新教材人教A版必修第一册-3.4函数的应用一-学案

1、PAGE 9 -3.4函数的应用(一)内容标准学科素养1.通过一次函数、二次函数、幂函数的性质，了解其实际应用数学抽象数学建模2.体会利用函数模型解决实际问题的过程和方法.授课提示：对应学生用书第47页教材提炼知识点常见的一次函数、二次函数、幂函数模型eq avs4al(预习教材，思考问题)一次函数、二次函数、幂函数解析式是什么？ 知识梳理(1)几种常用的函数模型：一次函数模型：ykxb(k，b为常数，k0)反比例函数模型：yeq f(k,x)b，(k，b为常数，k0)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0)幂函数模型：yaxc(a，c为常数，a0)(2)分段函数模型：一种比较复

2、杂的函数模型，可以用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题或者将定义域上变化复杂的函数分成几段区间来研究，在每一段区间上函数有各自的变化规律，根据函数的具体变化，再分段选择相应的函数模型自主检测1某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y5x4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A200副B400副C600副 D800副解析：由5x4 00010 x，解得x800，即日产手套至少800副时才不亏本答案：D2拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)1.06(0.50m1)，其中m0，m是大于或等于m的最小整数(如33，3.74，5.16

3、)则从甲到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为()A3.71 B3.97C4.24 D4.77解析：f(5.5)1.06(0.55.51)1.06(0.5061)1.0644.24.答案：C3某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌，当矩形的长为_，广告牌的面积最大答案：eq f(l,4)授课提示：对应学生用书第47页探究一一次函数模型例1为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2

4、)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜解析(1)由图象可设y1k1x29，y2k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1k1x29，y2k2x，得k1eq f(1,5)，k2eq f(1,2).y1eq f(1,5)x29(x0)，y2eq f(1,2)x(x0)(2)令y1y2，即eq f(1,5)x29eq f(1,2)x，则x96eq f(2,3).当x96eq f(2,3)时，y1y2，两种卡收费一致；当x96eq f(2,3)时，y1y2，使用便民卡便宜；当x96eq f(2,3)时，y1y2，使用如意卡便宜.1.一次函数模型解决实际问题的原则一次函数模型的应用层次

5、要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也比较简单.2.一次函数模型解决问题的注意点用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式对于一次函数yaxb(a0)，当a0时为增函数，当a0时为减函数另外，要结合题目理解(0，b)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)，0)这些特殊点的意义.江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：(1)直接写出

6、y甲，y乙关于x的函数关系式(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？解析：(1)设y甲kx，把(2 000,1 600)代入，得2 000k1 600，解得k0.8，所以y甲0.8x；当0 x2 000时，设y乙ax，把(2 000,2 000)代入，得2 000a2 000，解得a1，所以y乙x；当x2 000时，设y乙mxn，把(2 000，2 000)，(4 000,3 400)代入，得eq blcrc (avs4alco1(2 000mn2 000，,4 000mn3 400，)解得eq blcrc (avs4alco1(m0.7，,n600，)所以y乙eq bl

7、crc (avs4alco1(x0 x2 000，,0.7x600 x2 000.)(2)当0 x2 000时，0.8xx，到甲商店购买更省钱；当x2 000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x0.7x600，解得x6 000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x0.7x600，解得x6 000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x0.7x600，解得x6 000；故当购买金额按原价小于6 000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6 000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6 000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样探究二二次函数模型例2在经济学中，函数f(x)的边际函数

8、定义为M(x)f(x1)f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)P(x1)P(x)，某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)3 000 x20 x2(单位：元)其成本函数为C(x)500 x4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差(1)求利润函数P(x)及边际利润函数M1(x)；(2)利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值？(3)你认为本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么？解析(1)P(x)R(x)C(x)(3 000 x20 x2)(500 x4 000)20 x22 500 x4 000(1x100，xN)M

9、1(x)P(x1)P(x)2 48040 x(1x100，xN)(2)P(x)20(xeq f(125,2)274 125，当x62或63时，P(x)min74 120.又M1(x)是减函数，当x1时M1(x)max2 440，故P(x)与M1(x)不具有相等的最大值(3)边际利润函数M1(x)当x1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最大，M1(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减少幂函数模型中最常见的是二次函数模型，这种函数模型在生产、生活中应用相当广泛利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相

10、符根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题某工厂生产一种机器的固定成本为5 000元，且每生产100部，需要增加投入2 500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为H(x)500 xeq f(1,2)x2，其中x是产品销售出的数量(0 x500)(1)若x为年产量，y表示利润，求yf(x)的解析式；(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？(3)当年产量为何值时，工厂有盈利？(已知eq r(21.562 6)4.65)解析：(

11、1)当0 x500时，产品全部售出，y500 xeq f(1,2)x2(5 00025x)，即yeq f(1,2)x2475x5 000，当x500时，产品只能售出500台，y500500eq f(1,2)5002(5 00025x)，即y25x120 000.(2)当0 x500时，yeq f(1,2)(x475)2107 812.5，当x500时，y120 00025x5 000，475xeq f(1,2)x25 000，整理得x2950 x10 0000，解得10 x940，市场需求量为每年500部，10400.)(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利

12、润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解析(1)设月产量为x台，则总成本为(20 000100 x)元，从而f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)x2300 x20 0000 x400，,60 000100 xx400.)(2)当0 x400时，f(x)eq f(1,2)(x300)225 000，当x300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)60 000100 x是减函数，f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000.即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元构建分段函数模型的关键点建立

13、分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，写出每一对应取值区间内的解析式，在此区间内求最值，然后对所有区间求出的值比较，找出适合题意的答案某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数Pf(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个时，利润又是多

14、少元？(工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本)解析：(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0100eq f(6051,0.02)550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元(2)当0 x100时，P60.当100 x550时，P600.02(x100)62eq f(x,50).当x550时，P51，Pf(x)eq blcrc (avs4alco1(600 x100，xN，,62f(x,50)100 x550，xN，,51x550，xN.)(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L(P40)xeq blcrc

15、 (avs4alco1(20 x0 x100，xN，,22xf(x2,50)100 x550，xN，,11xx550，xN.)当x500时，L6 000；当x1 000时，L11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个时，利润是11 000元授课提示：对应学生用书第49页一、图表并用，数学建模拟合函数的建立问题定量分析和研究实际问题时，要深入调查，研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模根据收集

16、的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)建立拟合函数模型的步骤：(1)收集数据(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型(4)选择其中的几组数据求出函数模型(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤；若符合实际，则进入下一步(6)用所得函数模型解释实际问题典例为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年

17、的实测资料，如下表所示年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型yf(x)，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？解析(1)描点作图如图甲：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型ya

18、xb.取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)，代入yaxb，得eq blcrc (avs4alco1(21.110.4ab，,45.824.0ab，)用计算器可算得a1.8，b2.4.这样，我们得到一个函数模型y1.8x2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y1.8252.4，求得y47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.二、忽视实际意义的限制致错典例甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？解析(1)由关系式：运输总成本每小时运输成本时间，得y(abv2)eq f(s,v)，所以全程运输成本y(元)，表示为速