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文档简介

1、项目21(6.4)向量组的秩1任务21-1（6.4.1） 向量组的极大线性无关组注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.定义6.9设向量组A，如果在A中有r个向量满足：（2）任意一个向量都可被它们线性表示。它们线性无关。（1）（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示简称极大无关组。那么称 为向量组 的一个极大线性无关组。2案例如：在向量组 中， 首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。3极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向

2、量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。定理：4任务21-2 （6.4.2） 向量组的秩定义6.8 向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作案例如： 向量组 的秩为2。5（4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组线性无关向量组线性相关（3）如果向量组可以由向量组线性表示，则注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其

3、中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价。6矩阵的行秩、列秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义6.9 矩阵A的行向量组的秩，就称为矩阵A的行秩; 矩阵A的列向量组的秩，就称为矩阵A的列秩。案例如：矩阵的行向量组是7可以证明，是A的行向量组的一个极大无关组，因为，由即可知即线性无关；而为零向量，包含零向量的向量组线性相关，线性相关。所以向量组的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。8矩阵A的列向量组是可以验证线性无关，而所以向量组的一个极大无关组是所以向量组的秩是3，所以矩阵A的列秩是3。定理6.4 矩阵的秩=矩阵的行秩矩阵的列秩9向量组的秩、极大无关组的求法.（1）向量组作列向量构成矩阵A。（2）初等行变换（行最简形矩阵）r(A)=B的非零行的行数（3）求出B的列向量组的极大无关组（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为A的极大无关组。10案例 向量组求向量组的秩和一个极大无关组。解：11又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组所以，是的一个极大无关组。考虑：是否还有其他的极大无关组？与12案例 求向量组的一个

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