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1、北京大学数学学院期末试题 20102011学年第二学期考试科目 高等代数II 考试时间 201姓 名 学 号 判断对错, 正确的请给出简要证明, 错误的举出反例. （24分）只要A是幂零矩阵, 就有 | I + A | = 1 .设 F 5是包含5个元素的有限域, A为F 5上的方阵.若A满足3 A 3 + A 2 + 2A = I , 则A可以在F 5上对角化.若线性变换 A 满足 Ker A Im A = 0 , 则A 2 = A .若A是实矩阵, 满足 AT = A , 则 I + A 一定可逆.填空题（20分）在 R x 1 , x 2 , x 3 中, 由全体 10次齐次多项式和零多

2、项式构成的实线性空间的维数是_; 其中由全体 10次齐次对称多项式和零多项式构成的线性子空间的维数是_.已知 1 , 2 , 3 , 4是欧氏空间R4的标准正交基, 其中 1 = 1 0 0 0 T , 2 = 0 0 1 0 T , 且 3 与 1 1 1 1 T 的夹角为45 , 则 4 =_.3) 以下诸矩阵的相似等价类的分类为 _., , 三（10分）已知 R3 上的对称双线性函数 f ( a , b ) 在基底 1 , 2 , 3 下的度量矩阵为 .1) 判断 f ( a , b ) 能否构成R3 上的内积;2) 求基底 b1 , b2 , b3 , 使得 f 在此基下的度量矩阵是对角矩阵. 四（24分）已知 A是实线性空间 V上的线性变换, 且在基底 1 , 2 , 3 , 4 下的矩阵为 A = . 1) 求A 的特征多项式与最小多项式 ;2) 求 V 的根子空间分解, 写出每个根子空间的基底;3) 求 V 的一组基, 使得A的矩阵为 Jordan 标准型.五（12分）设b1 , b2 , b3 与 1 , 2 , 3分别是矩阵 B = 与 C = 的列向量. 求欧氏空间R2上的线性变换A (写出标准基下的矩阵), 使得 取到最小值.六 设A是欧氏空间Rn上的正交变换. 证明:1)（3分）A的每个复特征值

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