偏导数的应用

1、第五节 偏导数的应用Application of Partial Derivative教学目的： 会利用偏导数求空间曲线在某点的切线方程和法平面方程,会利用偏导数求曲面 在某点的切平面方程和法线方程；理解二元函数极值的概念,熟练掌握二元函数 极值与最大值、最小值的求法,会利用拉格朗日乘数法求条件极值。课题： 偏导数的几何应用; 多元函数极值；条件极值。教学重点： 二元函数的极值与多元函数的条件极值教学难点: 二元函数的极值教学方法： 精讲：多元函数极值及拉格朗日乘数法；多练:二元函数求极值教学内容：一、偏导数的几何应用空间曲线的切线和法平面设空间曲线L的参数方程为x = x(t) y = y(

2、t)z = z (t)假定x(t),y(t),z(t)均可导,X(t ),y (t ),z (t )不同时为零,曲线上对应于t二t及t二t +At 0 0 0 0 0的点分别为M (x , y , z )和M (x +Ax, y +Ay, z +Az).割线MM的方程为0 0 0 0 0 0 0 0 x - x y - y z - zo = o = oAxAyAz当M沿着曲线L趋于M时，割线的极限位置MT是L在M处的切线。上式分母同 0 0 0除以At得x-xAxAtAtAt当At T 0 (即M T M0)时，对上式取极限，即得曲线在M0点的切线方程x-x y- yz-z0 = 0 = 0

3、x (t ) y(t ) z (t )0 0 0向量T二x(t ), y (t ), z(t )是切线MT的方向向量，称为切线向量。切线向量的方 0 0 0 0向余弦即为切线的方向余弦。通过点Mo与切线垂直的平面称为曲线在Mo点的法平面。它是通过点Mo(xo, yo,zo)， 以切线向量T为法向量的平面因此，法平面方程为x(t )(x- x ) + y(t )(y - y ) + z(t )(z - z )二 00 0 0 0 0 0【例1】求螺旋线x = cost,y = sint,z = t在点(1,0,0)的切线及法平面方程.解 点(1,0,0)对应的参数 t 二 0。因为 x(t)二s

4、int,y(t)二 cost,z(t)二 1，所以切线向量T二x(0), y(0), z(0)二0,1,1,因此，曲线在点(1,0,0)处的切线方程为 x -1 y - 0 z - 0 _ T _ T在点(1,0,0)处的法平面方程为0 x ( x -1) +1 x ( y - 0) + lx ( Z - 0) = 0y + z = 0 x (【例2】求曲线y = sinx,z =上点0,=处的切线和法平面方程。解 把x看作参数，此时曲线方程为x=x y = sin xx=1,yx x=1,yx =兀X =K=cos x= -1, zx =兀X =K=12在点兀,0,处的切线方程为冗x兀Fy

5、- 0 =z x兀F-1 = 12法平面方程为1兀（x兀）-（y - 0） + 2（ z - ）= 04 x - 4 y + 2 z = 5兀2。曲面的切平面与法线设曲面S的方程为F(x,y,z) = 0,M (x ,y ,z )是曲面上的一点，假定函数F(x,y,z) 0 0 0 0的偏导数在该点连续且不同时为零，设L是曲面S上过点M的任意一条曲线，L的方程为 0 x = x(t),y = y(t),z = z(t),与点M相对应的参数为t则曲线L在M处的切线向量为0 0 0T = x(t ), y(t ),z(t )。因 L在 S 上，故有0 0 0Fx(t),y(t),z(t)=0此恒等

6、式左端为复合函数，在t = t0时的全导数为dF | =F(x ,y ,z )x(t ) + F(x ,y ,z )y(t ) + F(x ,y ,z )z(t ) = 0dt t=tx 0 0 00y 00 00z 0 0 00记n = F(x ,y ,z ),F(x ,y ,z ),F(x ,y ,z )，则T-n = 0，即n与T互相垂直。由于 x 00 0 y 00 0 z 00 0曲线L是曲面上过M0的任意一条曲线，所以在曲面S上所有过M0点的曲线的切线都与同 一向量n垂直，故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在M处的切平面.向量n是 0切平面的法向量，称为曲面在M0处的法向

7、量.切平面方程为F(x ,y ,z )(x-x ) + F(x ,y ,z )(y-y ) + F(x ,y ,z )(z-z ) = 0 x 00 00 y 00 00 z 00 00过点M与切平面垂直的直线，称为曲面S在点M处的法线，其方程为 00 x-x y- y z-z0=0=eF(x ,y z )F(x , y z )F(x , y z )x 00 0 y 00 0 z 00 0若曲面方程由z = f (x, y)给出,则可令F(x,y,z)= f(x,y,z)-z=0于是F= f, F= f, F =-1x x y y z这时曲面在M (x ,y ,z )处的切平面方程为0 0 0

8、 0 TOC o 1-5 h z f(x ,y )(x-x ) + f(x ,y )(y-y )-(z-z ) = 0 x 000 y 0000法线方程为x-x y- y z-z0 = 0 = 0f(x ,y ) f(x ,y )-1x 00 y 00【例3】求椭球面x2 + 3y2 + 2z2二6在点(1,1,1)处的切平面和法线方程.解 设 F (x, y, z) = x2 + 3 y2 + 2z2 - 6F(x,y,z)二 2x,F(x,y,z)二 6y,F(x,y,z)二 4z xyzF (1,1,1= 2, F (1,1,1)= 6, F (1,1,1)= 4 xyz故在点 (1,1

9、,1)处椭球面的切平面方程为2( x -1) + 6( y -1) + 4( z -1) = 0即x + 3 y + 2 z - 6 = 0法线方程为x -1y -1z -1132-【例4】求旋转抛物面z = x2 + y2在点(1,-1,2)处的切平面方程和法线方程。 解由z = x2 + y2得= - 2(1,-1)1) = - 2(1,-1)1) = 2 x(1,-1)=2,fy(1,-1)=2yxz z 2 = 2( x 1) 2( y +1)2x-2y-z=2即法线方程为x -1 y +1 z - 22-2-T二、多元函数极值二元函数的极彳【例5】曲面z =卜+ y2在点(0,0)有

10、极小值z = 0.【例6】曲面z = 4-4x2 -y2在点(0,0)有极大值z = 4.与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的，是一个局部概念。定义1设函数z = f (x,y)在点(x , y )的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点 00(x, y)都有f (x, y) f (x , y )0 0 0 0则称函数z = f (x, y)在点(x , y )有极大值(或极小值)f (x , y ) 而称点(x , y )为函数0 0 0 0 0 0z = f(x, y) 的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.2。极值的检验法一阶偏检验定理1(必要条件)设函数

11、z = f (x, y)在点(x, y)处有极大值,且在该点的偏导数存在，则必有 f(x , y )=0, f(x , y ) =0。x 00y 00证明 不妨设z=/(x,y)在点(x0,y。)处有极大值，根据极值定义，对(x0,y。)的某一 邻域内的任一点 (x, y) ,有f (x, y) f (x , y )00在点(x , y )的邻域内，也有f (x, y ) f (x , y )，这表明一元函数f (x, y )在x二x处取得 0 0 0 0 0 0 0 极大值。因此,有fx(x0, y0)二同理可证f(x , y ) = 0y00与一元函数类似,使一阶偏导数f(x , y )

12、= 0, f(x , y ) = 0的点(x, y)称为函数 x 00y 00z = f (x, y)的驻点。由定理1及例5、例6可以看出:二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点。二阶偏检验定理2(充分条件)设函数z = f (x, y)在定义域内的一点(x0, y0)处有二阶连续偏导数,且f(x ,y ) = 0,f(x ,y ) = 0.记f (x ,y ) = A,f”(x ,y ) = B,f” (x ,y ) = C，则x 00y 00 xx 00 xy 00yy 00当B2 - AC 0时，函数f (x, y)在点(x , y )处有极小值f (x , y )；0 0 0

13、 0当B2 - AC 0且A 0时，函数f (x, y)在点(x , y )处无极值；00(3)当B2 - AC = 0时，函数f (x, y)在点(x , y )处可能有极值，也可能无极值。00综上可得，具有连续二阶偏导数的函数z = f (x, y)，其极值求法如下：(1)先求出偏导数f(1)先求出偏导数f,f,f”，f” ;(2) 解方程组xf(x, y) = 0 xf(x, y) = 0yy xx yy，求出定义域内全部驻点;(3)求出驻点处的二阶偏导数值:A f,B f,C f，确定A = B2 AC的符xxxyyy号，并判断f (x)是否有极值，如果有,求出其极值.【例7】求函数f

14、 (x, y)二x3 + y3 - 3xy的极值.解 先求偏导数f(x, y)二 3x2 -3y,f(x, y)二 3y2 -3x xyf二 6x, f = 3,f” 二 6yxxxyyy3x 2 3 y = 0解方程组仁J八,求得驻点为(0,0),(1,1)。3y2 - 3x = 0在驻点(0,0)处,a = f (0,0) = 0,B = f (0,0) =-3,C = f (0,0) = 0，B2 - AC =xxyyyy9 0,于是(0,0) 不是函数的极值点。在驻点(1,1)处,A = f (1,1) = 6, B = f (1,1) = -3,C = f (1,1) = 6, B

15、2 - AC = -27xxxyyy0,且A = 6 0,所以点(1,1)是函数的极小值点，f(1,1)= -1为函数的极小值。3。最大值与最小值如果函数z = f (x, y)在有界闭区域D上连续，则函数在D上一定取得最大值和最小值。 如果函数的最大值或最小值在区域D的内部取得，则最大值点或最小值点必为驻点。因此， 求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值，其中最大值便是函数在闭区域D上的最 大值，最小值便是函数在闭区域D上的最小值具体问题中，常常通过分析可知函数的最大值 或最小值存在,且在定义域内部取得，又知在定义域内只有唯一驻点，于是可以肯定驻点处 的函数值便是函数的最大值或最小值.

16、【例8】求函数f (x, y) = 4- x2 - y2在D : x2 + y2 1上的最大值. 解在 D 内(x2 + y2 1),由-x4 - -x4 - x2 - y2=0, fy-y4- x2 - y2解得驻点为(0,0), f (0,0) = 2.在D的边界上(x2 + y2二1)f (x, y) = Q 4 - x2 - y2=y/3 0, y 0Sx由Sx由Sy2ax 22ay2=0，求得驻点为(32a ,32a).=0由于D为开区域,且该问题必有最小值存在，于是(3；石,五必为S的最小值点，此时z = = 3a/4，即长方体长、宽、高分别为32a, 32a，3a/4时，容器所需

17、铁皮最少，其 xy表面积为 S(3a /2, 3 a /2, 3 a /4) = 334a2 .【例10】某公司每周生产x单位A产品和y单位B产品，其成本为C(x, y) = x2 +2xy+2y2 +1000产品A,B的单位售价分别为200元和300元假设两种产品均很畅销，试求使公司获得最大 利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润。解 依题意,公司的收益函数为R(x, y) = 200 x +300y因此,公司的利润函数为P(x,y) = R(x,y)-C(x, y)=200 x+300y-x2 -2xy-2y2 -1000，得驻点 (50,50) 。P(x,y)=200-2x-2y=0

18、，得驻点 (50,50) 。xP(x,y)=300-2x-4y=0y利用二阶偏检法,求二阶偏导数P(x,y) = -2,P(x,y) = -2, P(x,y) = -4，显然二阶xxxyyy偏导数在驻点(50,50)的值为 A = -2, B = -2, C = -4, B2 - AC = -4 0, A = -2 0 .由此 可见,当产品A,B的周产量均为50个单位时，公司可获得最大利润,其最大利润为P(50,50) =11500(元)三、条件极值如果函数的自变量除了限制在定义域内以外，再没有其他限制，这种极值问题称为无条 件极值。但在实际问题中，自变量经常会受到某些条件的约束，这种对自变量

19、有约束条件的 极值问题称为条件极值.条件极值问题的解法有两种，一是将条件极值转化为无条件极值,如例 9 就是求S = xy + 2 xz + 2 yz在自变量满足约束条件xyz二a时的条件极值.当我们从约束条件中解出 a2 a 2 az = 代入S中，得S = xy +，就成了无条件极值，于是可以求解。但实际问题中xyy x的许多条件极值转化为无条件极值时，时很复杂甚至是不可能的.下面介绍条件极值的另外一 种更一般的方法拉格朗日乘数法.设(x, y)是函数z = f (x, y)在约束条件9 (x, y) = 0下的条件极值问题的极值点，如果函数f (x,y)，9 (x,y)在点(x, y)的

20、邻域内有连续偏导数(不妨设9 (x,y)丰0)，贝y元 y dz函数z = f (x, y(x) = z(x)在点x的导数=0 .由复合函数微分法，有dxf(x, y) + f(x, y)dy = 0 xy dxdy _ 9 (x, y)xdx9 (x, y)yfdy _ 9 (x, y)xdx9 (x, y)yf(x, y) + f(x, y) xyf(x, y) +9(x, y)xx9(x, y)_ o9(x, y)丿yf(x,y) 09(x, y)丿ydy代入上式,消去孑，得dx即人 f(x,y)、屮士 令_T =九，则有9 (x, y)yf(x, y ) + 九9( x, y) 0 x

21、x(*) f(x,y) + 九9 (x,y) 0yy(*)9 (x, y) 0称满足方程组(*)的点(x, y)为可能的极值点.我们构造一个函数L( x, y,九)f (x, y) + 九9( x, y)贝( *)等价于L (x,y,九)f(x,y) +九9(x,y) 0 xxx L (x, y,九)f(x, y) +九9 (x, y) 0 yyyLJ x, y,九)9 (x, y) 0 于是，用拉格朗日乘数法求解条件极值问题可归纳为以下步骤： (1)构造拉格朗日函数L(x,y,九)f (x,y) +九9(x,y)，九称为拉格朗日乘数;(2) 解方程组L (x,y,九)=f(x,y) + M(x,y) = 0 xxx L (x, y,九)=f(x, y) + M (x, y) = 0yyyLJ x, y,九)=申(x, y) = 0得点(x, y),为可能极值点；根据实际问题的性质,在可能极值点处求极值.【例11】求