云南省曲靖市罗平县第一中学2021-2022学年高二数学第二学期期末监测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数且，则的值为( )A1B2CD-22在直角坐标系中，一个质点从出发沿图中路线依次经过，按此规律一直运动下去，则（ ）A1006B1007C1008D10093若为虚数单位，复

2、数与的虚部相等，则实数的值是AB2C1D4如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和1若从图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为（ ）ABCD5已知集合2，3，则ABCD2，3，6已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）ABCD7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）ABCD8已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为（）A75%B96%C72%D78.125%9从5个中国人、4个美国人、3个日本

3、人中各选一人的选法有（ ）A12种B24种C48种D60种10已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）ABCD11已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A，则B，则C，则D，则12中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中

4、获得“诗词能手”称号的人数为（）A6B5C4D2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，则_14设过抛物线上任意一点（异于原点）的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的另一个交点为，则_15若随机变量，则_16从长度分别为的四条线段中，任取三条的不同取法共有种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为，则等于_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）某运输公司有名驾驶员和名工人，有辆载重量为吨的甲型卡车和辆载重量为吨的乙型卡车.某天需运往地至少吨的货物，派用的车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配名工人，运送一次可得

5、利润元：派用的每辆乙型卡车需配名工人，运送一次可得利润元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得的最大利润多少？18（12分）设数列的前项和.已知.（1）求数列的通项公式；（2）是否对一切正整数，有？说明理由.19（12分）定义：在等式中，把，叫做三项式的次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，1).(1)填空：三项式的2次系数列是_；三项式的3次系数列是_；(2)由杨辉三角数阵表可以得到二项式系数的性质,类似的请用三项式次系数列中的系数表示(无须证明)；(3)求的值.20（12分）在中，求的值；若，求的面积21（12分）设等比数列的前项和为，已知，且成等差数列，（1）求数列的通项公式；

6、（2），求数列的前和22（10分）在数列，中，且，成等差数列，成等比数列（）.（1）求，及，；（2）根据计算结果，猜想，的通项公式，并用数学归纳法证明.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】分析：首先对函数求导，然后结合题意求解实数a的值即可.详解：由题意可得：，则，据此可知：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查导数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、D【解析】分析：由题意得，即，观察前八项，得到数列的规律，求出即可.详解：由直角坐标系可知，即，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递

7、增的，且都等于所在的项数除以2，则，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为，则，故选D.点睛：本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于难题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3

8、、D【解析】先化简与，再根据它们虚部相等求出m的值.【详解】由题得，因为复数与的虚部相等，所以.故选D【点睛】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4、C【解析】直接根据几何概型计算得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力.5、B【解析】直接根据交集的定义求解即可【详解】因为集合2，3，所以，根据交集的定义可得，故选B【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.6、B【解析】先求出导

9、函数，再分别讨论，的情况，从而得出的最大值【详解】由题可得：；（1）当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）当时，则在恒成立，则函数在上单调递增，当时，故不可能恒有；（3）当时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；综述所述，的最大值为；故答案选B【点睛】本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。7、A【解析】由正视图和侧视图得三棱锥的高，由俯视图得三棱锥底面积，再利用棱锥的体积公式求解即可

10、.【详解】由三棱锥的正视图和侧视图得三棱锥的高，由俯视图得三棱锥底面积，所以该三棱锥的体积.故选：A【点睛】本题主要考查三视图和棱锥的体积公式，考查学生的空间想象能力，属于基础题.8、C【解析】不妨设出产品是100件，求出次品数，合格品中一级品数值，然后求解概率.【详解】解：设产品有100件，次品数为：4件，合格品数是96件，合格品中一级品率为75%.则一级品数为：9675%72，现从这批产品中任取一件，恰好取到一级品的概率为：.故选：C.【点睛】本题考查概率的应用，设出产品数是解题的关键，注意转化思想的应用.9、D【解析】直接根据乘法原理得到答案.【详解】根据乘法原理，一共有种选法.故选：.

11、【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题.10、C【解析】作，垂足为点D利用点在抛物线上、， 结合抛物线的定义列方程求解即可.【详解】作，垂足为点D由题意得点在抛物线上，则得由抛物线的性质，可知，因为，所以所以，解得：由，解得：（舍去）或故抛物线C的方程是故选C【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题.11、D【解析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；且，此时或，可知错误；，此时或，可知错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线与平面

12、、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.12、C【解析】有茎叶图，找出获得“诗词能手”的称号的学生人数，求得概率，再利用分层抽样求得答案.【详解】由茎叶图可得，低于85分且不低于70分的学生共有16人，所以获得“诗词能手”的称号的概率为： 所以分层抽样抽选10名学生，获得“诗词能手”称号的人数为： 故选C【点睛】本题考查了茎叶图以及分层抽样，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据排列数计算公式可求得，结合组合数的性质即可化简求值.【详解】根据排列数计算公式可得，所以，化简可解得，则由组合数性质可得，故答案为：462.【点睛】本

13、题考查了排列数公式的简单应用，组合数性质的综合应用，属于基础题.14、【解析】分析：画出图形，将三角形的面积比转化为线段的长度比，之后转化为坐标比，设出点的坐标，写出直线的方程，联立方程组，求得交点的坐标，最后将坐标代入，求得比值,详解：画出对应的图就可以发现，设，则直线，即，与联立，可求得，从而得到面积比为，故答案是3.点睛：解决该题的关键不是求三角形的面积，而是应用面积公式将面积比转化为线段的长度比，之后将长度比转化为坐标比，从而将问题简化，求得结果.15、10【解析】根据题意可知，随机变量满足二项分布，根据公式，即可求出随机变量的方差，再利用公式即可求出。【详解】故答案为。【点睛】本题主

14、要考查满足二项分布的随机变量方差的求解，解题时，利用公式将求的问题转化为求的问题，根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算。16、【解析】分别求出即可【详解】从4条长度不同的线段中任取3条，共有4种取法，即，可组成三角形的只有一种，因此，故答案为：【点睛】本题考查事件的概念，求事件的个数解题时可用列举法列出任取3条线段的所有可能以及满足组成三角形的个数，从而得，列举法是我们常用的方法能组成三角形的判定关键是两个较小的线段长之和大于最长的线段长度三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、安排辆甲型车，辆乙型车利润最大，最大利润元.【解析】设甲型车辆，乙型车辆，根据题意列

15、不等式组,画可行域,将目标函数化为斜截式,比较斜率,找到最优解,解方程组得最优解的坐标,代入目标函数即可得到.【详解】解：设甲型车辆，乙型车辆，则，即设利润为，则,化成斜截式可得,因为,由图可知，在点处取得最大值，联立解得，,所以的最大值为,所以，安排辆甲型车，辆乙型车利润最大，最大利润元.【点睛】本题考查了线性规划求最大值,属于中档题.18、（1）；（2）对一切正整数，有.【解析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）对一切正整数n，有，考虑当时，再由裂项相消求和，即可得证。【详解】（1）当时，两式做差得，当时，上式显然成立，。（2）证明：当时，可得由可得即有

16、则当时，不等式成立。检验时，不等式也成立，综上对一切正整数n，有。【点睛】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键19、（1）（2）（3）50【解析】【试题分析】（1）分别将，把展开进行计算即三项式的次系数列是三项式的次系数列是；（2）运用类比思维的思想可得；（3）由题设中的定义可知表示展开式中的系数，因此可求出解：（1）三项式的次系数列是三项式的次系数列是；（2）；（3）表示展开式中的系数，所以20、（1）；（2）.【解析】由，根据正弦定理可得，从而可求出答案；根据同角的三角函数的关系求出，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出，利用三角形面积公式计算即可【详解

17、】（1），由正弦定理可得.（2）若，则，又由可得，【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.21、（1）；（2）.【解析】（1）首先根据题意得到，化简得到，求出，再代入即可.（2）首先化简得到，再利用裂项求和计算即可.【详解】（1）由题知：，即化简得：，所以.（2）.【点睛】本题第一问考查等差、等比数列的综合，第二问考查裂项求和，属于中档题.22、 (1) ， (2) 猜想，证明见解