解三角形中求周长、面积及其范围问题 讲义（含答案）

1、 解三角形（2） 【公式】正弦定理： 变形：余弦定理： 变形：三角关系：在三角形中，三角形面积公式：辅助角公式：基本不等式：和（差）角公式：二倍角公式：平方关系： 商数关系：【求面积】1.在中，已知，其中为的面积，分别为角，的对边.（1）求角的值；（2）若，求的值.2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的面积.3.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求角C的值；（2）若，当边c取最小值时，求的面积4.在中，分别是角，的对边，且（1）若，求；（2）若，求的面积5.已知中，角，的对边分别为，且满足，（）求证：；（）若边上中线，求的面积【求周

2、长】6.在中，三内角，对应的边分别是，且.（）求角的大小；（）若的面积是，求的周长.7.中，角，的对边分别为，且满足 .(1)求角的大小;(2)若，的面积为，求的值.【求最值或取值范围】8在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，（1）若，求c的值；（2）求的最大值9.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（1）求B；（2）若ABC的面积等于，求ABC的周长的最小值10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若，求的面积的最大值11.已知ABC的内角的对边分别为，且（1）求角；（2）在中，为边上一点，且，求面积的最大值12

3、.在中，内角A，B，C所对的边长分别为.(1)求角C；(2)若，求面积的最大值.13.在中，内角，的对边分别是，且满足：.（）求角的大小；（）若，求的最大值.14.在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，的对边分别为，且满足_.（1）求；（2）若的面积为，的中点为，求的最小值.15.记的内角的对边分别为请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题；（其中为的面积）；（1）若，求的值；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围16.在；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，_.（1）求角A的大小；（2

4、）求面积的最大值.17.在中，内角所对边分别为，若.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.18在锐角中，角，的对边分别为，已知且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.19.在锐角中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，求周长的范围.20.已知，分别是的内角，所对的边，从下面条件与中任选一个作为已知条件，并完成下列问题：（1）求；（2）若，求的周长的最大值条件：；条件：注：如果选择不同的条件分别解答，按照第一种选择的解答计分解三角形（2）答案1解：（1）因为，所以，则，因为在中，所以，所以，所以.（2）由（1）知，又因为，所以，因为在中

5、，所以，所以.2.（1）由题意及余弦定理得，所以，从而，因为，所以.（2）由，得，所以由正弦定理得又因为，所以，所以又，所以，所以.从而是等边三角形.因为，所以.3.（1）由条件和正弦定理可得，整理得从而由余弦定理得又C是三角形的内角，（2）由余弦定理得， ， （当且仅当时等号成立）c的最小值为2，故4.（1）因为，所以，所以，即，（2），由余弦定理，得，即，的面积5.（）由正弦定理及，得又，所以由，得，代入上式整理得,即，所以（）由（）知，由正弦定理得在中，,将代入上式得，化简得所以， 6.（）将，代入中，得到，即.因为，所以，于是，.（）因为，所以，.由余弦定理得，即，所以. 于是的周长是

6、.7（1）在中，由正弦定理，得，所以，即，因为为的内角，所以，所以，因为因为为的内角，所以.（2），即，所以，由余弦定理得，所以，所以得到.8.（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2BAC又，由正弦定理，得，即由余弦定理，得，即，解得（2）由正弦定理，得，由，得 所以当时，即时，9.（1）因为，由正弦定理得因为，所以sinA0，所以，所以，因为，所以，即（2）依题意，即ac4所以当且仅当时取等号又由余弦定理得，当且仅当ac2时取等号所以ABC的周长最小值为10.（1），所以，所以，由余弦定理得.，当且仅当时取等，.所以的面积的最大值为.11(1)，即，(2)，为的中点， ， ，当且仅当时取

7、等号，此时面积的最大值12.解：(1)由，可得，因为，所以，. (2)由，得，所以，当时，面积的最大值为.13.（I）由正弦定理得：， 因为，所以，所以由余弦定理得：， 又在中，所以. （II）方法1：由（I）及，得，即， 因为，（当且仅当时等号成立），所以.则（当且仅当时等号成立），故的最大值为2. 方法2：由正弦定理得， 则， 因为，所以， 故的最大值为2（当时）.14.（1）选，由正弦定理可得，又因为，可得，即，所以，又因为，所以，所以，解得.，由正弦定理可得，即，整理可得，又因为，解得，因为，所以.，由正弦定理可得，整理可得，即，即，所以或（舍），即，即，解得.（2），解得，由余弦定理

8、可得，所以 ，当且仅当时，即取等号，所以的最小值为.15.选择由正弦定理得，所以，则；选择，则，所以，又，则；选择，由正弦定理得又因为，所以，则所以，又，则；故选择均得到 ；（1）若，由余弦定理得 ，即， （2）由为锐角三角形及，得且,， 由正弦定理得， ，即所求的取值范围是16.（1）解：选：因为，所以，即，又因为，所以 选：因为，所以，因为，所以，因为，所以，即，因为，所以选：因为，所以，即，所以，因为，所以，因为，所以（2）解：选：因为由（1）得，所以，即，所以，即，当且仅当时等号成立，所以面积 所以面积的最大值为.选：因为由（1）得，所以，即，所以，即，当且仅当时等号成立，所以 所以面积 所以面积的最大值为.选：因为由（1）得， 所以，即，所以，即，当且仅当时等号成立， 所以所以面积 所以面积的最大值为.17.（1），由正弦定理得，又由余弦定理得，由于，所以.（2）是锐角三角形，得到.由正弦定理可知，由三角形面积公式有：又因故 故取值范围是18.（1），.即， 得，又，.（2）由正弦定理可得，其中，为锐角为锐角三角形，则，从而，得，即，从而的取值范围为.19