第18课 正定二次型_第1页
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文档简介

1、第18课 正定二次型第1页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五什么条件决定两个二次型等价？ 我们知道, 等价的二次型有相同的秩, 也就是标准形中平方项个数相等. 但秩相等的两个二次型不一定等价.例如 与 不可能等价. 因为不存在可逆矩阵 C 满足因为第2页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五惯性定理( P196 定理6.3.1 ) 在二次型的标准形中，正项个数与负项个数保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数. 设二次型 f 的秩为 r , 正惯性指数为 p , 则负惯性指为

2、 r p . f 的规范形为 惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定。第3页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五 如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵 A 称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。定义化标准形化规范形正定二次型为 正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。 显然，如果 f 负定，则 f 正定，以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。第4页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五定理 二次型 f(

3、x) = xTAx 正定的充要条件是对任意x0，都有 f(x) = xTAx 0. (注：书上以后者为定义)证 设必要性：设 f 正定，即对任意x0，则 ，故充分性：反证。如果有某个 ，取, 与 矛盾。第5页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五定理( 霍尔维茨定理 ) 对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即第6页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五判别二次型是否正定.它的各阶顺序主子式故上述二次型是正定的.例1f 的矩阵为解第7页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五例2解判别二次型是否正定.二次型的矩阵为即知A是正定矩

4、阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值第8页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五判别二次型的正定性.例3解二次型的矩阵它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别 为正定.第9页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五例4与矩阵 合同的矩阵是( )A特征值是两正一负。第10页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五是正定二次型？解 二次型的矩阵为A的顺序主子式为：所以当例5 问t 满足什么条件时，二次型A的顺序主子式全大于0，此时 f 正定。第11页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五例6设 是正定矩阵, 证明第12页，共13页，2022年，5月20日，16点22分，星期五例7为A

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