还是一个______．第1题图第2题图2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．①＝______， ＝______；②＝______， ＝______；③＝______， ＝______．3．因为对于锐角α的每一个确定的值，sinα、cosα、tanα分别都有____________与它______，所以sinα、cosα、tanα都是____________．又称为α的____________．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．二、解答题8．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．9．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．综合、运用、诊断10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．11．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，求：AB及OC的长．12．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．13．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．14．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．拓展、探究、思考15．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，按要求填空：(1)∴______；(2)∴b＝______，c＝______；(3)∴a＝______，b＝______；(4)∴______，______；(5)∴______，______；(6)∵3，∴______，______．16．已知：如图，在直角坐标系xOy中，射线OM为第一象限中的一条射线，A点的坐标为(1，0)，以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交y轴于B点，交OM于P点，作CA⊥x轴交OM于C点．设∠XOM＝．求：P点和C点的坐标．(用的三角函数表示)17．已知：如图，△ABC中，∠B＝30°，P为AB边上一点，PD⊥BC于D．(1)当BP∶PA＝2∶1时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1；(2)当BP∶PA＝1∶2时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1．参考答案1．△BAC，AB，AC′．①，对边，斜边，固定；②，邻边，斜边，固定值；③，对边，邻边，固定值．2．①∠A的对边，∠B的对边，②∠A的邻边，∠B的邻边，③∠A的对边，∠B的邻边，3．唯一确定的值，对应，的函数，锐角三角函数．4．5．6．7．8．9．10．11．AB＝2AC＝2AO·sin∠AOC＝24cm，12．13．(1)CD＝AC·sinA＝4cm；(2)(3)14．15．(1) (2)(3) (4)(5) (6)16．P(cos，sin)，C(1，tan)．提示：作PD⊥x轴于D点．17．(1)(2)提示：作AE⊥BC于E，设AP＝2．测试2锐角三角函数学习要求1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．2．初步了解锐角三角函数的一些性质．课堂学习检测一、填空题1．填表．锐角30°45°60°sincostan二、解答题2．求下列各式的值．(1)(2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)3．求适合下列条件的锐角α．(1) (2)(3) (4)4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．5．用计算器求锐角α(精确到1″)．(1)若cosα＝0.6536，则＝______；(2)若tan(2α＋10°31′7″)＝1.7515，则α＝______．综合、运用、诊断6．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，求此菱形的周长．7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ACB的值．8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：(1)∠D及∠DBC；(2)tanD及tan∠DBC；(3)请用类似的方法，求tan22.5°．9．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．10．CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．拓展、探究、思考11．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是上的两点，∠AOD＞∠AOC，求证：(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．12．已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；(2)锐角的21世纪教育网值随角度的增大而______．13．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：(1)sin2A＋cos2A＝1；(2)14．化简：(其中0°＜α＜90°)15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°；③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°；⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°．猜想：若0°＜α≤45°，则sin2α______2sinαcosα．(2)已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H点．在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积S△ABC·S△HBC的值是否随着变化?请说明你的理由．参考答案1．锐角30°45°60°sincostan12．(1)0；(2)(3)(4)3．(1)α＝60°；(2)α＝30°；(3)22.5°；(4)46°．4．(1)0.391；(2)1.423．5．(1)49°11＇11″；(2)24°52＇44″．6．104cm．提示：设DE＝12xcm，则得AD＝13xcm，AE＝5xcm．利用BE＝16cm．列方程8x＝16．解得x＝2．7．提示：作BD⊥CA延长线于D点．8．(1)∠D＝15°，∠DBC＝75°；(2)(3)9．(1)15°；(2)10．提示：作DE∥BA，交AC于E点，或延长AD至F，使DF＝AD，连结CF．11．提示：作CE⊥OA于E，作DF⊥OA于F．(3)增大，(4)减小．12．(2)增大．13．提示：利用锐角三角函数定义证．14．原式15．(1)①～⑥略．sin2α＝2sinαcosα．(2)∴sin2α＝2sinαcosα．16．不发生改变，设∠BAC＝2，BC＝2m，则测试2锐角三角函数学习要求1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．2．初步了解锐角三角函数的一些性质．课堂学习检测一、填空题1．填表．锐角30°45°60°sincostan二、解答题2．求下列各式的值．(1)(2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)3．求适合下列条件的锐角α．(1) (2)(3) (4)4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．5．用计算器求锐角α(精确到1″)．(1)若cosα＝0.6536，则＝______；(2)若tan(2α＋10°31′7″)＝1.7515，则α＝______．综合、运用、诊断6．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，求此菱形的周长．7．已知：如图，在△ABC中，∠B