圆锥曲线经典高考教学常考题选编

1、合用标准文案圆锥曲线高考常考题型：一、基本看法、基本性质题型二、平面几何知识与圆锥曲线基础知识的结合题型三、直线与圆锥曲线的订交关系题型（一）中点、中点弦公式（二）弦长（三）焦半径与焦点三角形四、面积题型（一）三角形面积（二）四边形面积五、向量题型（一）向量数乘形式（二）向量数量积形式（三）向量加减法运算（四）点分向量（点分线段所成的比）六、切线题型（一）椭圆的切线（二）双曲线的切线（三）抛物线的切线七、最值问题题型（一）利用三角形边的关系（二）利用点到线的距离关系文档大全合用标准文案为了让各位同学成立关于圆锥曲线专题的基本解题策略和解题方法系统，我收录高考经典题，结合前一篇平面剖析几何讲义希

2、望大家掌握解决圆锥曲线题目的常用思路和方法。一、基本看法题型：主要涉及到圆锥曲线定义、焦点、焦距、长短轴、实虚轴、准线、渐近线、离心率等基本看法知识的观察。例1：已知椭圆x2y21(ab0)的焦距为2，准线为x4，则该椭圆的离心a2b2率为例2：已知双曲线方程x2y21(a,b0)的离心率为5，则渐近线方程为a2b22例3：已知双曲线方程为x2(ay21(a1)，则双曲线离心率取值范围为a21)2例4：已知抛物线方程为y28x，则焦点坐标为例5：已知椭圆C：x2y21上一点P到左焦点的距离为3，则点P到左准线432的距离为，到右准线的距离为例6：已知双曲线M：x2y21上一点P到左准线的距离为

3、2，则点P到右焦点63的距离为二、平面几何知识与圆锥曲线基本知识的结合。该考点主要涉及到平面几何知识中的中位线、中垂线、角均分线定理，射影定理、勾股定理、余弦定理、相似三角形、三角形四心性质、等腰梯形、直角梯形性质、圆的性质、长度和坐标的相互变换等当然还会涉及圆锥曲线基本知识，包括定义、基本看法、基本性质。例1：过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|（）A26B8C46D10文档大全合用标准文案设点M（x0,1），若在圆O:x2y21上存在点，使得，则的取NOMN=45x0值范围是_.已知点P为椭圆x2y21(ab0)上一点，F1、F2为椭圆的两焦点，

4、若a2b2F1PF2120,且PF13PF2,则椭圆的离心率为例2：已知F1、F2为双曲线x2y21的左右焦点，P为双曲线上一点，M(2，0),PM为279F1PF2的角均分线，则PF2=例3：已知P为椭圆x2y21上一点，F1、F2为椭圆的交点，M为线段PF1的中点，92OM1,则PF1例4：已知F1、F2为椭圆x2y21(ab0)的焦点，点P（a,b),PF1F2为等角a2b2三角形，则椭圆的离心率为已知F1，F2是双曲线Ex2y21的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sina2b2MF2F11,则E的离心率为3（B）3（A）2（C）3（D）22已知A，B为双曲线E的左，右极点，点

5、M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（）5B2C3D2A例5：已知椭圆方程为x2y21(ab0)，点A为椭圆右准线与x轴的交点，a2b2若椭圆上存在点P，使得线段AP的中垂线经过右焦点F，则椭圆离心率的取值范围为例6：已知F1（-c，0）、F2(c,0)为椭圆C:x2y21(ab0)的左右焦点，若在直线a2b2x2a2F2,则椭圆离心率的取值范围为存在一点P使得线段PF1的中垂线经过c文档大全合用标准文案例7：已知斜率2的直抛物y2ax(a0)的焦点且与y的交点A，若OAF的面4，抛物方程三、直线与圆锥曲线（一）直线与圆锥曲线订交，中点，中点弦公式1、直与曲订交，即有

6、两个交点，一般两个交点坐(x1,y1)、(x2,y2)，立方程，方程有两个根，以下三点需注意：立，直一般采用斜截式，将y用kx+m替，获取一个关于x的一元二次方程，自然也能够将x用y的表达式替，获取关于y的一元二次方程；立获取的一元二次方程中，暗含了一个不等式，0；我很少需要求解x1、x2，一般畅达定理获取x1x2、x1x2的也许表达式。2、两交点中点坐：M(x0,y0)=(x1x2,y1y2)（立、达定理）=22(x1x2,kx1mkx2m)(x1x2,k(x1x2)m)22223、中点弦公式：（所中点弦公式是直与曲订交，两交点中点与弦所在直的关系，一般不立方程，而用点差法求解）：焦点在x上

7、直ykxm与x2y21(ab0)订交于点、a2b2AB点A(x1,y1),B(x2,y2)x12y121a2b2x22y221a2b2-得：x12x22y12a2b22kABkOMb2（其中aA、B在上x12x22-y12y22a2b2即y12y22-b22x22a2x1y220即(y1y2)(y1y2)b2x1x2x1x2a2MA、B中点，O原点）同理能够获适合焦点在y上，即方程y2x21(ab0)a2b2文档大全合用标准文案当直线交椭圆于A、B两点，M为A、B中点a2则kABkOMb2用文字描述：直线AB的斜率与中点M和原点O所成直线斜率的乘积等于y2下的系数比上x2下的系数的相反数。3=

8、0过椭圆C:x2y2例：已知直线x+y-221的右焦点且与椭圆交于A、B两点，ab1P为AB的中点，且直线OP的斜率为，求椭圆方程。双曲线焦点在x轴上，双曲线方程：x2y21(a,b0)a2b2同理，焦点在y轴上，双曲线方程：y2xa2b221(a,b0)例：已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E订交于A，B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()（A）x2y21（B）x2y21（C）x2y21（D）x2y2136456354已知A1、A2为双曲线E：x2y21(a,b0)的左右极点，P为双曲线右支上43一动点，则kPAkPB=22P(x0,y0)

9、(x0a)是双曲线E：x2y21(a0,b0)上一点，M,N分别是双ab曲线E的左、右极点，直线PM,PN的斜率之积为1.（I）求双曲线的离心率；5（II）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原文档大全合用标准文案点，C为双曲线上的一点，满足OCOAOB，求的值.抛物线焦点在x轴上，抛物线方程：y22px同理，焦点在y轴上，抛物线方程：x22py例：已知抛物线C的极点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C订交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_.（二）弦长1、弦长的一般形式设A(x1,y1),B(x2,y2)弦长AB(x1x2)2(y1

10、y2)2=1k2(x1x2)24x1x2=11(y1y2)24y1y2k2椭圆弦长双曲线弦长x2y21(ab0)x2y21(a,b0)a2b2a2b2ykxmykxmx1x22a2kmy1y22b2ma2k2b2a2k2b2x1x2a2(m2b2)y1y2b2(m2a2k2)a2k2b2a2k2b2相切条件：0a2k2b2m21k22aba2k2b2m2ABa2k2b2文档大全合用标准文案联立圆锥曲线方程与直线方程，消掉x也许y达到关于y也许x的一元二次方程，用韦达定理表示出x1x2、x1x2，代入弦长公式即可。例：已知直线y=x-1与双曲线C：x2y21交于、两点，求AB3AB例2：已知椭圆

11、E:x2y21的焦点在x轴上，A是E的左极点，斜率为k(k0)t3的直线交E于AM两点，点N在E上，MANA.,（I）当t，AMAN时，求AMN的面积；=4（II）当2AMAN时，求k的取值范围.2、过焦点的弦长过焦点的弦长一般办理成两部分焦半径的和（利用第二定义求解）坐标形式焦半径（已知圆锥曲线上一点P（x0,y0）椭圆焦半径双曲线焦半径利用第二定义：到焦点的距离与到对应准线的距离之比为离心率求解得出PF1aex0,PF2aex0文档大全合用标准文案角度形式焦半径b2b2pPBF2c,AF2cAF,BF1cos1cos1cos1coseeAB2p2b21sin2p2AB1ceSOABcos2

12、2sine2焦点三角形PF1PF2a2ex2b2,a2PFac,)，PF2ca,)122222222sinb2PF1PF2bcexbc,bSPF1F2cypb1costan2F1PF2随着x的增大先增大后减小，在上极点处获取最大值sinceasinSPFFcypb2b2tan121cos2例：已知双曲线x2y21(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，若双a2b2曲线上存在一点sinPF1F2aP使，则该双曲线的离心率的取值范围是sinPF2F1c文档大全合用标准文案当点p在椭圆外时，F1PF20,)当点p在椭圆上时，F1PF20,当点p在椭圆内时，F1PF20,x22

13、上的点，、为椭圆的左右焦点，若例：已知P为椭圆C：y1F1PF1F24F2为直角三角形，则满足条件的P点有个已知F1、F2为椭圆C:x2y21(ab0)的左右焦点，若只幸亏椭圆a2b2内部找到一点P使得F1PF2=120，则椭圆离心率的取值范围为设F为抛物线C:y23x的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于A,B30两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（）A.33B.93C.63D.948324已知F1、F2为双曲线C:x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260,则P到x轴的距离为A、3B、6C、10D、32224、抛物线的特别特色在计算弦长的过程中，我们需要联立方程，关于抛物线而言，我们

14、发现了一个特其他规律：当直线经过抛物线对称轴上一个定点与抛物线有两个交点时，我们发现无论直线斜率如何改变，两点的横坐标之积，纵坐标之积为一个确定的常数。2，为对称轴上一点(a,0),过做直线交抛物线与A、B两点，令A(x,y)、y2pxMM11B(x2,y2），求xx1x2,y1y2当直线斜率不存在时，x1x2a,y12pa,y22pa(a0)x1x2a2,y1y22pa当斜率存在时，设直线AB为yk(xa)文档大全合用标准文案联立y22pxyk(xa)得k2x2(2k2a2p)xk2a20则x1x222pa,x1x22a（AB中点横坐标随着斜率绝对值的增大而减小）k2y122px1,y222

15、px2,(y1y2)24p2a2y1y22pa总之x1x2a2,y1y22pa即y22px时，过(a,0)x1x2a2,y1y22pax22py时，过(0,a)y1y2a2,x1x22pa例：过抛物线y22x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，AB25,且AFBF,则AF12设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线订交于A，B两点，与抛物线的准线订交于C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比SSBCF=ACF延伸：在抛物线y22px对称轴上存在定点（2p，0）,使得以过该点与抛物线订交的弦为直径的圆过原点。张占龙：过抛物线y22px上一点P(x0,y0)做两条相互垂直的直线

16、分别于抛物线订交，两个交点的连线恒过(x02p,y0)文档大全合用标准文案四、面积（一）三角形面积直线与圆锥曲线订交，弦和某个定点所构成的三角形的面积办理方法：一般方法：S1ABd（其中AB为弦长，d为极点到直线AB的距离）2=11k2(x1x2)2kx0y0m24x1x12（直线为斜截式y=kx+m）1k1(x1x2)24x1x1kx0y0m2特别方法：拆分法,能够将三角形沿着x轴也许y轴拆分成两个三角形，但是在拆分的时候给定的极点一般在x轴也许y轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长。SPABSPQASPQB1PQyAyB21PQ(yy)24yy21212SPABSPQASPQB1PQxA

17、xB1PQ(x12x2)24x1x22文档大全合用标准文案例：已知椭圆C:x2y21，直线y=x+1交椭圆于A、B两点，O为坐4标原点,求OAB的面积。例2：已知过抛物线y24x交点F的动直线交抛物线与A、B两点，P（2,0），求PAB面积的取值范围。四边形面积在高考中，四边形一般都比较特别，常有的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；自然也有一些其他的情况，此时能够拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解。例1：平面直角坐标系xoy中，过椭圆M:x2y21(ab0)右焦点F63的直线lxy30交M与A,B两点，C,D为M上的两点，且C

18、DAB，1）若直线CD过点（0,1），求四边形ABCD的面积2）求四边形ACBD面积的最大值文档大全合用标准文案2例2：已知椭圆xy1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交32椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P，求四过形ABCD的面积的最小值。例3：已知椭圆C：x2y211）做两条相互垂直的直线交4，过点（1，2椭圆于A、C、B、D四个点，求四边形ABCD面积的取值范围。例4：设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个极点，直线kx(k0)与AB订交于点D，与椭圆订交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值文档大全合用标准文案五、向量

19、在这里我们用到的基本都是向量的坐标运算，包括向量的加减、数乘和数量积运算，以及用向量翻译直线垂直，角度的大小、面积等问题。（一）向量的数乘形式：ab（符号代表方向相同或相反数值表示两向量模的大小关系）（1）常有办理方法：利用相似三角形找出y1也许x2（可正可负），利用y21成立y2x1y1y12y22(y1y2)221，联立利用韦达定理求解）y1y2y1y2依照相似三角形找出点的坐标带入求解例1：已知直线yx-1与x轴交于点M，与椭圆x2y21(ab0)交a2b2于A、B两点，且AM2MB,求椭圆的离心率。例2：已知抛物线C:y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l订交

20、于点A，与C的一个交点为B若AMMB，则p已知直线yk(x2)(k0)与抛物线y28x交于、两点，F为抛物线的焦AB点，AF2BF,则斜率k为.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若FP4FQ，则|QF|=文档大全合用标准文案例3：过双曲线x2y21(a,b0)的右极点A作斜率为-1的直线交双曲线的两条渐近线a2b2分别于B、C两点，且AB1BC,则双曲线的离心率为（）2A、5B、5C、10D、1023例4、设F1,F2分别是椭圆C:x2y21ab0的左,右焦点，M是C上一点a2b2且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.（）若直线

21、MN的斜率为34，求C的离心率；（）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a,b.（2）特别办理方法：利用第二定义求解223，过右焦点F且斜率例1：已知椭圆C:x2y21(ab0)的离心率为ab2为k(k0)的直线与C订交于A、B两点若AF3FB，则k()(A)1（B）2（C）3（D）222已知斜率为3的直角过椭圆C：x2y21(ab0)的右焦点交ab椭圆于A、B两点，且AF2FB,椭圆的离心率为。已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延伸线交C于点D，且BF2FD，则C的离心率为。文档大全合用标准文案x2y2例2：已知双曲线：1a0,b0的右焦点为F,过F且斜率为

22、3Ca2b2的直线交C于A、B两点，若AF3FB,则C的离心率为已知双曲线x2y21a0,b0的右焦点为F,过F且斜率为3的直线C：b2a2交C于A、B两点，若AF3FB,则C的离心率例3：已知F是抛物线C：y24x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于，AB两点设FAFB，则FA与FB的比值等于2过抛物线y22px(p0)的焦点F做斜率为k(k0)直线交抛物线于A、B两点，且AF2FB，则k（二）向量的数量积形式两种办理方式：几何运算形式：ababcosa,b代数坐标形式：abx1x2y1y2例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2y2221(ab0)的右焦点，直线abbBFC90,则

23、该椭圆的离心率是.y与椭圆交于B，C两点，且2已知斜率为2的直线交抛物线y24x与、两点（2,0），求AB,MMAMB的取值范围。文档大全合用标准文案例2：已知过椭圆y2x21上焦点的直线l交椭圆于A、B两点，M为2椭圆的右极点，当AMB为钝角时，求直线l斜率的取值范围。例3：椭圆有两极点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P直线AC与直线BD交于点Q(I)当|CD|=3时，求直线l的方程；22当点P异于A、B两点时，求证：OPOQ为定值例4：已知直线l过双曲线x2y2左焦点F交双曲线于、两点，31F2为双曲线的右焦点，满足AF2BF2

24、cosBF2A46，求直线l的tanBF2A斜率。文档大全合用标准文案（三）向量的加减法运算向量加法的平行四边形法规，一般用来进行几何翻译例：已知椭圆C:9x2y2m2(m0),直线l但是原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）若l过点(m,m)，延伸线段OM与C交于点P，四边形OAPB可否为平行3四边形？若能，求此时l的斜率，若不能够，说明原由向量加减法的代数坐标运算x2y20)的离心率为3，过右焦点F的直线l与例1：已知椭圆C:221(ab3abC订交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22I）

25、求a，b的值；II）C上可否存在点P，使适合l绕F转到某一地址时，有OPOAOB成立？例2：(,)()是双曲线x2y2上一点，M,N分别x0y0 x0aE：ab21(a0,b0)P21是双曲线E的左、右极点，直线PM,PN的斜率之积为.1）求双曲线的离心率；2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原文档大全合用标准文案点，C为双曲线上的一点，满足OCOAOB，求的值.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OAOB与a=（3，-1）共线（1）求椭圆的离心率（2）设M为椭圆上任意一点，且OMOAOB(，R)，证明：2

26、2为定值（四）点分线段（向量）所成的比点P分向量AB所成的比为，即:APPB例：已知点P分向量AB所成的比为-2，则点A分向量PB所成的比。文档大全合用标准文案已知点分向量所成的比，同时知道向量起点和终点坐标，求解点P的坐标。已知：点P分向量AB所成的比为，A(x1,y1),B(x2,y2)解：令P(x,y)点P分向量AB所成的比为，A(x1,y1),B(x2,y2)则APPB即(xx1,yy1)(x2x,y2y)xx1(x2x),yy1(y2y)即xx1x2,yy1y211故P的坐标为（x1x2，y1y2）11例：设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个极点，直线ykx(k

27、0)与AB订交于点，与椭圆订交于、两点，ED6DF，求k的值。DEF六、切线无论是哪一种圆锥曲线的切线，其实质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所获取的一元二次方程有且仅有一个根，即0，相信这关于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。（一）椭圆的切线：x2y21在点P(x0,y0)处的切线方程为x0 xy0y1a2b2a2b2过椭圆外一点Q（x1,y1）能够做椭圆的两条切线，两切点所在的直文档大全合用标准文案线方程为x1xy1y1a2b2直线ykxm与椭圆x2y21相切时，满足a2k2b2m2a2b2例：已知P为椭

28、圆x2y21上一动点，求点P到直线2xy60的最43小值与最大值。（二）双曲线的切线：x2-y21在点P(x0,y0)处的切线方程为x0 x-y0y1a2b2a2b2过椭圆外一点Q（x1,y1）能够做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为x1xy1y1a2-2b直线ykxm与椭圆x2y21相切时，满足a2k2-b2m2a2b2（三）抛物线的切线：x22py上某点（x0,y0）的切线斜率为kx0点x02p,P(x0,P2p线方程为yx0(xx0)x02，即yx0 xx02，p2pp2p经过观察我们知道:与x轴的交点为(x0,0)，切线与x轴的截距为切点处横坐标的一半，22与y轴的交点为(0,-x

29、0)，在y轴上的截距为切点纵坐标的相反数。2p文档大全合用标准文案A（x1,y1），B（x2,y2）均在抛物线x22py上，请推证A、B处两切线及其两切线的交点坐标。x1x2Ax1点处切线y2ppBx2xx22点处切线y2pp两条切线的焦点坐标（x12x2,x1x2）2p我们发现：i、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M的横坐标、依照前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：x1x22pb(b为直线与对称轴的截距)，那么我们获取：两切线的交点纵坐标(x1x22pbb)与直线与对称轴的截距互为相反数2p2p延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线订交于A、B两点，过A、B分别做

30、抛物线的切线，两切线订交于点Q，经过几何画板作图我们发现：无论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P的直线为ykxb，A(x1,x12),B(x2,x22)2p2p文档大全合用标准文案联立x22py得x1x22pbykxb设A点处切线yx1xx12,B点处切线yx2xx22p2pp2p则两条切线的焦点坐标Q（x1x2,x1x2）22pyQx1x22pbb2p2p证毕延伸二、过点Q（b22pa）做抛物线(a,b)的两条切线分别切抛物线于点A、B，直线AB与y轴的截距为-bx12x22斜率kAB2p2px1x2ax1x22pp切点弦方程为：yabxp关于焦点在x轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0求解。需要需注意的是：过抛物线外一点做与抛物线仅有一个交点的直线有三条：除了两条切线之外还有一条与x轴平行（即斜率为0的直线与抛物线也只有一个交点。文档大