例谈中学数学中的向量构造法新课标人教版

1、例谈中学数学中的向量结构法河南汤阴一中杨焕庆王国伟向量融数、形于一体，拥有几何形式与代数形式的“两重身份”，是中学数学知识的一个重要的交汇点，是联系众多知识的媒介。它宽泛应用于函数、三角函数、数列、不等式、分析几何、立体几何等知识。利用向量这个工具解题，能够简短、规范的办理数学中的很多问题。特别是办理立体几何、分析几何的相关胸怀、角度、平行、垂直、共线等问题；运用向量知识，能够使几何问题直观化、符号化、数目化，进而把“定性”研究推向“定量”研究。结构向量除有坚固的基础知识外，还特别要知道实现结构的理论基础：（1）|a|b|ab|a|b|.（2）|ab|a|b|。一.证明不等式经过结构向量，利用

2、向量的重要不等式：|a|b|ab|，或|ab|a|b|，以达证明不等式之目的。例1.设a、b、c、d均为正数，求证a2b2c2d2(ac)2(bd)2证明：结构向量m(a，b)，n(c，d)，由|m|n|mn|得a2b2c2d2(ac2(bd)2)例2.若abc，求证：a2b2c2113证明：结构向量m(a，b，c)，n(b，c，a)，p(c，a，b)则mnp(abc，bca，cab)(1，1，1)于是由|m|n|p|mnp|有3a2b2c23得a2b2c213将例1推行到更一般的形式，即有例3.若a1，a2，a3，an和b1，b2，bn都是正数，则a12a22an2b12b22bn2(a1b

3、1)2(a2b2)2(anbn)2证明：结构向量m(a1，a2，an)，n(b1，b2，bn)于是，由|m|n|mn|得a12a22an2b12b22bn2(a1b1)2(a2b2)2(anbn)2从上述证明，发现条件a1，a2，an和b1，b2，bn是正数是剩余的。并且利用|m|n|mn|还能够推出a12a22an2b12b22bn2(a1b1)2(a2b2)2(anbn)2例4.设随意实数x，y知足|x|1，|y|1，求证：1121x21y21xy证明：结构向量a(1x2，1y2)，b(1x2，1y2)11由向量数目积性质(ab)2|a|2|b|2得4(1212)(1x21y2)1x1y因

4、此114421x21y22(x2y2)22xy1xy即112x21y21xy1例5.设a，b为不等的正数，求证(a4b4)(a2b2)(a3b3)2证明：结构向量m(a2，b2)，n(a，b)，则(a3b3)2(mn)2|m|2|n|2cos2|m|2|n|2(a4b4)(a2b2)由于a，b为不相等的正数，因此mn，即0，因此(a4b4)(a2b2)(a3b3)2例6.已知x0,y0，且x+y=1，求证：(11)(11)9。xy证明：结构向量a(1,1),b(1,1)，则ab11，而xyxy|a|b|1111(11)(11)，xyxy由|ab|a|b|，得|2|a|2b|2ab|因此(11)

5、(11)(11)2(1x2)29xyxyy例7.求证：(acbd)2(a2b2)(c2d2)证明：设OA(a,b),OB(c,d)1）当OA,OB2）当OA,OB起码有一个为零时，所证不等式00建立；都不是零向量时，设其夹角是，则有cosOAOBacbd，|OA|OB|a2b2c2d2由于|cos|1，即(acbd)2(a2b2)(c2d2)点拨：只需实质上，甚至形式上和向量沾点边的，都是向量的亲戚，用向量去思虑，没错！二.研究等量关系例8.已知：sin4xcos4x1(a0,b0)。abab证明：关于任何正整数n都有sin2nxcos2nx(a1an1bn1b)n1剖析：借助向量不等式|ab

6、|a|b|等号建立的条件，结构向量，可化难为易。证明：结构向量p(sin2x,cos2x),q(a,b)，则pqsin2xcos2x1ab|p|q|sin4xcos4xab1，因此pq|p|q|，故p,q同向，则pqab即sin2xa,cos2xb，因此sin2xcos2x代入题设得：abab(sin2xcos2x)a1a1，bb于是sin2nxcos2nxsin2x(sin2x)n1cos2x(cos2x)n1n11an1bn1ab(ab)n1因此sin2nxcos2nx1an1bn1(ab)n1例9.已知coscoscos()3，求锐角,。2,剖析：此题假如直接进行三角恒等变换，较难求出的

7、值。换一种思路，引入向量，问题水到渠成。解：由已知得(1cos)cossinsin3cos，2结构向量a(1cos,sin),b(cos,sin)，则ab(1cos)cossinsin3cos，|a|b|22cos231由|ab|2|a|2|b|2，得(cos)222cos，即(cos)20122cos，则sin()12336三.求值域或最值例10.求函数yx3109x2的最大值。剖析：此题是求无理函数的最值问题，按惯例方法求解有必定的难度，若正确结构向量，利用向量数目积的性质|ab|a|b|解答，将会使求解特别简单。解：原函数可变成y313x109x2，设f(x)13x109x2，由于33(

8、3x)2(109x2)210，因此结构向量a(1,1),b(3x,109x2)由3|ab|a|b|得|13x109x2|(1)212(3x2)(109x2)210，333进而y3101，当且仅当109x23x,x1时，ymax133333例11.求函数yx2x1x2x1的值域。剖析：剖析函数分析式的特点，结构上靠近两个向量的差，于是结构向量。解：设a(x1,3),b(x1,3)，y|a|b|，a,b不共线2222|a|b|ab|1，即1y1例12.已知x0,y0，且x+y=1，求2x12y1的最大值证明：结构向量a(1,1),b(2x1,2y1)依据(ab)2|a|2|b|2得：(12x112y1)2(11)(2x12y1)即12x112y1822故2x12y1最大值为22.利用向量数目积的一个重要性质|ab|a|b|，变形为|ab|2|a|2|b|2能够解决不等式中一类含有乘积