高中数学圆的方程课件

1、第三节圆 的 方 程 第三节高中数学圆的方程课件【教材基础回顾】1.圆的方程标准方程(x-a)2+(y-b)2= r2(r0)圆心_半径为_一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0条件:_圆心:_ 半径:_ (a,b)rD2+E2-4F0【教材基础回顾】标准方程(x-a)2+(y-b)2= r2(2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系(1)点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2_r2.(2)点M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2_r2.(3)点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2_r2. =

2、0.2.解决与圆上点(x,y)有关的最值问题:转化为与圆心有关的最值问题. 【金榜状元笔记】【教材母题变式】1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)【解析】选D.圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3).【教材母题变式】2.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=42.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x

3、+y-【解析】选C.设圆心C的坐标为(a,b),半径为r,因为圆心C在直线x+y-2=0上,所以b=2-a.因为|CA|2=|CB|2,所以(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2.所以a=1,b=1.所以r=2.所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.【解析】选C.设圆心C的坐标为(a,b),半径为r,因为圆心3.(2016全国卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0 的距离为1,则a=() 3.(2016全国卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=

4、4,故圆心为(1,4),d= 解得a=- .【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程4.ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),则其外接圆的方程为_.4.ABC的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2)【解析】方法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则根据题意得故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.答案:x2+y2-4x-2y-20=0.解得【解析】方法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=方法二:由题意可求得线段AC的中垂线方程为x=2,线段BC的中垂线方程为x+y-3=0,所以圆心是两中垂线的交点

5、(2,1),半径r= 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25,即x2+y2-4x-2y-20=0.答案:x2+y2-4x-2y-20=0 方法二:由题意可求得线段AC的中垂线方程为x=2,线段【母题变式溯源】题号知识点源自教材1圆的几何要素P124A组T12圆的标准方程P120例33圆的应用P107例54圆的方程P119例2【母题变式溯源】题号知识点源自教材1圆的几何P124A组2考向一 求圆的方程【典例1】(1)圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=4

6、考向一 求圆的方程(2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程为_.(2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B【解析】(1)选A.根据题意可设圆的方程为x2+(y-b)2=1,因为圆过点A(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.【解析】(1)选A.根据题意可设圆的方程为x2+(y-b)2【巧思妙解】选A.因为圆心在y轴上,所以排除C;因为半径长为1,所以排除D;把点A的坐标代入方程知A选项成立.【巧思妙解】选A.因为圆心在y轴上,所以排除C;因为半径长为(2)设点C为圆心,因为点C在

7、直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,即 (2)设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r= ,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.答案:(x+1)2+(y+2)2=10解得a=-2,【一题多解微课】本例题(2)还可以采用以下方法求解:方法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得 【一题多解微课】本例题(2)还可以采用以下方法求解:解得a=-1,b=-2,r2=10,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.答案

8、:(x+1)2+(y+2)2=10解得a=-1,b=-2,r2=10,方法二:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为 ,由题意得 方法二:解得D=2,E=4,F=-5.故所求圆的方程为x2+y2+2x+4y-5=0.答案:x2+y2+2x+4y-5=0解得D=2,E=4,F=-5.故所求圆的方程为x2+y2+2【技法点拨】1.求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.【技法点拨】(2)待定系数法:根据题意,选择标准方程与一般方程;根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方

9、程.(2)待定系数法:2.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.提醒:解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.2.确定圆心位置的方法【同源异考金榜原创】1.圆心在x轴上,半径长为2,且过点A(2,1)的圆的方程是()A.(x-2- )2+y2=4 B.(x-2+ )2+y2=4C.(x-2 )2+y2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=4【同源异考金榜原创】【解析】选C.根据题意可设圆的方程为(x-a)2+y2=4,因为圆过点A(2,1),所以(2-a)2+12=4,解得a=2 ,

10、所以所求圆的方程为(x-2 )2+y2=4.【解析】选C.根据题意可设圆的方程为(x-a)2+y2=4,2.与x轴切于原点且过点(2,1)的圆的方程是_.2.与x轴切于原点且过点(2,1)的圆的方程是_【解析】设圆心坐标为(0,r),则方程为x2+(y-r)2=r2,代入点的坐标求得r= ,所以圆的方程为x2+ 答案:x2+ 【解析】设圆心坐标为(0,r),则方程为x2+(y-r)2=考向二 与圆有关的轨迹问题【典例2】(1)(2018贵阳模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P的轨迹方程为_.考向二 与圆有关的轨迹问题(2)在平面直角坐

11、标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2 ,在y轴上截得线段长为2 .世纪金榜导学号12560259求圆心P的轨迹方程;若P点到直线y=x的距离为 ,求圆P的方程.(2)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段【解析】(1)设P(x,y),圆心C(1,1).因为P点是过点A的弦的中点,所以 又因为 =(2-x,3-y), =(1-x,1-y).所以(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0.所以P点的轨迹方程为 答案: 【解析】(1)设P(x,y),圆心C(1,1).【一题多解】本题还可以采用以下方法:由已知得,PAPC,所以由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上,圆心C(1,

12、1),而AC中点为 ,|AC|= 所以半径为 .所求动点P的轨迹方程为 答案: 【一题多解】本题还可以采用以下方法:(2)设P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r2,所以y2+2=x2+3,即y2-x2=1.所以P点的轨迹方程为y2-x2=1;设P的坐标为(x0,y0),则 即|x0-y0|=1.所以y0=x01.当y0=x0+1时,由y02-x02=1,得(x0+1)2-x02=1,所以 所以r2=3,(2)设P(x,y),圆P的半径为r,则y2+2=r2,x所以圆P的方程为x2+(y-1)2=3;当y0=x0-1时,由y02-x02=1,得(x0-1)2-x02=1,

13、所以 所以r2=3,所以圆P的方程为x2+(y+1)2=3.综上所述,圆P的方程为x2+(y1)2=3.所以圆P的方程为x2+(y-1)2=3;【误区警示】在求与圆有关的轨迹方程时,一定要做到该分类讨论的要分类讨论,该舍去的点一定要舍去.【误区警示】在求与圆有关的轨迹方程时,一定要做到该分类讨论的【一题多变】若将本例(1)中点A(2,3)换成圆上的点B(1,4),其他条件不变,则这些弦的中点P的轨迹方程为_.【一题多变】若将本例(1)中点A(2,3)换成圆上的点B(1【解析】设P(x,y),圆心C(1,1).当点P与点B不重合时,因为P点是过点B的弦的中点,所以 又因为 =(1-x,4-y),

14、 =(1-x,1-y).所以(1-x)(1-x)+(4-y)(1-y)=0.所以点P的轨迹方程为(x-1)2+ 【解析】设P(x,y),圆心C(1,1).当点P与点B不重合当点P与点B重合时,点P满足上述方程.综上所述,点P的轨迹方程为(x-1)2+ 答案:(x-1)2+ 当点P与点B重合时,点P满足上述方程.【技法点拨】与圆有关的轨迹问题的四种求法【技法点拨】【同源异考金榜原创】1.以线段AB:x+y-2=0(0 x2)为直径的圆的方程为()A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=8D.(x-1)2+(y-1)2=8【同源异考金榜原

15、创】【解析】选B.直径的两端点分别为(0,2),(2,0),所以圆心为(1,1),半径为 ,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.【解析】选B.直径的两端点分别为(0,2),(2,0),2.已知过A(0,1)和B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个,求a的值及圆的方程.世纪金榜导学号125602602.已知过A(0,1)和B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为点A,B在此圆上,所以E+F+1=0,4D+aE+F+a2+16=0,又知该圆与x轴(直线y=0)相切,所以由=0D2-4F=0,【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey

16、+F=0,由,消去E,F可得: (1-a)D2+4D+a2-a+16=0,由题意方程有唯一解,当a=1时,D=-4,E=-5,F=4;当a1时由=0可解得a=0,这时D=-8,E=-17,F=16.综上可知,所求a的值为0或1,当a=0时圆的方程为x2+y2-8x-17y+16=0;当a=1时,圆的方程为x2+y2-4x-5y+4=0.由,消去E,F可得: (1-a)D2+4D+a2-考向三 与圆有关的最值问题 高频考点考向三 与圆有关的最值问题 高频考点【典例3】(1)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则世纪金榜导学号12560261 的最大值为_;y-x的最大值和最小值分别为

17、_;x2+y2的最大值和最小值分别为_.【典例3】(1)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=(2)(2018厦门模拟)设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则 的最大值为_.世纪金榜导学号12560262(2)(2018厦门模拟)设点P(x,y)是圆:x2+(y【解析】(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心, 为半径的圆. 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设 =k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时(如图),斜率k取最大值或最小值,此时 ,解得k= .所以 的最大值为 .【解析】(1)原方程可化为(

18、x-2)2+y2=3,表示以(2答案: 答案: y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时 = ,解得b=-2 ,所以y-x的最大值为-2+ ,最小值为-2- . y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示,当答案:-2+ ,-2- 答案:-2+ ,-2- 方法一:x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2.所以x2+y2的最大值是(2+ )2=7+4 ,x2+y2的最小值是(2- )2=7-4 .方法一:x2+y2表示圆

19、上的一点与原点距离的平方,由方法二:由x2+y2-4x+1=0,得(x-2)2+y2=3.设 (为参数),则x2+y2=(2+ cos )2+( sin )2=7+4 cos .所以当cos =-1时,(x2+y2)min=7-4 ,当cos =1时,(x2+y2)max=7+4 .答案:7+4 ,7-4 方法二:由x2+y2-4x+1=0,得(x-2)2+y2=3(2)由题意,知 =(2-x,-y), =(-2-x,-y),所以 =x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以 =-(y-3)2+1+y2-4=6y-12

20、.易知2y4,所以,当y=4时, 的值最大,最大值为64-12=12.答案:12(2)由题意,知 =(2-x,-y), =(-2-x【技法点拨】求解与圆有关的最值问题的方法(1)借助几何性质求与圆有关的最值问题,根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.【技法点拨】形如= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题;形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题;形如= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(2)建立函数关系式求最值根据题中条件列出相

21、关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点【同源异考金榜原创】命题点1借助几何性质求最值的问题1.已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-8y+15=0上任意一点.世纪金榜导学号12560263(1)求x+2y的最大值.(2)求 的最大值和最小值.【同源异考金榜原创】【解析】原方程可化为(x-2)2+(y-4)2=5,表示以(2,4)为圆心, 为半径的圆.(1)令t=x+2y,则y= 可看作是直线y=- x+ t在y轴上的截距.当直线y=- x+ t与圆相切时,纵截距 t取得最值,此时 解得t=5或t=15.所以t=x+2y的最大值为15.【解析】原方程可化为(x-2)2+(y-4)2=5,表示以(2) 的几何意义是圆上一点与点(-1,4)连线的斜率,所以设 =k,即y-4=k(x+1).当直线y=kx+k+4与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时 解得k2= ,即k= ,所以 的最大值为 ,最小值为- .(2) 的几何意义是圆上一点与点