新高考论坛新课标数学理一轮教师备课练习77立体几何中的向量方法

1、第七节立体几何中的向量方法考情展望1.观察利用空间向量判断、证明空间中的线面位置关系.2.观察利用向量求空间角的大小.3.以解答题为主要观察形式一、直线的方向向量和平面的法向量1直线的方向向量：假如表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量2平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线12的方向向量分别为1212?n1n2l，lllnnn1，n2l1212?n120lnnn直线l的方向向量为n，平面lnm?nm0的法向量为mlnm?nm平面，的法向量分别为n，nm?nmmnm?nm0二、利

2、用空间向量求空间角1求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角a，b范围00，2abcos|cosa，b关系|ab|ab|cosa，b|a|b|a|b|2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为|an|，则sin|cosa，n|a|n|.3求二面角的大小(1)若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则-二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图771)图771(2)设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小

3、(如图771)利用空间向量求点面距离如图，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面|ABn|的距离为|BO|n|.1设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量若，则t()A3B4C5D6【分析】，则uv262(4)4t0，t5.【答案】C2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，1n2，则l与所成的角为()A30B60C120D150【分析】设l与所成的角为.1cosm，n2，1sin|cosm，n|2.又直线与平面所成角满足090，30.【答案】A3若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()a(1,0,0)，n(2,0,0)

4、Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)【分析】若l，则an0，经验证知D满足条件【答案】D4已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A45B135C45或135D90【分析】cosm，nmn12|m|n|122，m，n45，其补角为135.两平面所成二面角为45或135.【答案】C图7725(2012陕西高考)如图772所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA111，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()BC55253A.5B.3C.5D.5【分析】不如令

5、CB1，则CACC12.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，-BC(0,2，1)，AB(2,2,1)，11-41151111BCAB-5595|BC1|AB1|-BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为55.【答案】A6(2013大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()2321A.3B.3C.3D.3【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，-C(0,1,0)，B(1,1

6、,0)，C1(0,1,2)，则DC(0,1,0)，DB(1,1,0)，DC1(0,1,2)设平-面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则nDB，nDC1，xy0，令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，因此有y2z0，-nDC2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin|cosn，DC|-|n|DC|23.【答案】A考向一133利用空间向量证明平行、垂直如图773所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角图773(1)求证：CM平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PAD.-

7、【思路点拨】(1)建立空间直角坐标系，方法一：证明CM与平面PAD的法向量垂直；方法二：证明CM与平面PAD内两个不共线共面(2)取AP的中点E，利用向量证明BE平面PAD即可【试试解答】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立以下列图的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC23，PB4.D(0,1,0)，B(23，0,0)，33A(23，4,0)，P(0,0,2)，M2，0，2，-(2-3，3，DP(0，1,2)，DA3，3,0)，CM202-(1)法一令n(x，y，z)为平面PAD的一个法

8、向量，则DPn0，即-DAn0，1y2z0，z2y，23x3y0，3x2y，令y2，得n(3，2,1)-33nCM3220120，nCM，又CM?平面PAD，CM平面PAD.法二-，-，(0,12)PA(22)34-令CMxPDyPA，则3223y，x1，0 x4y，方程组有解为13y4，22x2y，-CMPD4PA，由共面向量定理知CM与PD、PA共面，又CM?平面PAD，CM平面PAD.-(2)取AP的中点E，则E(3，2,1)，BE(3，2,1)PBAB，BEPA.-又BEDA(3，2,1)(23，3,0)0，-BEDA，BEDA，又PADAA.BE平面PAD，又BE?平面PAB，平面P

9、AB平面PAD.规律方法11.合适建立坐标系，正确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的要点.2.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数目积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，而后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转变成向量运算.3.证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转变成直线与直线垂直证明.对点训练图774如图774所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC

10、；(2)B1F平面AEF.【证明】如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)，又C(0,4,0)，D(2,0,2)，-(2,4,0)，DE(2,4,0)，NC-DENC.DENC，又NC在平面ABC内，故DE平面ABC.(2)B1F(2,2，4)，-EF(2，2，2)，AF(2,2,0)，-B1FEF(2)22(2)(4)(2)0，-则B1FEF，B1FEF，-B1FAF(2)222(4)00，-B1FAF，即B1FAF.又AFEFF，B1F平面AEF.考向

11、二134利用空间向量求线线角和线面角(2013湖南高考)图775如图775，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值【思路点拨】(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法证明线线垂直(2)求出平面ACD1的一个法向量，再利用线面角公式求解【试试解答】(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1

12、,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)-1从而BD(t,3，3)，AC(t,1,0)，BD(t,3,0)-2由于ACBD，因此ACt300.BD解得t3或t3(舍去)-于是B1D(3，3，3)，AC(3，1,0)-，由于AC3300，因此ACBB1D1D即ACB1D.-(2)由(1)知，AD1(0,3,3)，AC(3，1,0)，B1C1(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，-3xy0，nAC0，则即-3y3z0.nAD10，令x1，则n(1，3，3)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则-nB1C1321，sin|cosn，B1C1|-|771

13、1|n|BC即直线B11与平面ACD1所成角的正弦值为21C7.规律方法21.利用向量法求异面直线所成的角时，注意向量的夹角与异面直线所成的角的异同.同时注意依据异面直线所成的角的范围0，2得出结论.2.利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转变成求两个方向向量的夹角或其补角；二是经过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其他角就是斜线和平面所成的角.对点训练(1)如图776所示，图776在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所

14、成角的大小是_(2)如图777所示，在棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PAADDC2，AB4且ABCD，BAD90.图777求证：BCPC求PB与平面PAC所成角的正弦值【分析】(1)分别以BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设AB1，则B(0,0,0)，E1，0，0，F0，0，1，C1(0,1,1)，22-11-EF2，0，2，BC1(0,1,1)-1-21EFBCcosEF，BC1-2，2|EF|BC1|22直线EF和BC1所成角的大小为60.【答案】(1)60(2)在直角梯形ABCD中，AC22，取AB中点E，连接CE，则四边形AECD

15、为正方形，1AECE2，又BE2AB2，则ABC为等腰直角三角形，ACBC，又PA平面ABCD，BC?平面ABCD，PABC，由ACPAA得BC平面PAC，PC?平面PAC，因此BCPC以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴，建立以下列图的坐标系则P(0,0,2)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，-BP(0，4,2)，BC(2，2,0)-由(1)知BC即为平面PAC的一个法向量，-BCBP10cosBC，BP-5，|BC|BP|10即PB与平面PAC所成角的正弦值为5.考向三135利用空间向量求二面角(2013陕西高考)如图778，四棱柱ABCDA111D1的底面BCABCD是

16、正方形，O为底面中心，1平面ABCD，12.AOABAA(1)证明：A1C平面BB1D1D；1与平面BB1D1D的夹角的大小(2)求平面OCB图778【思路点拨】(1)依据题目条件建立空间直角坐标系，并用坐标来表示点和向量，再利用直线的方向向量与平面内的向量垂直证明线面垂直；(2)先求出法向量，再进一步求解两个平面所成的夹角，要注意角的范围【试试解答】(1)证明方法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以为原点建立以下列图的空间直角坐标系ABAA12，OAOBOA11，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，A1(0,0,1)-由A1B1AB，易得B1(1,

17、1,1)-A1C(1,0，1)，BD(0，2,0)，BB1(1,0,1)，-A1CBD0，A1CBB10，A1CBD，A1CBB1，A1C平面BB1D1D.方法二：A1O平面ABCD，A1OBD.又四边形ABCD是正方形，BDAC，BD平面A1OC，BDA1C.又OA1是AC的中垂线，A1AA1C2，且AC2，222ACAA1A1C，AA1C是直角三角形，AA1A1C.又BB1AA1，A1CBB1，又BB1BDB，A1C平面BB1D1D.(2)设平面OCB1的法向量n(x，y，z)-OC(1,0,0)，OB1(1,1,1)，-x0，nOCx0，-yz.nOB1xyz0，取n(0,1，1)，由(

18、1)知，A1C(1,0，1)是平面BB1D1D的法向量，-11cos|cosn，A1C|.222又02，3.规律方法31.利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是经过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于n1，n2或n1，n2.2.利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.对点训练(2013课标全国卷)图779如图779，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，2AA1ACCB2AB.(1)

19、证明：BC1平面A1CD.(2)求二面角DA1CE的正弦值【解】(1)证明连接AC1，交1于点F，则F为AC1的中点又D是ACAB的中点，连接DF，则BC1DF.由于DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，因此BC1平面A1CD.2(2)由ACCB2AB，得ACBC.以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立以下列图的空间直角坐标-系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD(1,1,0)，CE(0,2,1)，CA1(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，-x1y10，nCD0，则即-2x12z10.1可取n(1，1，1)同理，

20、设m是平面A1CE的法向量，mCE0，则可取m(2,1，2)-mCA0，1nm36从而cosn，m|n|m|3，故sinn，m3.即二面角61CE的正弦值为.DA3规范解答之十三利用空间向量解决开放性问题1个示模范1个规范练(12分)已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，图7710点D为AC的中点，点E在线段AA1上(1)当AEEA112时，求证DEBC1；(2)能否存在点E，使二面角DBEA等于60，若存在求AE的长；若不存在，请说明原由【规范解答】(1)证明：连接DC1，由于ABCA1B1C1为正三棱柱，因此ABC为正三角形，又由于D为AC的中点，因此BDAC，1分又平面AB

21、C平面ACC1A1，因此BD平面ACC1A1，因此BDDE.3分3由于AEEA112，AB2，AA13，因此AE3，AD1，因此在RtADE中，ADE30，在RtDCC1中，C1DC60，因此EDC190，即EDDC1，因此ED平面BDC1，BC1?面BDC1，因此EDBC1.6分(2)假设存在点E满足条件，设AEh.取A1C1的中点D1，连接DD1，则DD1平面ABC，因此DD1AD，DD1BD，分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，3，0)，E(1,0，h)，8分-因此DB(0，3，0)，DE(1,0，h)，AB(1，3，0)，AE(0,0，h)，设平面DBE的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，n1DB0，3y10，则令z11，得n1(h,0,1)，-x1h