MM定理证明过程MM定理证明过程

1、无税收据件下的MM定理1.1假定条件假定1：无摩擦市场假定不考虑税收；公司刊行证券无交易成本和交易花费，投资者不用为买卖证券支付任何花费；没关系交易存在；不论举债多少，公司和个人均无破产风险；产品市场是有效的：市场参加者是绝对理性和自私的；市场体制是完整且齐备的；不存在自然垄断、外面性、信息不对称、公共物件等市场失灵状况；不存在帕累托改良；等等；资本市场强有效：即任何人利用公司内部信息都没法套利，没有无风险套利时机；投资者能够以公司借贷资本利率同样的利率借入或贷出随意数目的资本。假定2：一致预期假定所有的投资者都是绝对理性的，均能获得相关宏观、行业、公司的所有信息，对其进行完整理性的前瞻性剖析

2、，所以大家对质券价钱预期都是同样的，并且且投资者对组合的预期利润率微风险都依据马克维兹的投资组合理论权衡。1.2MM定理第一命题及其推论定理第一命题：有财务杠杆公司的市场价值和无财务杠杆公司的市场价值相等。第一命题的含义：即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本构造没关，而只与其盈余水平相关。这说明将来拥有完整同样的盈余能力的公司市场价值同样，但因为其欠债程度不一样样要素，故它们的净财产可能有很大差异。定理第一命题证明过程：证明方法是无套利平衡剖析法。基础假定：我们假定有两家公司公司A和公司B，它们的财产性质完整同样但资本构造完整不一样。A公司没有欠

3、债（这是一种极端假定，但作为比较基准更能说明问题）B公司的欠债额度是D，假定该欠债拥有永远性质，因为可连续盈余的公司总能够用新刊行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完整不一样，那是没有收入根源且信息不对称下致使的平生借债花费计划无效）。细节假定：B公司目前债务利率为r（固定值）；A、B两公司目前的股安分别是SA和SB（固定值）；A、B两公司目前权益资本预期利润率（即市场的资本化率，也就是其股票的预期利润率）分别是rA和rB（固定数值，因为仅指目前的预期利润率）；A、B两公司任何年份的息税前利润（EBIT）同样，数额都为EBIT（随机变量，每年的数值都是它的一个数据点）；A、B两公司

4、目前的市场价值分别记为PVA和PVB（固定值）；A、B两公司目前股票的市场价钱与其真切价值完整一致，分别为MPA和MPB（固定值）；A、B两公司目前的股东权益分别记作SEA和SEB（固定值）。注：假定中固定值许多是因为静态观察公司目前价值。考虑一个套利策略：卖出A公司1%的股票；同时买入B公司1%的股票和1%的债券（上述比率可随意假定，但一定均为同一值）。这类套利策略产生的即时现金流和未来每年的现金流见表1。表1上述套利策略的现金流头寸即时现金流将来每年现金流卖出1%A股票*PVA*EBIT买入1%B股票*SB*MPB*（EBIT-D*r）买入1%B债券*D*D*r净现金流NC0第一，任何公司

5、的财产都等于账面的欠债加权益，A公司无欠债，所以有PVASEA;PVBDSEB其次，任何公司的股票价钱都等于其股东权益与股本的比值：MPAPVA/SA;MPB(PVBD)/SB再次，市场不该当存在无风险套利时机，故NC=0，也就是0.01*PVA0.01*SB*MPB0.01*D0MPB(PVAD)/SB由推得：PVAPVB，命题证毕。定理第一命题推论一：债转股后假如盈余未变，那么公司的股票价钱也不变。证明：假定B公司的债务权益比为k，则：kD/SEB1k(SEBD)/SEBPVB/SEBPVA/SEBSA/SB将代入得：MPAPVA/SAPVB/(SB(1k)(DSEB)/(SB(1k)SE

6、B(1k)/(SB(1k)MPB证毕。定理第一命题推论二：股东希望利润率会随财务杠杆的上涨而上涨。含义：正常状况下B公司在债转股以后会降低其股票的预期利润率，或许说A公司的股票预期利润率小于B公司的股票的预期利润率。证明：B公司的财产欠债率（RDA）和股东权益比率（REA）分别为：RDABD/PVBD/(DSEB)k/(1k)REABSEB/PVBSEB/(DSE)1/(1k)因为公司所有税前利润均优先用于分配股息，并且市场有效性保证了股票的价钱反应股票价值。则由股票利润现值模型可得A、B两公司的股票预期利润率rA和rB分别知足：MPAEBIT/SAEBIT(1rA)jSA*rAj1MPB(E

7、BITR*D)/SBEBITR*D(1rB)jSB*rBj1同时EBITr*PVB，因为这表示即便公司所有举债经营，公司产生的税息前利润也足够支付利息，也就是说股票的利润率大于债券的利润率，因为系统风险和预期利润相般配的结果致使这个不等式必定建立。故可推导出：EBITr*DEBITr*DEBITEBITEBITrBPVBDPVBPVArA，证毕。SEBSA*MPA定理第一命题推论三：股东每股盈余也会跟着财务杠杆的上涨而上涨。含义：正常状况下，债券转为股票以后，公司股东的每股盈余也会降落。证明：A、B两公司每股盈余分别为：EAEBIT;EB(EBITR*D)SASB将代入的第二式得：(EBITR

8、*D)(1k)(EBITR*D)k*EBIT(1k)*R*DEBSAEASBSA因为EBITr*PVB，再将前面RDAB定义式代入，能够推得：k*EBIT(1k)*R*D(1k)(kEBITR*D)(1k)*D(EBITr)01kPVB由得：EBEA，证毕。注：数学基础特别少的人有可能会感觉上述三个推论感性理解上有互相矛盾的地方，故须深入思虑现实过程。1.3MM定理第二命题及其推论定理第二命题：公司加权均匀资本成本（WACC）与公司的资本构造没关。证明：因为公司A仅有股权融资，故WACCArASEBDEBITEBITWACCBrBPVBrPVBPVBPVArA，证毕。定理第二命题推论：有欠债的

9、公司的权益资本成本等于同一风险等级的无欠债公司的权益资本成本加上风险赔偿，风险赔偿的比率因子是欠债权益比k。（是否是和CAPM、多因子模型、套利订价和单证券订价模型有点像啊，呵呵）证明：由（从头编号）得：rBPVBrAr*DrAD(rAr)rAk(rAr)，证毕。SEBSEBSEB有税收据件下的MM定理2.1假定条件考虑税收，其余假定与前面同样。有税收据件下的推论。MM定理仅一个定理，有四个2.2MM定理第一命题及其推论定理第一命题：在考虑税收的状况下，有财务杠杆的公司的市场价值等于无财务杠杆的公司的市场价值加上“税盾”的市场价值。证明：假定A、B两公司的所得税税率都是T（固定税率制，累进税率

10、制等也同样的），那么两公司的税后利润（EAT）分别为：EATA(1T)*EBITEATB(1T)*(EBITr*D)r*D(1T)*EBITT*r*DEATA，证毕。此中T*r*D即税盾效应，与A公司税后盈余对比，这是B公司多出来的部分，这是因为B公司的财务杠杆起作用了：公司价值是股权市价加债权市价，A公司每年产生的现金流EBIT都要交所得税，而B公司中EBIT仅有一部分交所得税，故省出一部分价值计入到公司的债权价值中。或许也能够理解为没有欠债的公司举债时，政府需要把本来征的税的一部分退给公司的借主，或许说举债成本里T*r是政府买单的（时机成本的角度讲），而公司举债的成本仅是(1T)*r，这是

11、从金融的角度或许说时机成本的角度讲的，就如经济利润和会计利润的差异同样，而证券订价的基准正是从金融的角度给出才能正确。明显A、B两公司的税前价值仍旧同样，相当于不考虑税收。我们用带撇号的字母表示考虑税收的变量，则有税收状况下A、B两公司的市场价值分别为：PVA/PVA(1T)PVB/PVB(1T)(1r*D)DPVA/D(1(1T)r*PVB)PVA/EBITEBIT此中D(1(1T)r*PVB)叫做税盾的市场价值。EBIT定理第一命题推论一：在考虑税收状况下，股东的希望利润率仍旧会跟着财务杠杆的上涨而上涨。即在考虑税收的状况下，不考虑税收时MM定理的命题一的推论二仍旧建立。证明：考虑税收，A

12、公司股票预期利润率为：rA/EBIT(1T)EBIT(1T)EBIT(1T)rASA*MPA/PVA/(1T)PVA由不考虑税收推论二证明的最后一个公式和（从头编号）得B公司股票的预期利润率为：EBITrD(EBITrD)(1T)rD(EBITrD)(1T)rD(EBITrD)(1T)rDrD/1TrBSB*MPB/PVB/D/(1T)*rD*PVBPVA(1rDPVAEBIT)EBIT再由得：rB/rA/rDrD，因为EBITrD（盈余足够付利息，保证PVA(1T)(1)EBIT不破产），故rB/rA/，证毕。定理第一命题推论二：考虑税收状况下，股东的每股利润也仍旧会跟着财务杠杆的上涨而上涨

13、，即在考虑税收状况下，不考虑税收MM定理命题一推论三仍旧建立。证明：A、B两公司每股盈余分别为：EA/(1T)EBIT;EB/(1T)(EBITrD)rDSASB将第一部分第一命题推论一下边的代入得：EB/(1k)(1T)(EBITrD)rDEA/TrDk(1T)(EBITrD)rDEA/SASA因EBITrD，故上不等式建立，证毕。MM定理第一命题推论三：在考虑税收状况下，WACC与公司资本构造相关。（证略）依据CAPM模型，有税收后的贝塔系数/和无税收状况下的贝塔系数的关系为(1(1T)D)（证明从略），由此得出股权预期利润，而后再依据公司计算出SEWACC，明显WACC是受资本构造影响的。定理第一命题推论四：在考虑税收状况下，有欠债的公司的权益资本成本仍旧大于同一风险等级的无欠债公司的权益资本成本，风险赔偿的形式也更复杂（证明如）。注：一个延长，PV/PV(1(1Tc)(1Ts)D，Tc表示公司所得税率，Ts表示股票