浙教版初二(上)数学第三讲-全等三角形的相关模型

1、.PAGE 1.第三讲 全等三角形的相关模型要点梳理要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的顶点为公共顶点 结论：1ABD AEC 2+BOC=180 3OA平分BOC变形：要点二：角平分线模型特点：由角平分线构成了的两个三角形。结论：1AFGAEG 2FG=GE变形：要点三：半角模型特点：结论：1MN=BM+DN 2CMN的周长=2AB3AM、AN分别平分BMN和DNM变形：要点四：等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等操作过程：1将ABD逆时针旋转90,使ACMABD,从而推出ADM为等腰直角三角形。2过点C作BCMC,连AM导出上述结论2.定点是斜边中

2、点,动点在两直角边上滚动的旋转全等操作过程：连AD. 1使BF=AE或AF=CE,导出BDFADE2使EDF+BAC=180,导出BDFADE3.将等腰直角三角形补全为正方形,如下图：要点五：双垂直模型特点：图形中包含两条垂线,且有一组边或角相等。结论：若AD=BD,则BH=AC变形：1=2,则AE=AF 1=2,BAP=DAP,则AE=AF,APCF要点六：三垂直模型特点：图形中包含三条垂线,且有一组边。结论：1ABEBCD 2ED=AE-CD变形：要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法1.遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用三线合一的性质解题,思维模式是全等变换中的对折法构造全等三角形

3、。2.遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的旋转 法构造全等三角形。3.遇到角平分线：1可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线；2可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形；3可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。以上利用的思维模式是全等变换中的对折法构造全等三角形。4.过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠。5.截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段

4、相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6.已知某线段的垂直平分线,可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,形成一对全等三角形。7.在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。典型例题例1手拉手模型：如图,点C 为线段AB 上一点,ABC、CDE 是等边三角形,请你证明：。1AD=BE 2ACB=AOB3PCQ为等边三角形4PQAE5AP=BQ6CO平分AOE7OA=OB+OC8OE=OC+OD例2角平分线模型：如图,已知1=2,3=4,

5、求证：AP平分BAC。举一反三：1、如图,在四边形ABCD中,BCAB,AD=CD,BD平分BAC,求证A+C=1802、如图,在ABC中,ABC=3C,AD是BAC的平分线,BEAD于F。求证：3、ABC中,BAC=60,C=40,AP平分BAC交BC于P,BQ平分ABC交AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ。例3半角模型：在正方形ABCD中,若M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM +DN,求证：MAN=45；CMN的周长=2AB；AM、AN分别平分BMN和DNM举一反三：在正方形ABCD中,已知MAN=45,若M、N分别在边CB、DC 的延长线上移动：试探究线段MN、BM 、

6、DN之间的数量关系；求证：AB=AH.2、在四边形ABCD中,B+D=180,AB=AD,若E、F分别在边BC、CD且上,满足EF=BE+DF.求证：例4等腰直角三角形模型： 等腰直角ABC中,BAC=90,点M、N在斜边BC上滑动,且MAN=45,试探究BM、MN、CN之间的数量关系。举一反三：1、两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC,试判断EMC的形状,并证明你的结论。2.如图,在等腰直角ABC中,AC=BC,ACB =90,P为ABC内部一点,满足PB=PC,AP=AC。求证：BCP=15

7、例5：如右图,ABC中,ABC =45,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为 。举一反三：1、如图14-1,在ABC中,BC边在直线L上,ACBC,且AC=BC。EFP的边FP也在直线L上,边EF与AC重合,且EF=FP.猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；2将EFP沿直线L向左平移至图14-2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP、BQ,则BQ与AP满足什么样的数量关系和位置关系,请猜想并证明；3将EFP沿直线L向左平移至图14-3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP、BQ,你认为2中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？例6三垂线模型：如

8、图所示,在ABC中,AB=AC,BAC =90,D为AC中点,AFBD于E,交BC于F,连接DF.求证：ADB=CDF.举一反三：如图所示,在ABC中,AB=AC,AM=CN,AFBM于E,交BC于F,连接NF.求证：ADB=CDF； BM=AF+FN2、如图所示,在ABC中,AB=AC,AM=CN,AFBM于E,交BC于F,连接NF,并分别延长BM和FN交于点P.求证：PM=PN； PBPF+AF巩固练习如图,在四边形ABCD中,B+D=180,BC=CD,求证：AC平分BAD.2、如图,ABAC,A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DEAB,DFAC,垂足分别为E,F求证：BE=C

9、F3、如图所示,在ABC中,BC边的垂直平分线DF交BAC的外角平分线AD于点D,F为垂足,DEAB于E,并且ABAC。求证：BEAC=AE。4、如图,D、E、F分别是ABC的三边上的点,CE=BF,且DCE的面积与DBF的面积相等,求证：AD平分BAC。5、如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,BD平分ABC交AC于点D, CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。6、如图,在ABC中,BAC的角平分线AD交BC于D,且AB=AD,作CMAD的延长线与M,求证：7、如图,在ODC中,D=90,CE是DCO的角平分线,且OECE,过点E作FFOC交OC于点F,猜想：线段O

10、D与EE之间的关系,并证明。8、如图,BD、C E分别是ABC的外角平分线,过点A作ADBD,AECE,垂足分别是D、E,连接DE.求证：1DEBC,且2若BD、CE分别是ABC的内角平分线如图2,其他条件不变,则线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？3若BD为ABC的内角平分线,CE为ABC的外角平分线如图3,则线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？9、如图,在ABC中,AD是BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较 PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由。10.如图,RtABC 中,AB=AC,BAC =90,O为BC中点,若M、N分别在线段AC、AB上移动,且在移动中保持AN=CM. 1判断OMN的形状,并证明你的结论. 当M、N分别在线段AC、AB上移动时,四边形AMON的面积如何变化？11.在正方形ABCD中,BE=3 ,EF=5 ,DF=4 ,求BAE+DCF=?13.如图,在ABC中,AC=BC,