大工12秋《应用统计》辅导资料12

1、应用统计辅导资料十二主题：第四章正态分布4-5节学习时间：2012年12月17日12月23日内容：这周我们将学习第四章正态分布4-5节，本周继续讨论正态分布和中心极限定理。中心极限定理描述大量独立作用的随机因素当每一微小且均匀的随机因素对总和的影响不大时，其综合效应往往呈现正态分布。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、了解二维正态分布的概念和性质2、掌握应用中心极限定理计算有关事件的概率的近似值基本概念：二维正态分布知识点：掌握用中心极限定理计算概率的近似值的方法。第四节二维正态分布分布概率分布或概率密度数学期望方差2DX1二维正态EXu1EYu2xyf(s,t)dsdt22F(x,y)P

2、Xx,YyDY222N(u,;u,;)112XY第五节中心极限定理设随机变量序列X相互独n由林德贝格列维中心极限定立同分布意味随机变量序列X理可知以下结论：n中心极限定理1当n充分大时，独立同分布中任意有限个随机变量都是相互独n立的并且所有X有相同的分布函n的随机变量之和ZnX的分布ii1林德贝格列维定理数，期望值和方差都存在，且2近似于正态分布N(nu,n)0，那么对于一切x，有2)当n充分大时，独立同分布nXnun1i的随机变量的平均值XXilimPi1xni1nnt212xe2dt(x)的分布近似于正态分布N(u,)2n设随机变量XBn,p)那么对由得莫佛拉普拉斯，于任何实数x，有lim

3、PXnpx(DeMoi-Laplace)中心极限定理得到以下结论：nnpqt21)在伯努利试验中，假设事件A12xe2dt(x)发生的概率为P，又设Z为n次独n得莫佛拉普拉斯(DeMoi-Laplace)定理立重复试验中事件A发生的频数，那么当n充分大时，Z近似服从正态n分布Nnp,npq2)在伯努利试验中，假设事件A发生的概率为P，又设Z为n次独nn立重复试验中事件A发生的频率，那么当n充分大时，Z近似服从正态nn分布N(p,pqn)2、典型例题解析题型1：二维正态分布的基本概念题型2：用中心极限定理求概率1例1、设二维随机变量(X,Y)N(1,1,4,9,)，求cov(X,Y)。题型121

4、解：由二维正态分布参数的性质，DX4,DY9,XY21那么cov(X,Y)DXDY493XY2例2、设一保险公司有10万人投保，假设某人在一年内死亡，那么保险公司支付1万元，每人保费80元。假设死亡率为0.003，求：1保险公司亏本的概率题型22保险公司至少获利200万的概率题型21,第i人死亡5解：令Xii1,2,310，那么X,X2,X相互独立且均服51010，第i人未死亡105从01分布，其概率为p0.003，一年内参加保险者死亡的总数X服从二项分布ii15B(10,0.003),其5数学期望EXnp100.0033005方差DXnp(1p)100.003(10.003)3001保险公司

5、每年收入为8010万800万，假设亏本，那么意味着付出值要大于或等于收入值，也就是说至少将有800人死亡因为死亡1人，保险公司将支付1万元，死亡800人，保险公司将支付8001万=800万,所以105105Xi300PX800Pi1i8003001300(5033)1(28.87)300i1因为4.41,而28.87远远大于4.4，所以1(28.87)110。所以说保险公司不会亏本。2保险公司一年收入800万，假设想至少获利200万，那么至多损失800-200=600105600人死亡。所以解法同上PX6001。600万万，也就是说一年内至多要有i1万人i116例2、假设一批种子的良种率为，在

6、其中任选600粒，求这600粒种子中，良1种所占的比例值与之差的绝对值不超过0.02的概率。用中心极限定理计算出近似值。6题型2X分析：设X表示任选600粒种子中良种的粒数，那么良种所占的比例值为，任60016161选一粒种子为良种的概率为，记为P，因此XB(600,)。6115250，663EXnp600X100,DXnpq60061)0.02?那么问题所求为P(6006250n600是很大的，由于EX100,DX，由中心极限定理可知，X近似服从3N(100,250)。于是3X1|0.02)P|X100|0.02P(|6006600P|X100|12P(|X100250/3|12)250/3P(|X|1.3145)(X近似服从N(0,1)2(1.3145)120.905710.8114说明：涉及n个此题是600个独立同分布且期望和方差已经知道的随机变量的问题，就