万学海文春季基础班讲义

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 万学海文春季基础班讲义 万学海文春季基础班讲义高等数学 62第六讲 向量代数与空间解析几何（数一） 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是： 向量概念与向量的各种运算，特别是它们的计算与应用 求直线与平面方程的方法，判断平面、直线间相互关系的方法 1 向量代数 向量的加（减）与数乘向量 向量的数量积（又称点积，内积）： 定义：两向量,a b 的数量积?是一个数，且|cos a b a b =? ，其中是与的夹 角坐标表示：若a 1，a 2，a 3，=b 1，b 2，b 3， 曲面与曲线概念及表示法 二次曲面的标准方程及其图形 万学海文春季基础班讲义

2、高等数学 63 则=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 特征性质：a b ?a b =0，即a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 = 0 主要应用： 判定两向量垂直； 求两向量、两直线、两平面以及直线与平面间的夹角； 建立平面的点法式方程 向量的向量积（又称叉积，外积）： 定义：两向量,a b 的向量积是一个向量，其模sin |=，其中是与的夹角，又同时与和都垂直且、构成右手系 坐标表示：若a a 1，a 2，a 3，b =b 1，b 2，b 3，则 a b =3 2 1321b b b a a a k j i 特征性质：/0a b a b ?= 主要应用： 判定两向量平行； 求平行

3、四边形面积，求点到直线的距离； 求两平面交线的方向向量，化直线的一般方程为标准方程 向量的混合积： 定义：三向量a ，b ，c 的混合积a ，b ，c 是一个数，且a ，b ，c （a ） 坐标表示：若a a 1，a 2，a 3，b =b 1，b 2，b 3，c c 1，c 2，c 3则 a ，b ，c =321 32 1321 c c c b b b a a a 特征性质：a ，b ，c 共面?a ，b ，c = 0 主要应用： 判定三向量或四个点共面，建立平面方程； 求平行六面体的体积，求点到平面或两条异面直线间的距离； 建立异面直线公垂线的方程 【例1】设（a b ）c 2，则（a b

4、）（b c ）（c a ）_ 【解】 万学海文春季基础班讲义高等数学 64 【例2】|a 2，|b 2，a b =2，则|b a _ 【解】 【例3】指出以下等式成立的充要条件，并证明： （1）|b a b a ?=+； （2）与?共线，其中，0b 【证明】（1）|b a b a ?=+?（）（）（?）（?）?222222a a b b a a b b +=?+? a b = 0 ? a b （2）a b 与b a ?平行?（a b ）（b a ?）?b a a b ?a b ? a 与b 平行 2 平面与直线 【例1】过直线L 1： 130211?=?=?z y x 且平行于直线L 2：1

5、1122z y x =?=+的平面方程是_ 【解】 万学海文春季基础班讲义高等数学 65 【例2】过点(1,2,1)?且与直线? ?=?=+?=1432t z t y t x 垂直的平面方程是_ 【解】 【例3】设直线L 为?=+?=+0 31020223z y x z y x ，平面为4x 2y + z 2 = 0，则（ ） （A ）L （B ）L 在上 （C ）L （D ）L 与斜交 【分析】 【例4】已知直线在平面：x + y + z 1 = 0上，并且与直线? ?=+?=+=t z t y t x L 110垂直相交， 求L 的方程 【分析与解法】1）将L 0的参数方程代入平面的方程，

6、得 （t + 1）+（t + 1）+ t 1 = 0，t = 1 ?0与的交点0（0，2，1），它就是与的交点 2）L 0的方向向量0l （1，1，1），平面的法向量n （1，1，1），的方向向量l n 0l n 0l 111(2,02)/(1,0,1)111 i j k =? 3）L 即是过0以l 为方向向量的直线 1 1021?+=?=z y x 另解 若用两面式更简单过0与0垂直的平面是 (2)(1)0 x y z ?+=，即x y + z + 30 L 为交线? ?=?+=+?0103z y x z y x 万学海文春季基础班讲义高等数学 663 曲面方程 【例1】 求直线：1 111

7、1?=?z y x 在平面：x y + 2z 10上的投影0的方程直线0绕y 轴旋转一周而成的曲面方程 【分析与求解】求0即求过与平面垂直的平面1与的交线 平面1由点0(1,0,1)M 及与之平行的向量(1,1,1)l =? 与(1,1,2)n =? 所确定方程为 0211 11 111=?z y x 即 x 3y 2z + 1 = 0 L 0的方程为? ?=?=+?12312z y x z y x 为求0绕y 轴旋转的旋转面方程，先把0的交面式方程化为以y 为参数的方程 ?=)1(212y z y y y x 按参数式表示的旋转面方程得? ?+=?+=sin )1(21()2(cos )1(

8、21()2(2222y y z y y y y x 消去得 2222)1(4 14y y z x ?+=+ 即 2224174210 x y z y +?= 【评注】转参数来旋曲面用方程描述是便利的 求一条直线绕某坐标轴旋转产生的旋转面方程，如绕y 轴，先将写成以y 为参数的方程 ?+=+=d cy z y y b ay x 旋转面的参数方程?+=+= sin )()(cos )()(2222y z y x z y y y z y x x 消去得旋转面方程 2222()()x z ay b cy d +=+ 【例2】求直线：1,x y z =绕z 轴旋转一周所生成的旋转面方程 万学海文春季基础

9、班讲义高等数学 67 【解】直线的参数方程是?=z z z y x 1，旋转面的参数方程是? ?=+=+=z z z y z x sin 1cos 122 消去得旋转面方程 x 2 + y 2 = 1 + z 2 4 空间曲线在坐标面上的投影曲线 【例1】求曲线C ：?=+=+1 1222z y x z y x 在xy 平面上的投影曲线的方程 【解】投影曲线的方程是 ?=?+0 1)1(222z y x y x 万学海文春季基础班讲义高等数学 68第七讲 常微分方程 一、知识网络图 二、重点考核点 把握方程类型的判别，根据类型选择适合的方法求解方程，会利用初值条件定出任意常数。 万学海文春季基

10、础班讲义高等数学 69 把握列方程的常用方法根据题意，分析条件，搞清问题所涉及的物理或几何意义，结合其他相关的知识和把握的方法列出方程和初条件 一、二阶线性方程解的性质 对数三还要求差分方程，其重点是求解一阶线性差分方程与简单的经济应用 （注意，全微分方程的求解放在多元积分学部分介绍） 1 微分方程的有关基本概念 微分方程：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数（或微分）的函数方程，称为微分方程当方程中的未知函数是一元函数时，称为常微分方程 微分方程的阶：出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶 设x 为自变量,()y y x =为未知函数，则n 阶微分方程的一般形式

11、为 F （x ，y ，(),n y y y ）= 0， 且在方程中)(n y 一定要出现 微分方程的解：若把已知函数及其导数或微分代入微分方程后能使其成为恒等式，则称该函数为这个微分方程的一个解含有与方程阶数一致个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解；不含任意常数的解称为微分方程的特解 为了确定微分方程的特解，需要给出方程中未知函数应满足的附加条件，这种条件称为定解条件，寻常给出的是未知函数及其若干阶导数在某点处的值，称为初始条件 例如：对方程F （x ，y ，(),n y y y ）= 0，初始条件可设为 ， ，10)1(202200)()()()(?=n n y x y y x y y

12、 x y y x y 其中x 0，y 0，y 1，y 2，y n 1都是给定的常数 求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题 2 一阶微分方程的解法 （1）变量可分开方程 变量可分开方程的常见形式是 )()(d d y g x f x y =， 若()0g y ，方程可改写为x x f y g y d )()(d =， 求积分即得通解 =x x f y g y d )()(d 若存在y 0使g （y 0）=0，直接验算可知常值函数y = y 0也是原方程的一个解 更一般的变量可分开方程是0d )()(d )()(=+y y Q x N x y P x M 当0)()(y P x N 时，

13、经分开变量，方程可改写成 0d )()(d )()(=+x x N x M y y P y Q ，于是，积分可得通解=+C x x N x M y y P y Q d ) ()(d )()( 万学海文春季基础班讲义高等数学 70若0y 是函数()P y 的一个零点，则0y y =也是方程的一个解假如不限定自变量是x ，未知函数是y ，且x 0是函数()N x 的一个零点，则常值函数0 x x =也是方程的一个解在求解变量可分开的方程时，注意不要遗漏了这类常值函数解假如在积分所得的通解表达式里，未知函数包含在对数中，应尽可能通过恒等变形把未知函数从对数中“解脱出来 （2）齐次微分方程 齐次微分方程的标准形式是)(d d x y f x y =， 作变换,ux y x y u =?=由于d y = u d x +x d u ，代入方程可得u u f x u x u f x u x u ?=?=+)(d d )(d d ，这是关于u 与x 的可分开变量方程当()0f u u ?时，分开变量并积分可得ln ()du x C f u u =+?. 把u 换回y x ，