7圆锥曲线中的热点问题(命题猜想)-2017年高考数学(理)命题猜想与仿真押题含解析-2283

1、学必求其心得，业必贵于专精专题17圆锥曲线中的热点问题（命题猜想）2017年高考数学(理）命题猜想与仿真押题【命题热点打破一】轨迹方程、存在研究性问题例1、【2016高考山东理数】(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y21ab0的离心率22ab是3，抛物线E:x22y的焦点F是C的一个极点.2I）求椭圆C的方程；II）设P是E上的动点，且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同样的两点A，B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.i)求证:点M在定直线上;ii）直线与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2,求S1的最大值及获取最大值

2、时点P的坐标.S2【答案】（）x24y21；（）（i）看法析；（ii）SS1的最2大值为9214,此时点P的坐标为(,)24学必求其心得，业必贵于专精【剖析】（）由题意知a2b23,可得：a2b.a2由于抛物线E的焦点为F(0,21)，因此a1,b21,因此椭圆C的方程为x24y21.2m（)(）设P(m,)(m0),由x22y可得yx，因此直线的斜率为m,因此直线的方程为ym2m(xm),即ymxm2。22设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),联立方程ymxm22x24y21得(4m21)x24m3xm410,由0,得0m25且x1x24m34m2，1因此x0 x1x22m

3、31,24m2将其代入ym2m2mx2得y02(4m21)，由于y01，因此直线OD方程为y1x.x04m4m联立方程y1x，得点的纵坐标为yM1，4mM4xm即点M在定直线y1上.4ymxm2,2学必求其心得，业必贵于专精令得ym2m2x02,因此G(0,2)，又P(m,m2),F(0,12m3,m2)，2),D(1)24m212(4m2因此S11|GF|m1m(m21),241m(2m21)2，S2|PM|mx0|228(4m1)因此S12(4m21)(m21)，S2(2m21)2令221S1(2t1)(t1)11，tm，则S2t2t2t2当11，即t2时，S1获取最大值9，此时m2,知足

4、0，t2S242因此点P的坐标为(2,1)，因此S1的最大值为9，此时点P24S24的坐标为(2,1).【变式研究】椭圆C：错误!错误!1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，过点P(1，错误!)作圆x2y21的切线,切点分别为A，B,直线AB碰巧经过椭圆的右焦点和上顶点(1)求椭圆C的方程;（2）过点Q（5，0）任作素来线l交椭圆C于M，N两点，记错误!错误!，线段MN上的点R知足错误!错误!,求点R的轨迹方程解：（1）设A(x1，y1）,B（x2，y2），则切线PA的方程为x1错误!y11，同理切线PB的方程为x2错误!y21，故学必求其心得，业必贵于专精1直线AB的方程为x2y1.由此

5、得b2，c1,a错误!，因此椭圆C的方程为错误!错误!1.2）方法一:设M（x3，y3）,N（x4，y4)，R（x,y）。由错误!错误!，得（5x3，y3)（x45，y4），得错误!由于点M，N在椭圆C上，因此错误!因此错误!2第二个等式两边同乘，两式相减得x43错误!.由MR，错误!，得(xx3，yy3）4(xx，y4y），即xx34(xx），即(1）xx3x42x45（1）.把代入得（1)x1，依照已知1，因此x1。由错误!解得y错误!。因此点R的轨迹方程为x1(错误!y5，因此错误!b0）经过点(1，错误!),离心率为错误!,过椭圆右极点的两条斜率之积为错误!的直线分别与椭圆交于点M，N

6、.(1)求椭圆C的标准方程（2）直线MN可否过定点D？若过,求出点D的坐标；若可是,请说明原因解：(1）由e错误!错误!以及错误!错误!1，且a2b2c2,解得a24,b21，因此椭圆C的方程为错误!y21。（2)方法一：直线MN恒过定点D（0，0）.证明以下:设右极点为A（2,0），依照已知得直线AM，AN的斜率存在且不为零.设AM：yk（x2），代入椭圆方程，得（14k2）x216k2x16k240，设M（x1，y1），则2x1错误!，即x1错误!，y1k（x12）错误!，即M错误!.设直线AN的斜率为k，则kk错误!,即k错误!，把点M坐标中的k代替为错误!，得N错误!。当M，N的横坐标

7、不相等，即k错误!时，kMN错误!，直线MN的方程为y错误!错误!（x错误!）,即y错误!x,该直线恒过定点（0,0）。当k错误!时，M，N的横坐标为零，直线MN也过定点（0,0).综上可知，直线MN过定点D（0,0）。学必求其心得，业必贵于专精由于AM,AN的斜率之积为负值，故点M，N在椭圆上位于x轴的两侧，直线MN与x轴的交点必然在椭圆内部，而当m2k时，直线ykx2k过定点(2，0），这是不能能的。当MN的斜率不存在时，点M，N对于x轴对称，此时AM，AN的斜率分别为一错误!,错误!，此时M，N恰为椭圆的上下极点，直线MN也过定点（0，0)。综上可知，直线MN过定点D(0，0）.【特别提

8、示】证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，依照方程的成立与参数值没关得出关于x，y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点【变式研究】已知椭圆C：错误!错误!1(ab0)的左焦点是F(1,0），上极点是B，且|BF|2，直线yk(x1)与椭圆C订交于M，N两点（1)求椭圆C的标准方程;学必求其心得，业必贵于专精(2)若在x轴上存在点P,使得错误!错误!与k的取值没关，求点P的坐标解：(1）由于椭圆C的左焦点是F(1，0)，且|BF|2，因此c1，a2,因此由a2b2c2,得b23，因此椭圆C的标准方程是错误!错误!1.(2）由于直线yk（x1）与椭圆C订交于M，N两点，

9、联立错误!消去y，得（34k2）x28k2x4k2120，144k21440。设M(x1，y1），N（x2，y2），P(x0，0）,则x1x2错误!，x1x2错误!.错误!错误!(x1x0，y1）（x2x0，y2）（x1x0）(x2x0）y1y2x1x2x0（x1x2）x错误!k2（x11）（x21)（1k2）x1x2（k2x0）(x1x2）k2x错误!（1k2）错误!（k2x0)错误!k2x错误!错误!x错误!错误!x错误!，若错误!错误!与k的取值没关，则只要错误!错误!,解得x0错误!，因此在x轴上存在点P，使得错误!错误!与k的取值没关，的坐标为错误!.【特别提示】定值问题就是证明一个

10、量与其他的变化因素没关,这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可学必求其心得，业必贵于专精能是动点的坐标等,这类问题的一般解法是用变化的量表达求证目标,经过运算求证目标的取值与变化的量没关当使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意成立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题来解决【命题热点打破三】圆锥曲线中的范围与最值问题例3.【2016高考天津理数】(本小题满分14分）设椭圆x2y21（a3)的右焦点为F，右极点为A，已知2a3113e，其中O为原点，为椭圆的离心率。|OF|OA|FA|(）求椭圆的方程；(）设过点A的直线与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于的直线与

11、交于点M，与y轴交于点H,若BFHF,且MOAMAO，求直线的斜率的取值范围.【答案】（）x2y21（）(,66,)4344【剖析】（)解:设F(c,0)，由113e，即113c，|OF|OA|FA|caa(ac)可得a2c23c2，又a2c2b23,因此c21,因此a24，因此椭圆的方程为x2y21.43（）解：设直线的斜率为k（k0）,则直线的方程为yk(x2).设B(xB,yB)，由方程组x2y21，消去y，整理得43yk(x2)学必求其心得，业必贵于专精(4k23)x216k2x16k2120。解得x2,或x8k26，由题意得xB8k26，进而yB12k。4k234k24k233由（）

12、知，设H)，有FHH，94k212k。F(1,0)H(0,y(1,y)BF(,)由，得，因此4k2912kyH，解得94k2BFHFBFHF04k234k230yH12k.因此直线MH的方程为y1x94k2.k12k设M(xM,yM),由方程组y194k229。kx12k消去y，解得xM20k2yk(x2)12(k1)在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yM2xM2yM2，化简得xM1，即20k291，解得k6或k6。212(k1)44因此，直线的斜率的取值范围为(,66,).44【变式研究】已知圆心在x轴上的圆C过点(0，0)和（1，1）,圆D的方程为(x4)2y24。1）

13、求圆C的方程;2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点,求|AB的取值范围学必求其心得，业必贵于专精(2）设圆D上的动点P的坐标为（x0,y0），则(x04）2y错误!4,即y错误!4（x04)20,解得2x06.设点A（0，a）,B（0,b）,则直线PA：ya错误!x，即（y0a)xx0yax00.由于直线PA与圆C相切,因此错误!1，化简得（x02）a22y0ax00。同理得（x02）b22y0bx00.由知a，b为方程（x02）x22y0 xx00的两根,则错误!因此AB|ab|错误!错误!错误!.由于y错误!4（x04）2，因此|AB2错误!错误!2错误!错误!.令t

14、错误!,由于2x06，因此错误!t错误!，因此|AB2错误!错误!2错误!错误!,学必求其心得，业必贵于专精因此当t错误!时，|ABmax错误!；当t错误!时,ABmin2。因此AB|的取值范围为错误!.【特别提示】剖析几何中产生范围的有以下几种情况：1)直线与曲线订交（鉴别式）；（2)曲线上点的坐标的范围；(3）题目中要求的限制条件这些产生范围的情况可能同时出现在一个问题中，在解题时要注意全面掌握范围产生的原因【变式研究】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：错误!错误!1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2，上极点为B，BF2的延伸线交椭圆于点A，ABF1的周长为8,且错误!错误!0.(1）

15、求椭圆的方程；（2)过点P（1，0)的直线l与椭圆C订交于M，N两点,点T（4，3),记直线TM,TN的斜率分别为k，k，当kk1212最大时，求直线l的方程解:（1)由椭圆定义得ABF1的周长为4a，因此4a8，a2。由于错误!错误!0，因此F1BF2B，F1BF2为等腰直角三角形，因此bc错误!a错误!,因此椭圆的方程为错误!错误!1。（2）当直线l的斜率为0时,取M(2，0)，N（2，0)，3k1k242错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为xmy1，代入椭圆方程得（m22）y22my30，则4m212（m22）0.设M（x1，y1),N(x2，

16、y2），则y1y2错误!，y1y2错误!，x1my11，x2my21。k1k2错误!错误!错误!错误!错误!错误!.令t4m1,则k1k2错误!错误!.当t0时,错误!错误!0；2t当t0时，t22t25错误!错误!，当且仅当t5,即m时等号成立。3综上可知，当m1时，k1k2获取最大值4错误!1，此时直线l的方程为xy1，即xy10.【特别提示】剖析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法几何法是依照已知几何量之间的互有关系，利用平面几何和剖析几何知识解决问题的方法（如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光芒反射问题等)；代数法是成立求解目标对于某个(或两个)变量的函数，经过求解函数的最

17、值（一般方法、基本不等式方法、导数方法等）解决问题的方法【命题热点打破四】向量、圆锥曲线性质、点线距与基本不等式问题学必求其心得，业必贵于专精例4、已知抛物线y242x的焦点为椭圆错误!错误!1（ab0)的右焦点F2，且椭圆的长轴长为4,左、右极点分别为A，B，经过椭圆左焦点F1的直线l与椭圆交于C，D（异于A，B）两点（1)求椭圆的标准方程(2）求四边形ADBC的面积的最大值(3）若M（x1，y1)，N(x2，y2）是椭圆上的两动点,且知足x1x22y1y20，动点P知足错误!错误!2错误!(其中O为坐标原点),可否存在两定点G1，G2使得|PG1|PG2|为定值？若存在，求出该定值;若不存

18、在，说明原因2解：(1）由题设知,由于抛物线y4错误!x的焦点为因此椭圆中的c错误!,又由椭圆的长轴长为4，得a2，因此b2a2c22，因此椭圆的标准方程为错误!错误!1.2）方法一：A（2，0），B(2，0），F1（错误!，0），显然直线l的斜率不为零，设l:xmy错误!，代入椭圆方程得（m22）y22错误!my20。设C（x3，y3），D（x4,y4），则有y3y4错误!，y3y4错误!。S四边形ADBCSABCSABD错误!ABy3错误!AB|y4|错误!ABy3y4错误!4错误!2学必求其心得，业必贵于专精错误!错误!错误!4，当且仅当错误!错误!，即m0时等号成立.故四边形ADBC的

19、面积的最大值为4.方法二：易知A（2，0），B(2，0），F1（2，0)，当直线l的斜率不存在时，的方程为x错误!,此时S四边形ADBC4。当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk(x错误!）（其中k0），即x错误!y错误!，代入椭圆方程得（2k21）y22错误!ky2k20，设C（x3，y3），D（x4,y4），则有y3y4错误!，y3y4错误!.S四边形ADBCSABCSABD错误!ABy3错误!AB|y4|错误!AB|y3y4|错误!4错误!2错误!错误!错误!4.综上所述，四边形ADBC的面积的最大值为4.(3）设P（x，y），由于M(x1，y1），N（x2，y2），由错误!错误!2错误

20、!,可得错误!由于M,N是椭圆上的点,因此x2，12y错误!4，x错误!2y错误!4。由及x1x22y1y20可得x22y2（x12x2）22(y12y2）2（x错误!2y错误!）4(x错误!2y错误!）20，x2因此x22y220，即20错误!1，即为点P的轨迹方程，由椭圆的定义可得,存在两定点G1，G2使得PG1PG2|4错误!。学必求其心得，业必贵于专精【易错提示】（1)错用圆锥曲线中系数的意义,如误以为长轴长就是a,焦距就是c；（2)忽略特别情况，如使用直线的斜率时，忽略直线的斜率可能不存在；（3）不能够正确地把几何条件(一般的几何条件、向量式表达的几何条件）转变为以坐标、方程表达的代

21、数条件；（4）运算错误【变式研究】已知椭圆C：错误!错误!1（ab0）的离心率为错误!，椭圆的短轴端点与双曲线错误!x21的焦点重合，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆C订交于A，B两点（1）求椭圆C的方程；(2）求错误!错误!的取值范围解：（1）由题意知e错误!错误!,e2错误!错误!错误!，得a2错误!b2.又双曲线的焦点坐标为(0，错误!），b3，a24，b23,因此椭圆的方程为错误!错误!1。学必求其心得，业必贵于专精【高考真题解读】1。【2016高考天津理数】(本小题满分14分）x2y2（）的右焦点为,右极点为，已知设椭圆a231a3FA113e,其中O为原点，为椭圆的离心

22、率。|OF|OA|FA|(）求椭圆的方程；（）设过点A的直线与椭圆交于点B（B不在x轴上）,垂直于的直线与交于点M,与y轴交于点H，若BFHF,且MOAMAO,求直线的斜率的取值范围。【答案】（）x2y21(）(,66,)4344【剖析】（)解:设F(c,0)，由113e，即113c，|OF|OA|FA|caa(ac)可得a2c23c2，又a2c2b23，因此c21，因此a24，因此椭圆的方程为x2y21.43（)解:设直线的斜率为k（k0），则直线的方程为yk(x2)。设B(xB,yB),由方程组x2y21,消去y，整理得43yk(x2)(4k23)x216k2x16k2120。解得x2,或

23、x8k26，由题意得xB8k26，进而yB12k.4k234k234k23由（）知，F(1,0),设H(0,yH)，有FH(1,yH)，BF(94k2,12k)。4k234k23HF,得BFHF0,因此4k2912kyH94k2由BF4k234k230，解得yH12k.学必求其心得，业必贵于专精因此直线的方程为194k2MHyx设M(xM,yM)，由方程组y194k229.kx12k消去y，解得xM20k2yk(x2)12(k1)在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yM2xM2yM2，1，即20k26或k6.化简得xM291，解得k12(k1)44因此，直线的斜率的取值范围为

24、(,66,).442。【2016高考新课标3理数】已知抛物线C:y22x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P，Q两点（I）若F在线段AB上,R是PQ的中点，证明ARFQ;(II）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】（）看法析;（)y2x1（）设与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF1baFD1bax11,SPQFab.2222学必求其心得，业必贵于专精11ab（舍去），x11.由题设可得2bax122，因此x10设知足条件的AB的中点为E(x,y)。当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得a2bxy1(x1)。而2by，

25、因此y2x1(x1)。a当AB与x轴垂直时，E与D重合，因此，所求轨迹方程为y2x1。.12分3.【2016高考浙江理数】(此题满分15分）如图，设椭2圆x2y21（a1）.aI）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；（II)若随意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I）【剖析】2a2k21k2；（II）0e22k1a2ykx1（）设直线ykx1被椭圆截得的线段为AP,由x2a2y21学必求其心得，业必贵于专精得1a2k2x22a2kx0,2故x10，x22a2k21ak因此AP2x12a2k21kx22k21k1a（）假定圆与椭

26、圆的公共点有个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同样的点P,Q，知足APAQ记直线AP，AQ的斜率分别为k1,k2，且k1，k20，k1k2由（AP2a2k11k12，AQ2a2k21k22，)知，1a2k121a2k222a2k11k122a2k21k22故1a2k121a2k22，因此k12k221k12k22a22a2k12k220由于k1k2，k1，k20得1k12k22a22a2k12k220，因此(121)(121)1a2(a22)，kk21由于式对于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1,因此a2因此，随意以点A0,1为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为1a

27、2,由eca21得，所求离心率的取值范围为0e2aa24。【2016高考新课标2理数】已知椭圆E:x2y21的焦点t3在轴上，A是E的左极点，斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上，MANA学必求其心得，业必贵于专精（）当t4,|AM|AN|时，求AMN的面积；(）当2AMAN时，求k的取值范围【答案】（）144；（）32,2.49（）由题意t3,k0,At,0.将直线AM的方程yk(xt)代入x2y21得t33tk2x22ttk2xt2k23t0.由x1tt2k2tk23t得x1t3tk22，故33tkk26t1k2AMx1t13tk2.由题设,直线AN的方程为y1xt，故同理可

28、得kAN6kt1k2，3k2t由2AMAN得2k，即k32t3k2k1.3tk23k2t当k32时上式不能立，因此3k2k1.t3等价于k32k2k2k2k210，tk2。由此得k20，或k20，解得32k2.即30k32k32k200因此的取值范围是32,2.学必求其心得，业必贵于专精5.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C：x2y21(ab0)的离心率为3，A(a,0)，22ab2B(0,b)，O(0,0)，OAB的面积为1。(1)求椭圆C的方程；（2)设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：ANBM为定值.2【答案】（1）xy21;（2）

29、详看法析。4【剖析】c3,a2（）由题意得1ab1,解得a2,b1.2b2c2,a2因此椭圆C的方程为x2y21。4()由（）知，A(2,0),B(0,1)设P(x0,y0)，则x024y024.当x00时,直线PA的方程为yy0(x2)。x02令x0,得yM2y0，进而BM1yM12y0。x02x02直线PB的方程为yy01x1。x0令y0,得xNx0，进而AN2xN2x0.y01y01学必求其心得，业必贵于专精因此ANBM2x02y0y011x02x024y024x0y04x08y044x0y04x08y08x0y0 x02y02x0y0 x02y024。当x00时,y01，BM2,AN2

30、,因此ANBM4。综上，ANBM为定值.6.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E：x2y21(ab0)的两个焦点与短轴的一个端a2b2点是直角三角形的三个极点，直线l:yx3与椭圆E有且只有一个公共点T。（)求椭圆E的方程及点T的坐标；（）设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同样的两点A、B，且与直线l交于点P证明：存2PAPB,并求的值.在常数，使得PT【答案】（）x2y21,点T坐标为（2，1)；（）4。635【剖析】（I）由已知，a2a2(2c)2，即a2c,因此a2b，221.则椭圆E的方程为x2y22bbx2y21,由方程组2b2b2得3x212x(1

31、82b2)0。yx3,方程的鉴别式为=24(b23),由=0,得b2=3，此方程的解为x=2,学必求其心得，业必贵于专精因此椭圆E的方程为x2y21。63点T坐标为（2，1）.（II）由已知可设直线的方程为y1xm(m0)，21x，x22m，有方程组ym可得322myx，y因此P点坐标为（22m,138m2.2m),PT2339设点A，B的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)。x2y21，由方程组63可得3x24mx(4m212)0.1xm，223232方程的鉴别式为=16(92m)，由0，解得2m2.由得x1x2=4m,x1x24m212。33因此同理PA(22mx1)2(12my1

32、)2522mx1，3323PB522mx2，23因此PAPB5(22mx1)(22mx2)4335(22m)2(22m)(x1x2)x1x24335(22m)2(22m)(4m)4m2124333310m2。9故存在常数42PAPB。，使得PT57.【2016高考上海理数】此题共有2个小题，第1小题学必求其心得，业必贵于专精满分6分，第2小题满分8分.y2双曲线x2b21(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线过F2且与双曲线交于A、B两点。（1）若的倾斜角为，F1AB是等边三角形，求双曲线的2渐近线方程；2）设b3，若的斜率存在，且(F1AF1B)AB0，求的斜率.【答案】(1）y2x（2

33、）15。5【剖析】（1）设x,y由题意，F2c,0，c1b2,y2b2c21b4，由于1是等边三角形，因此2c3y,F即41b23b4，解得b22故双曲线的渐近线方程为y2x(2)由已知，F12,0，F22,0设x1,y1,x2,y2，直线l:ykx2显然k022y1，得k2由x33x24k2x4k230ykx2由于与双曲线交于两点，因此k230，且361k20设的中点为x,y由(F1AF1B)AB0即F10,知1，故kF1k1F而xxx2k2，y6k，kF13k，122kx2222kk2k333学必求其心得，业必贵于专精因此3kk1，得k23,故的斜率为152k2535x21(2015浙江，

34、19)已知椭圆2y21上两个不同样的点A，B对于直线ymx错误!对称1)求实数m的取值范围；2)求AOB面积的最大值（O为坐标原点）解(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为y错误!xb。由错误!消去y，得错误!x2错误!xb210.由于直线y错误!xb与椭圆错误!y21有两个不同样的交点,因此2b22错误!0,将AB中点M错误!代入直线方程ymx错误!解得bm222m2由得m错误!或m错误!.2）令t错误!错误!错误!，则ABt21错误!.且O到直线AB的距离为d错误!。设AOB的面积为S(t），因此S（t）错误!ABd错误!错误!错误!.当且仅当t2错误!时,等号成立故AOB面积的最大值为

35、错误!。学必求其心得，业必贵于专精2（2015江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆错误!错误!1(ab0)的离心率为错误!，且右焦点F到左准线l的距离为3。（1）求椭圆的标准方程;(2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直均分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB,求直线AB的方程解（1)由题意,得错误!错误!且c错误!3，解得a2,c1,则b1，因此椭圆的标准方程为错误!y21.(2）当ABx轴时,AB错误!，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk（x1),A（x1，y1），B(x2,y2），将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2）x2

36、4k2x2(k21)0,则x1，2错误!，C的坐标为错误!，且AB错误!错误!错误!。若k0，则线段AB的垂直均分线为y轴，与左准线平学必求其心得，业必贵于专精行，不合题意进而k0，故直线PC的方程为y错误!错误!错误!，则P点的坐标为错误!，进而PC错误!.由于PC2AB，2(3k21)1k2因此|k（12k2）错误!，解得k1。此时直线AB的方程为yx1或yx1.3(2015天津，19)已知椭圆错误!错误!1（ab0）的左焦点为F（c，0），离心率为错误!，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2错误!截得的线段的长为c，|FM错误!。1）求直线FM的斜率;2）求椭圆的方程;3)设

37、动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于错误!，求直线OP(O为原点）的斜率的取值范围学必求其心得，业必贵于专精（2）由(1)得椭圆方程为错误!错误!1，直线FM的方程为y错误!（xc),两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得x错误!c，或xc.由于点M在第一象限，可得M的坐标为错误!.由|FM错误!错误!.解得c1，因此椭圆的方程为错误!错误!1。(3）设点P的坐标为（x，y）,直线FP的斜率为t，得t错误!，即yt(x1）(x1），与椭圆方程联立错误!消去y，整理得2x23t2（x1)26，又由已知，得t错误!错误!,解得错误!x1，或1x0。y设直线OP的斜率为m，得mx，即

38、ymx(x0），与椭圆方程联立，整理得m2错误!错误!.因此m0，于是m错误!，得m错误!。当x（1，0）时，有yt（x1)0.因此m0，于是m错误!，得m错误!.综上，直线OP的斜率的取值范围是错误!错误!。4（2015四川，20)如图，椭圆E:错误!错误!1（ab0)的离心率是错误!,过点P（0,1)的动直线l与椭圆订交于A，B两点,当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得学必求其心得，业必贵于专精的线段长为2错误!。（1）求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，可否存在与点P不同样的定点Q,使得错误!错误!恒成立?若存在，求出点Q的坐标；若不存在,请说明原因解(1）由已知，点(错

39、误!,1)在椭圆E上,因此错误!解得a2，b错误!,因此椭圆E方程为错误!错误!1。（2）当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆订交于C、|QC|PC两点，若是存在定点Q知足条件,则有QD|PD|1，即QC|QD,因此Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0），当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆订交于M，N两点，则M，N的坐标分别为（0,错误!),(0，错误!),由错误!错误!，有错误!错误!，解得y01，或y02，因此，若存在不同样于点P的定点Q知足条件，则Q点坐标只可能为(0，2）,下面证明：对随意直线l，均有错误!错误!，学必求其心得，业必贵于专精当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成

40、立,当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为ykx1，A、的坐标分别为（x1，y1），（x2,y2），联立错误!得（2k21）x24kx20，其鉴别式（4k)28（2k21)0,因此x1x2错误!,x1x2错误!，因此错误!错误!错误!2k，易知，点B对于y轴对称的点B的坐标为(x2，y2）,又kQA错误!错误!k错误!,kQB错误!错误!k错误!k错误!，因此kQAkQB，即Q，A，B三点共线，因此错误!错误!错误!错误!，故存在与P不同样的定点Q（0，2)，使得错误!错误!恒成立5（2015山东，20）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!错误!1(ab0)的离心率为错误!，左、右焦点分别是F1，F2。以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆订交，且交点在椭圆C上(1）求椭圆C的方程;（2）设椭圆E:错误!错误!1，P为椭圆C上随意一点,过学必求其心得，业必贵于专精点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点,射线PO交椭圆E于点Q。(）求错误!的值；（)求ABQ面积的最大值解(1）由题意知2a4，则a2，又错误!错误!，a2c2b2，可得b1，因此椭圆C的方程为错误!y21。（）设A(x1，y1）,B（x2,y2)将ykxm代入椭圆E的方程,可得(14k2）x28kmx4m2160，由0，