三种复化求积分算法的精度分析

1、【摘 要】分别利用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gaussTegendre i型公式对定积 分进行运算，得到近似数值解，并对各算法的精度和计算复杂度进行了比较与分析。数值举例 结果表明，三种复化求积分算法的运算结果均在绝对误差限&=5e-8内，并且在相同的精度 下，复化gaussTegendre i型公式的步长和计算量最小。【关键词】复化梯形公式；复化simpson公式；gaussTegendre公式1引言 数值积分是计算数学的基本内容，在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用，当积分 的精确值不能不能求出时，数值积分就变得越来越重要。通常数值积分的计算常利用机械积分 来实现，其基

2、本思想为：(1)2理论模型复化梯形求积公式将区间a, b划分成n等分，分点xk=a+kh (, k=1, 2,3n)，在每个子区间xk,xk+1(k=1, 2,3 n-1)上采用梯形式，则得到(2)记(3)上式(3)为复化梯形公式,其余项可由式,(aWnWb) (4)得,nkwxk, xk+1(5)由于f (x)Wc2a, b且,(0WkWn-l) (6)所以G(a, b),使(7)于是复化梯形公式余项为8)复化simpson求积公式将区间a, b划分为n等分，在每个子区间xk, xk+1上采用simpson式，若记，则得 (9)记(10)上式(10)为复化simpson求积公式，其余项可由式

3、,(aWnWb) (11)得,nkwxk, xk+1(12)于是当f (x)Gc4a, b时，与复化梯形公式相似有,na, b (13)复化gauss-legendre i型求积公式gauss型求积公式是具有最高代数精度的插值求积公式。通过适当选取求积公式(1)的 节点&=5e-8和求积系数ak三0和xkea, b (k=1, 2,3n)，可使其代数精度达到最高 的2n+1次。利用特殊区间-1,1上n+1次legendre正交多项式的根作为节点，我们可以建 立gauss-legendre型求积公式。将区间a, b划分成n等分，分点xk=a+kh (, k=1, 2, 3口)，在每个子区间xk,

4、 xk+1 (k=1, 2,3n-1)上采用2点gauss-legendre i型求积 公式(14)在a, b区间上的复化积分公式为(15)上式(15)称为复化gauss-legendre i型求积公式。于是当f (x)Wc4a, b,时，复化gauss-legendre i型求积公式的余项表达式为 ,(aWnWb) (16)3数值举例先考察下面等式(17)右边定积分的近似值17)分别用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gaussTegendre i型公式做运算，求出其在绝对误差限为&=5e-8内的近似数值解。假定(18)因此，(19)所以，(20)对于复化梯形公式有(21)所以n三(

5、22)因此取步长n=1792(23)对于复化simpson求积公式有(24)所以n三(25)因此取步长n=21(26)对于复化gaussTegendre i型求积公式有(27)所以n三(28)因此取步长n=19(29)同理也可以考察等式和(30)右端定积分的近似数值值，具体结果见表1。表1 三种复化算法步长的事前估函数复化梯形求积公式复化simpson求积公式 复化gauss-legendre i型求积公式1792 21 192457 14 127019 24 22表2三种复化算法的计算结果函数复化梯形求积公式 复化simpson求积公式 复化gauss-legendre i型求积公式表3 三

6、种复化算法的精度分析 函数复化梯形求积公式复化simpson求积公式 复化gauss-legendre i型求积公式在绝对误差限为&=5e-8内，用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss- legendre i型公式对所列三个定积分做近似数值解运算，分别利用它们的余项对每种算法做 出步长的事前估计，如表1所示。步长能够反映运算量的大小，步长越大，计算量越大，很显 然复化梯形公式计算量比另两种算法大得多并且更加复杂，耗时更长，对计算机硬件要求更 高。表2记录了三种算法对三种定积分运算所得的近似数值解，表3记录了三种复化算法的近 似数值解与精确解之间的误差，可以看出三种算法的结果均在

7、绝对误差限&=5e-8以内，精度 达到了要求，但各自相互之间存在差异，精确度也各不相同。由各算法的步长可知，复化梯形 公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式在相同精度的情况下下，其步长依 次减小，其次，其计算量也依次递减。对于，在计算机求解时，我们将步长设为事前估计的1792，所得到的精度满足要求。但 是如果将步长减小1步，即为1791时，结果依然满足要求，甚至将步长减少2步、10步、100步、500步直到步长减小到1081时所得结果才不满足要求，此时的误差为，不在绝对 误差限&=5e-8内。尝试了另外几种复化求积公式，也会出现这样的现象。此现象可以概括 为：满足精度的事前估计的步长大于满足精度的实际步长。这种现象的出现可以作如下解释： 在做步长的事前估计时，我们是用函数二阶导数或者四阶导数的最大值来运算的，这种处理方 式所得到的步长是一种极限步长（步长最大值）。然而，在计算机求解时，肯定会出现满足精 度的实际步长，并且该实际步长肯定不会大于事前估计步长。4结论一般情况下可以采用复化梯形公式、复化simpson公