X射线衍射part1课件

1、第五章 X射线衍射分析施德安deanshi2001参考书1、X射线原理与应用刘粤惠，刘平安 化学工业出版社2、X射线衍射分析杨子兴，漆瑢 上海交通大学出版社3、电子显微分析章晓中 清华大学出版社4、扫描电镜与能能谱仪分析技术张大同 华南理工大学出版社5、晶态聚合物结构与X射线衍射莫志深、张宏放、张吉东 科学出版社6、材料分析方法周玉 哈尔滨工业大学出版社7、材料分析检测技术谷亦杰、宫声凯 中南大学出版社主要内容X射线的物理基础X射线衍射原理（布拉格方程）X射线衍射方法在材料研究中的应用X射线的历史1895年，著名的德国物理学家伦琴发现了X射线；1901年诺贝尔奖1912年，德国物理学家劳埃等人

2、发现了X射线在晶体中的衍射现象，确证了X射线是一种电磁波；1914年诺贝尔奖1913年，英国物理学家Bragg父子利用X射线衍射测定了NaCI晶体的结构，从此开创了X射线晶体结构分析的历史；1915年诺贝尔奖X射线的历史英国物理学家巴克拉发现了特征X射线；1917年诺贝尔奖英国物理学家康普顿发现了非弹性散射；1927年诺贝尔奖荷兰物理学家德拜用X射线衍射法研究分子结构1936年诺贝尔化学奖X射线的产生高速运动的电子流 射线X 射线中子流高能辐射流在突然被减速时均能产生X射线 X射线管X射线管示意图 X射线管的工作原理X射线管电子枪：产生电子并将电子束聚焦，钨丝烧成螺旋式，通以电流钨丝烧热放出自

3、由电子。金属靶：发射x射线，阳极靶通常由传热性好熔点较高的金属材料制成，如铜、钻、镍、铁、铝等。 X射线管的工作原理 整个X射线光管处于真空状态。当阴极和阳极之间加以数十千伏的高电压时，阴极灯丝产生的电子在电场的作用下被加速并以高速射向阳极靶，经高速电子与阳极靶的碰撞，从阳极靶产生X射线，这些X射线通过用金属铍（厚度约为0.2mm）做成的x射线管窗口射出，即可提供给实验所用。1. X射线是一种电磁波，具有波粒二象性；2. X射线的波长： 102 102 3. X射线的波长 （ ）、振动频峰 （Hz） 和传播速度C（ms-1）符合 = c / X射线的性质4. X射线可看成具有一定能量E、动量P

4、、质量m的X光流子 E = hv P = h / h 为普朗克常数，h = 6.62617610-27尔格，是1900年普朗克在研究黑体辐射时首次引进，它是微观现象量子特性的表征。X射线的性质X射线的性质 X射线具有很高的穿透能力，可以穿过黑纸 及许多对于可见光不透明的物质； X射线肉眼不能观察到，但可以使照相底片 感光。在通过一些物质时，使物质原子中的 外层电子发生跃迁发出可见光； X射线能够杀死生物细胞和组织，人体组织 在受到X射线的辐射时，生理上会产生一定 的反应。X射线谱连续谱： 强度随波长连续变化的连续谱。特征谱：波长一定、强度很大的特征谱特征谱只有当管电压超过一定值Vk（激发电压）

5、时才会产生，只取决于光管的阳极靶材料，不同的靶材具有其特有的特征谱线。特征谱线又称为标识谱，即可以来标识物质元素。X射线谱Ii1i2i3管流i3 i2 i10m连续X射线谱随着电流的升高，短波限和最大强度的峰值不变，连续谱的强度不断增加。连续X射线谱随着电压的升高，短波限降低，连续谱的强度不断增加，最大强度的峰值向短波方向移动IMoAgW不同阳极0m连续X射线谱当电压和电流都不变时，随着靶材料原子序数的升高，短波限和最大强度的峰值不变，连续谱的强度不断增加。最短波长限0连续X射线谱X射线连续谱的强度随着X射线管的管电压增加而增大，最大强度所对应的波长max变小，最短波长界限0减小；连续谱的总强

6、度可表达为：k为常数，Z为阳极材料的原子序数，i为管电流，V为管电压。连续X射线谱当用W作为阳极， k1.110-9，Z74，V=100kV时, 1%。X射线管的效率很低转靶应该提高电压还是电流？原子能级及电子跃迁时产生特征X射线的情况 特征X射线Mo靶X光管发出X光谱强度（35kV时） K系标识X射线的激发： 要使得靶材料的K层电子被激发出去，加速电子的能量eVk应该大于K层电子的结合能Ek，通常为了得到高信躁比的特征谱线，工作电压V一般为Vk的35倍。 K系标识X射线： 当K层的电子被激发出去后，对于从L，M，N 壳层中的电子跃入K壳层空位时所释放的X射线，分别称之为K 、 K 、 K谱线

7、，共同构成K系标识X射线。L壳层有3个不同能量的状态(E2,0,1/2; E2,1,1/2; E2,1,3/2). 然而2s轨道上的电子向1s空位上的跃迁是禁阻的; 而2p电子向1s空位上的跃迁是允许的. 这样当2p两个状态的电子向1s轨道跃迁时, 将产生两条线状光谱K1K2. 当3p两个状态的电子向1s轨道跃迁时, 将产生谱线K1K2.事实上, 因为K1K2能量间隔太小, 即使用分辩率较高的仪器也难以分辨出来; 而K1K2能量间隔较大, 在低分辩率的仪器上虽不可分, 但在高分辩率的仪器上可分. 实验表明, 2p电子向1s空位跃迁的几率远大于3p电子向1s空位跃迁的几率.一些金属的特征X射线

8、产生物理、化学和生化作用，引起各种效应，如：使一些物质发出可见的荧光；使离子固体发出黄褐色或紫色的光；破坏物质的化学键，使新键形成，促进物质的合成引起生物效应，导致新陈代谢发生变化；x射线与物质之间的物理作用，可分为X射线散射和吸收。X射线与物质的作用X射线与物质的相互作用H热能入射X射线强度为I0透过X射线强度为I=I0e-uH荧光X射线电子散射X射线强度为 X射线通过深度为x处的dx厚度物质时，其强度的相对衰减与dx成正比：其中： 为线吸收系数（与物质种类有关）积分得：X射线的吸收通常将X射线的吸收写成下列公式：其中：I 透过强度； I0 入射强度；x 物质厚度； 物质密度； 质量吸收系数

9、 (cm2/gm).X射线的吸收I0I,xIx质量吸收系数的大小与入射X射线的波长及吸收体材料的原子序数有关：吸收与原子序数的关系吸收与波长的关系产生X射线荧光X射线的滤波利用上述吸收突变原理，可以合理地选用滤波材料。例如为使Cu的K和K两条特征谱线中去掉一条，可以选择Ni制成薄片，置于入射线束的光路中，滤片将强烈地吸收K特征谱峰，而对K则很少吸收，这样就可以实现单色的特征辐射。 通常选择其吸收限波长刚好在靶材料的K 线和K线之间的材料作为滤波材料。一般是比靶材料原子序数小1或2的元素。目前大多数衍射仪都是通过单晶单色器来获得特定波长的X射线。滤波材料的选择靶材料的选择为了避免产生荧光X射线而

10、造成强烈的吸收，靶材料的原子序数与样品材料的原子序数有如下关系：X-射线衍射分析应用物相分析 定性分析定量分析单一物相的鉴定或验证混合物相的鉴定晶体结构分析点阵常数（晶胞参数）测定晶体对称性（空间群）的测定晶系的测定晶体取向晶粒度测定宏观应力分析X射线衍射晶体学基础 能反映整个结点分布所具有的周期性和对称性； 棱与棱之间的直角尽可能最多； 体积最小。晶胞通常为平行六面体，单位平行六面体的棱长a、b、c及夹角、称晶格常数。 晶胞的选择 晶系 晶轴及夹角 晶胞立方a=b=c=90oaac四方a=bc=90obac正交abc=90oa三方a=b=c=90o六方a=bc=90o =120ocab单斜a

11、bc=90obac三斜abc90oc七个晶系ab 立方晶系： a = b = c, = 90； 简单立方、体心立方、面心立方 四方晶系： a = b c, = 90； 简单四方、底心四方 六方晶系： a = b c, = 90, =120； 简单六方 三方晶系： a = b = c, =90； 简单三方 正交晶系： a b c, = 90； 简单正交、底心正交、体心正交、面心正交 单斜晶系： a b c, = 90, 90； 简单单斜、底心单斜 三斜晶系： a b c, 90； 简单三斜14个点阵晶体定向：选择坐标轴(晶轴)和确定轴单位。晶轴选择 反映晶体的对称性，优先顺序依次为：对称轴倒转轴

12、 对称面法线晶棱。 三轴定向：五个晶系（立方、四方、斜方、单斜、三斜） 四轴定向：三方、六方晶系。 三轴定向四轴定向的3个水平轴轴单位（晶轴上的单位长） 晶轴的轴单位就是该晶轴行列的结点间距。直接用a、b、c表示。 对晶体外形研究，不能定出轴单位的实长（结点间距）， 但通过晶体测量能标出其比率a：b：c，此比率称为轴率 (或轴单位比)。 轴率a：b：c和轴角、合称为晶体几何常数。晶向及晶向指数晶向：通过晶格中任意两个格点的直线称为晶列，晶列的取向称为晶向。描写晶向的一组数为晶向指数。(1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有格点；(2)晶列上格点分布是周期性的；(3)晶列族中的每一个晶列上格点分

13、布是相同的；(4)在同一平面内相邻晶列间的距离相等。晶向指数的确定 晶向指数只规定晶向而不涉及它具体的位置，因而任何晶向都可平移到坐标原点0，故晶向指数确定的步骤为： 选定晶轴X、Y、Z和a、b、c为轴单位； 平移晶向（棱）直线过原点； 在该直线上任取一结点M，将其投影至X、Y、Z轴得截距 OX0、OY0、OZ0； 作OX0/a：OY0/b：OZ0/c = u：v：w（最小整数比）； 去掉比号，加中括号，u v w即为晶向符号。 晶向指数的图示没有求倒数的步骤。有正负，负值表示方法和晶面符号相同，如00 。但对晶向符号，对应指数的绝对值相等而符号相反的两个晶向是同一晶向方向，如001和00 是

14、同一晶向方向。等效晶向表示空间位相不同但晶向上原子排列完全相同的晶向组合补充说明：晶面及晶面指数晶面：在晶格中，通过任意不在同一直线上的三个格点的平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数为晶面指数。(1)平行晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；(2)晶面上格点分布是周期性的；(3)同一晶面族中的每一个晶面上格点分布是相同的；(4)在同一晶面族中相邻晶面间的距离相等。晶面指数又称米勒指数(英国WHMiller 1839)确定步骤： 按晶体定向原则进行晶体定向； 求待标晶面在X、Y、Z轴上的截距pa、qb、rc，得截距系数p、q、r ； 取截距系数的倒数比1/p：1/q：1/r = h：k：l（为最小

15、整数比）； 去掉比号、以小括号括起来，写为(h k l)。 Miller 指数 - hkl(010)4 8 3 8 4/ 1 3/ 0 1 0 h k l a b c4 8 31/4 4/8 3/3 4 2 1 4 2 1 h k l a b c补充说明： 若晶面平行于某晶轴，则该晶轴上的截距系数为，其倒数1/为0，即晶面在该晶轴上的指数为0。 如果晶面与晶轴相交于负端，则在指数上部标一“-”号，如（00 ）。 互相平行的晶面可用同一晶面指数表示，即(h k l)可代表相互平行的一组晶面。 在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定相互垂直。等效晶向及晶面族abcabc(111)110与晶向

16、uvw等效的一组晶向用 表示:100,010,001100,010 and 001 晶面族 hkl代表一组与晶面(hkl)等效的晶面：110:(101),(011),(110)(101),(101),(101),etc. (110)111晶面间距是指两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常用dhkl或简写为d来表示。各晶系的面间距有不同的公式，如：立方晶系晶面间距四方晶系正交晶系六方晶系在晶体结构或空间点阵中， 与某一取向平行的所有晶面均属于同一个晶带。同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那条直线称为晶带轴。晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数。晶带晶带定律根据晶带的定义，同一晶带中所

17、有晶面的法线都与晶带轴垂直。 由此可得：hu+kv+lw=0这也就是说，凡是属于 uvw晶带的晶面，它们的晶面指数（hkl）都必须符合上式的条件。我们把这个关系式叫作晶带定律。晶带定律的应用立方晶系中：可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直；可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平行于该晶面）；若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶带；若已知两个晶带面为（h1 k1 l1)和(h2 k2 l2),则可用晶带定律求出晶带轴；已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；已知一个晶面及其面上的任一晶向，可求出在该面上与该晶向垂直的另一晶向；已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出过该晶向且垂直

18、于该晶面的另一晶面。晶体的X射线衍射非相干散射（康普顿散射）当入射X射线光子与物质中的某些电子（例如外层电子）发生碰撞时，由于这些电子与原子间的结合松弛，可以近似地看成是自由电子，碰撞的结果，X射线光子将一部分能量传递给电子，使电子脱离原子而形成反冲电子，同时光子本身也改变了原来的前进方向，发生了散射。这种散射由于各个光子能量减小的程度各不相同，即每个散射光子的波长彼此不等，因此相互不会发生干涉，故称为非相干散射。非相干散射线的波长比入射X射线的能量小、波长大。在X射线衍射分析中只增加连续背景，给衍射图带来不利影响。相干散射（汤姆逊散射）当入射X光子与物质中的某些电子（例如内层电子）发生碰撞时

19、，由于这些电子受到原子的强力束缚，光子的能量不足以使电子脱离所在能级的情况下，此种碰撞可以近似地看成是刚体间的弹性碰撞，其结果仅使光子的前进方向发生改变，即发生了散射，但光子的能量并未损耗，即散射线的波长等于入射线的波长。此时各散射线之间将相互发生干涉，故成为相干散射。相干散射是引起晶体产生衍射线的根源。X射线是一种波长很短的电磁波, 当X射线通过晶体时,晶体中的电子均处于周期性变化的电磁场作用下, 带负电的电子受电场的作用其运动速度必产生周期性的变化. 根据经典电动力学的原理, 速度发生周期性变化的电子, 也即按一定的周期作振动运动的电子, 它本身就是发射球面电磁波的波源. 相干散射的本质由

20、于电子随着入射X射线的电场起伏, 振动. 其振动频率和相位与入射X射线相一致. 这样, 由于电子振动产生的球面波的散射X射线与入射X射线相同, 并且还继承了原入射X射线的频率和相位 .由于晶体具有点阵结构，各晶胞散射的X射线在给定的方向有固定的光程差，当光程差为波长的整数倍时，各散射X射线之间有最大程度的相互加强。结晶学将最大程度的加强称为衍射，发生最大程度加强的方向称为衍射方向。沿衍射方向前进的波称之为衍射波。测定衍射的方向可以决定晶胞的形状和大小。 衍射就是相干的散射一个颗粒晶体材料各个方向的散射.散射波在某些特定的方向增强，在其它方向相消.当Laue用一束连续的X射线照射CuSO4单晶的

21、时候，得到如下离散的衍射斑点：衍射方向由劳埃方程和布拉格方程描述, 它们分别以直线点阵和平面点阵为出发点, 原则上, 它们是等价的。 劳埃方程 直线点阵的劳埃方程和物理图像 如果直线点阵所代表的结构基元之间散射的次生X射线互相加强, 则要求相邻点阵点的光程差为波长的整数倍. 一维点阵的单位矢量为a（即周期为|a|），入射X光单位矢量为S0，散射单位矢量为Sh为衍射级数，其值为0，1，2 = AB DC = hLaue方程ABCDa0aS0SAB = a SDC = a S0以矢量表示： = a S - a S0 = a (S - S0) = hABCDa0aS0S = AB DC = h =

22、a cos a - a cos 0 = a (cos a - cos 0 ) = hAB = a cos a DC = a cos 0 以三角函数表示： = AB DC = hABCDa0aS0S若X射线垂直于一维点阵入射， 即 0 = 90，上式成为a cos a = h底片原子列（一维点阵）h=2 h=1 h=0 h=-1 h=-2faa (cos a - cos 0 ) = h设一直线点阵的点阵参数为a=5.63, 入射角为600, X射线的波长为1.542, 求可能的衍射线的衍射级次和方向.第0级衍射总是存在的, 令h=0,代入劳埃方程, 则coso=cosa, a=60o (a=30

23、0o舍去)第1级 a=39.3o第-1级 a=76.9o第2级 cosa=1.048 无解第-2级 a=92.7o第-3级 a=108.8o第-4级 a=126.6o第-5级 a=150.5o第-6级 cosa=-1.143 无解二维点阵：按周期a，b分别沿X、Y轴构成原子网面。衍射方向发生在以X轴和Y轴为轴线的两族衍射锥的相交线上，不是连续的衍射锥，而是不连续的衍射线a (cos a - cos a0 ) = hb (cos b - cos b0 ) = ka (S - S0) = hb(S - S0) = kSSS0OXYaa0bb0类似地，有二维Laue方程：三维点阵：按周期a，b，c分

24、别沿X、Y、Z轴构成原子立体网。a (cos a - cos a0 ) = hb (cos b - cos b0 ) = kc (cos c - cos c0 ) = l三维Laue方程:a (S - S0) = hb (S - S0) = kc (S - S0) = l三方程同时满足：X轴、Y轴、Z轴为轴线的三个衍射圆锥相交，衍射方向是三圆锥公共交点的方向。S0SOXYZ对于直角晶系由于同时需要满足:cos2a+ cos2b + cos2c =1a (cos a - cos a0 ) = hb (cos b - cos b0 ) = kc (cos c - cos c0 ) = l因此，a

25、，b ，c 中只有两个变量是独立的。数学上说, 当我们用固定波长的X射线照射晶体样品时，上式中a, b, c, 为常数, 而a ，b ，c三个变量中只有两个是独立变量, 则两个独立变量不一定可以使三个方程同时成立因此，当X射线的波长一定时，沿一特定方向照射一个单晶时，可能不能形成衍射。为什么光程差只能是波长的整数倍才能发生衍射呢? 晶体X射线的衍射强度与振幅的平方成正比. 对于两个相同点的衍射来说, 振幅A1=A2, 设位相差为, 合振幅A由矢量合成决定. 当=0(波程差为波长的整数倍)时, A有极大值2A1. 当0时, A=2A1cos(/2) 点的数目很大时(比如104)多个散射波合成,

26、如果=0则A=104A1, 然而即使是一个不等于0的很小的值, 也有A(0)A(=0)=104A1.布拉格（Bragg）方程 劳埃方程是把空间点阵看成是互不平行互相贯穿的三组直线点阵，由此出发得到的衍射条件；布拉格方程是把空间点阵看成是理解为互相平行间距相等的一组平面点阵，而由此推得的衍射条件。入射线和衍射线之间的夹角为2 ，为实际工作中所测的角度，习惯上称2角为衍射角，称为Bragg角。qO2对于平面点阵中的一组点阵面（hkl），要求面上各点的散射线同位相，互相加强，则要求入射角和布拉格角相等，入射线衍射线和平面法线共面，这样各点阵点散射线位相差为0。Bragg方程 2d sin q = n

27、l光程差必须为波长的整倍数=AO+OB = 2dsinn为整数d 为晶面间距qdddqqAOBq(a)可见光在任意入射角方向均能产生反射，而X射线则只能在有限的布拉格角方向才产生反射。(b)虽然Bragg借用了反射几何，但衍射并非反射，而是一定厚度内许多间距相同晶面共同作用的结果。其衍射线强度较可见光反射强度弱很多。(1)X射线衍射与可见光反射的差异关于Bragg方程的讨论1212ABChkldhkl有些情况下晶体虽然满足布拉格方程，但不一定出现衍射线，即所谓系统消光。(2)布拉格方程是X射线在晶体产生衍射的必要条件而非充分条件（3） 衍射的限制条件 由布拉格公式2dsin=n可知，sin=n

28、/2d，因sin1，故n/2d 1。为使物理意义更清楚， 现考虑n1（即1级反射）的情况，此时/2/2的晶面才能产生衍射。例如一组晶面的间距从大到小的顺序：2.02，1.43，1.17，1.01 ，0.90 ，0.83 ，0.76 当用波长为k=1.94的铁靶照射时，因k/2=0.97，只有四个d大于它，故产生衍射的晶面组有四个。如用铜靶进行照射， 因k/2=0.77， 故前六个晶面组都能产生衍射。（4） 衍射面和衍射指数 为了使用方便， 常将布拉格公式改写成。如令 ，则这样由（hkl）晶面的n级反射，可以看成由面间距为的（HKL）晶面的1级反射，（hkl）与（HKL）面互相平行。面间距为的晶

29、面不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格公式而引入的反射面，常将它称为衍射面。 例如, Cu靶, X射线波长1.542, 若晶面(110)间距为3 , 那么可能的衍射级数和对应的布拉格角如何. 因为 sin=n/2d=0.257nn=1(一级衍射), =14.90, 衍射指数=110, 一级衍射的衍射指标和晶面指标相同, 一级衍射时相邻的晶面散射线的波程差差一个;n=2(二级衍射), =30.90, 衍射指数=220, 二级衍射时相邻的晶面散射线的波程差差二个;n=3(三级衍射), =50.40, 衍射指数=330, 三级衍射时相邻的晶面散射线的波程差差三个;n=4不存在,晶体的(110)

30、面贡献了三个衍射方向(14.90,30.90,50.40), 它们对应的衍射指数为110, 220, 330. 与Bragg方程相比，Laue方程过于复杂而没有实际应用的价值。但是Laue方法可以形象地描述一组晶面在受到波长一定的X射线照射时，如果产生衍射，其在离样品一定距离的底片上将留下一个衍射斑点。一组晶面一个衍射斑点与Bragg方程相比，Laue方程并没有规定所谓的衍射角与入射角之间的倍数关系。这更接近衍射的本质。但Laue方程过于复杂，难以实际应用。倒易点阵 晶体中的原子在三维空间周期性排列，这种点阵称为正点阵或真点阵。 以长度倒数为量纲与正点阵按一定法则对应的虚拟点阵-称倒易点阵它是

31、Ewald于1920年提出，由纯数学变换而得到定义倒易点阵定义倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵异名矢量构成的平面所以有:(仅当正交晶系）OABDPabcC*在图中，倒易基失c*垂直于a, b组成的平面，c轴上节点在c*上的投影OP为晶面(001)的晶面间距的倒数。同理可得到倒易基失a*,b*。根据倒易基失a*、b*、c*，可以做出倒易阵胞。将倒易阵胞在空间平移就可以得到倒易点阵。倒易点阵中的结点就是倒易结点。AOBCNa/hb/kc/lnr*从倒易点阵原点到任一倒易结点N的失量称为倒易失量，用符号r*表示：则：ABC是(hkl) 晶面组中最靠近原点的晶面，它在坐标轴上的截距分别为：按失量运算法则

32、：OBCNa/hb/kc/lnr*用n代表r*方向的单位失量，则：ON为（hkl）晶面的面间距dhkl，则：A晶面与倒易结点的关系 晶格原点为O ，任一原子位置为A，r为由O指向A的矢量。r = p1a1 + p2a2 + p3a3入射波长为， S0与S为入射与散射单位矢量p1,p2,p3 均为整数OASS0r散射光入射光S0S单位矢量即长度为1的矢量衍射方向的一般考虑OAbbSS0r散射光入射光S0可看出入射与散射角均为，b垂直于水平线，即与S与S0的中分线重合。b与r的夹角为 。作水平与垂直辅助线S0SbSS0b = S-S0为求O点与A点间的光程差 ，设有另一原子位置为A，可 以看出A与A间无光程差。故O与A间光程差的问题就转化为O与A间光程差的问题OAAbbSS0散射光入射光S0SS0rOQPPabbSS0r散射光入射光AS0S0|b|=|S-S0|=2sin故 = |b|r|cos=br光程差 = QO+OP=2|r|cossinbSS0为研究问题方便，令入射与散射单位矢量分别为S0/和S/， 定义s = S/-S0/ = br = (S-S0) r 必须为波长的整倍数即必须为整数sS/S0/即 s r 必须为整数r的三个分量均为整数，故 s 的三个分量也必为整数s r 必须为整数 s 的量纲为(长度-1)，故为指向一个倒易点的矢量s