221综合法和分析法（1）学案（人教A版选修1-2）

1、2.2直接证明与间接证明22.1综合法和分析法第1课时综合法及其应用课标解读1.了解直接证明的证明方法综合法，掌握其证明方法、步骤(重点)2.理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题(难点)综合法【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题已知实数x，y满足xy1，求证：2x2y2eq r(2).证明：因为xy1，所以2x2y2eq r(2x2y)2eq r(2xy)2eq r(2)，故2x2y2eq r(2)成立1本题的条件和结论是什么？【提示】条件：xy1，结论2x2y2eq r(2).2本题的证明顺序是什么？【提示】从已知条件利用基本不等式到待证结论1综合法的定义利用已知条件和某些数

2、学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2综合法的框图表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)用综合法证明不等式问题已知a，b是正数，且ab1，求证：eq f(1,a)eq f(1,b)4.【思路探究】解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法，即可得出结论【自主解答】法一a，b是正数且ab1，ab2eq r(ab)0(当且仅当ab时，取等号)又0eq r(ab)eq f(1,2)，0abeq f(1,4)，eq f(1,ab)4，eq f(1,a)eq f(1,b)eq

3、f(ab,ab)eq f(1,ab)4.法二a，b是正数，ab2eq r(ab)0，eq f(1,a)eq f(1,b)2eq r(f(1,ab)0(当且仅当ab时，上两式取等号)(ab)(eq f(1,a)eq f(1,b)4.又ab1，eq f(1,a)eq f(1,b)4.法三a，b是正数且ab1，eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(ab,a)eq f(ab,b)1eq f(b,a)eq f(a,b)122eq r(f(b,a)f(a,b)4(当且仅当ab时，取等号)1解答本题时，关键是灵活运用条件ab1.2综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件

4、(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法(2)转化条件，组织过程把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路(3)适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取(2013新乡高二检测)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：eq f(bca,a)eq f(cab,b)eq f(abc,c)3.【证明】左边(eq f(b,a)eq f(a,b)(eq f(c,b)eq f(b,c)(eq

5、f(a,c)eq f(c,a)3，因为a，b，c为不全相等的正实数，所以eq f(b,a)eq f(a,b)2，eq f(c,b)eq f(b,c)2，eq f(a,c)eq f(c,a)2，且上述三式的等号不能同时成立，所以(eq f(b,a)eq f(a,b)(eq f(c,b)eq f(b,c)(eq f(a,c)eq f(c,a)3633，即eq f(bca,a)eq f(cab,b)eq f(abc,c)3.用综合法证明几何问题如图221，直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1A1C1，AC1A1B，M，N分别是A1B1，图221求证：(1)C1M平面AA1B1B(2)A1BAM.(

6、3)平面AC1M平面B1NC【思路探究】(1)由B1C1A1C1，M为A1B1的中点可知C1MA1B1，再根据C1M(2)要证A1BAM，可转化为证明A1B平面AC1M(3)要证面面平行，应转化证明线面平行【自主解答】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1A1C1，M是A1B1的中点，C1MA又C1MA1A，A1AA1B1A1，A1A，A1B1平面AA1C1M平面AA1B1B(2)A1B平面AA1B1B，由(1)知C1M平面AA1B1BA1BC1M又A1BAC1，AC1，C1M平面AC1M，AC1C1MA1B平面AC1M又AM平面AC1MA1BAM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM

7、B1N，AM平面B1NC，B1N平面B1NC，AM平面B1NC.又C1MCN，CN平面B1NCC1M平面B1NC，C1M平面B1又C1MAMM，C1M，AM平面AC平面AC1M平面B1NC平行与垂直关系的转化：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：eq blc rc(avs4alco1(ab,bc)ac，eq blc rc(avs4alco1(ab,b)a，eq blc rc(avs4alco1(,)等其中线面平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A1B平面AC1M来证明A1BAM；本例(3)

8、中，通过证明AM平面B1NC，C1M平面B1NC，来证明平面AC1M平面B1NC.将本例条件“B1C1A1C1，AC1A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点”改为“ABBB1，AC1平面A1BD，D为AC的中点”，求证：(1)B1C平面A(2)B1C1平面ABB1A【证明】(1)如图，连接AB1.令AB1A1BO，则O为AB1的中点连接OD，D为AC的中点，在ACB1中，有ODB1C又OD平面A1BD，B1C平面A1BDB1C平面A1BD(2)ABB1B，三棱柱ABCA1B1C1四边形ABB1A1A1BAB1，又AC1平面A1BD，A1B平面A1BD，AC1A1B.又AC1平面AB1C1，A

9、B1平面AB1CAC1AB1A，A1B平面AB1C1又B1C1平面AB1CA1BB1C1又A1A平面A1B1C1，B1C1平面A1BA1AB1C又A1A平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1AA1BA1B1C1平面ABB1A用综合法证明数学中的其他问题设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中m为常数，且m3.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，bneq f(3,2)f(bn1)(nN*，n2)，求证：eq f(1,bn)为等差数列【思路探究】通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中，恰当处理递推关系是

10、本题证明的关键【自主解答】(1)由(3m)Sn2manm3得(3m)Sn12man1m3.两式相减得(3m)an12man(m3)，eq f(an1,an)eq f(2m,m3)，且a11，an是等比数列(2)b1a11，qf(m)eq f(2m,m3)，n2，nN*时，bneq f(3,2)f(bn1)eq f(3,2)eq f(2bn1,bn13)bnbn13bn3bn1eq f(1,bn)eq f(1,bn1)eq f(1,3).数列eq f(1,bn)为首项为1，公差为eq f(1,3)的等差数列1综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件2综合法不但是数

11、学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等设数列an的每一项都不为0，证明：数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,anan1)eq f(n,a1an1).【证明】必要性：设等差数列an的公差为d.若d0，则所述等式显然成立；若d0，则eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,anan1)eq f(1,d)(eq f(a2a1,a1a2)eq f

12、(a3a2,a2a3)eq f(an1an,anan1)eq f(1,d)(eq f(1,a1)eq f(1,a2)(eq f(1,a2)eq f(1,a3)(eq f(1,an)eq f(1,an1)eq f(1,d)(eq f(1,a1)eq f(1,an1)eq f(1,d)eq f(an1a1,a1an1)eq f(n,a1an1).充分性：依题意有eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,anan1)eq f(n,a1an1)，eq f(1,a1a2)eq f(1,a2a3)eq f(1,anan1)eq f(1,an1an2)eq f(n1,a1an2).得eq

13、 f(1,an1an2)eq f(n1,a1an2)eq f(n,a1an1)，两端同乘a1an1an2得a1(n1)an1nan2.同理可得：a1nan(n1)an1.得2nan1n(an2an)，即2an1an2an，所以数列an为等差数列命题得证.综合法的简单应用(12分)在ABC中，三边a，b，c成等比数列求证：acos2eq f(C,2)ccos2eq f(A,2)eq f(3,2)b.【思路点拨】利用二倍角公式及余弦定理，将三角形角的问题转化为边的问题进行证明【规范解答】左边eq f(a1cos C,2)eq f(c1cos A,2)eq f(1,2)(ac)eq f(1,2)(a

14、cos Cccos A)4分eq f(1,2)(ac)eq f(1,2)(aeq f(a2b2c2,2ab)ceq f(b2c2a2,2bc)8分eq f(1,2)(ac)eq f(1,2)beq r(ac)eq f(b,2)beq f(b,2)eq f(3,2)b右边，acos2eq f(C,2)ccos2eq f(A,2)eq f(3,2)b.12分通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，也可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则1综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知2综合法适用的范围：(1)定义明确的题型，如证明函数单调性、奇

15、偶性，求证无条件的等式或不等式问题等(2)已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型1设Peq f(1,log211)eq f(1,log311)eq f(1,log411)eq f(1,log511)，则()A0P1B1P2C2P3 D3P4【解析】Plog112log113log114log115log11120,1log1111log11120log111212，即1PB是sin Asin B的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若AB，则ab，又eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，sin Asin B，若s

16、in Asin B，则由正弦定理得ab，AB.【答案】C3设aeq r(2)，beq r(7)eq r(3)，ceq r(6)eq r(2)，则a，b，c的大小关系为_【解析】a2c22(84eq r(3)eq r(48)eq r(36)0，ac，又eq f(c,b)eq f(r(6)r(2),r(7)r(3)eq f(r(7)r(3),r(6)r(2)1，cb，acb.【答案】acb4已知函数f(x)2x1，g(x)x，xR，数列an，bn满足条件：a11，anf(bn)g(bn1)，nN*.求证：数列bn1为等比数列【证明】由题意得2bn1bn1，bn112bn22(bn1)，eq f(b

17、n11,bn1)2，又a12b111，b10，b1110.故数列bn1是以1为首项，2为公比的等比数列.一、选择题1设a，bR，且ab，ab2，则必有()A1abeq f(a2b2,2)Bab1eq f(a2b2,2)Cabeq f(a2b2,2)1 Deq f(a2b2,2)ab2ab，即eq f(a2b2,2)ab，可排除A、D.又eq f(a2b2,2)eq f(a2b2,4)eq f(a2b2,4)eq f(a2b2,4)eq f(2ab,4)eq f(ab2,4)1.故B正确【答案】B2l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2

18、，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【解析】在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错【答案】B3已知yx0，且xy1，那么()Axeq f(xy,2)y2xy B2xyxeq f(xy,2)yCxeq f(xy,2)2xyy Dx2xyeq f(xy,2)x0，且xy1，设yeq f(3,4)，xeq f(1,4)，则eq f(xy,2)eq f

19、(1,2)，2xyeq f(3,8)，x2xyeq f(xy,2)0；|5；|2eq r(2)，|2eq r(2).以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是_(用序号及“”表示)【解析】0，|2eq r(2)，|2eq r(2).|222288283225.|5.【答案】三、解答题9在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：ABC为等边三角形【证明】由A、B、C成等差数列，有2BAC.因为A、B、C为ABC的内角，所以ABC.由，得Beq f(,3).由a、b、c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac.再由，得a2c2acac，即(ac)