ch11 n阶行列式的定义与矩阵定义

1、基础数学线性代数9/14/2022 课前预习，积极思考，带着问题。 课堂听课，巧做笔记，教学互动。 课后复习，知识小结，完成作业。 学习要求9/14/20222.矩 阵3.线性方程组1.行列式4.向量组一一对应一 一 对 应5.特征问题与二次型9/14/2022例1.某商场9月份电视机销售统计表21寸29寸34寸48寸长虹康佳创维1540377213040107251810一、矩阵概念的引入与数表对应预备知识9/14/2022例2.线性方程组a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3与数表对应9/14/2022 上述

2、问题必须引进一些新的概念，如矩阵概念.就矩阵概念而言，它是一个非常重要的概念，不仅应用于线性代数，而且深入数学、物理、计算机等学科领域中.9/14/2022二、矩阵(Matrix)定义 由 个数排成的 行 列的数表称为 矩阵.简称 矩阵.记作1、定义书P299/14/2022简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,是复数的矩阵称为复矩阵.9/14/2022例如是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,也是一个数.9/14/20222、几种特殊矩阵(1)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).9/14/2022 称为对角矩阵(或对角阵

3、）（3）形如 的方阵,不全为0记作例如是一个3 阶方阵.(2)行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶方阵.也可记作diagonal 9/14/2022(4)方阵称为数量矩阵（纯量阵）.(5)方阵全为1称为单位矩阵（或单位阵）.全为同一个数9/14/2022(6)方阵称为上三角形矩阵（或上三角阵）方阵称为下三角矩阵（或下三角阵）上三角与下三角阵统称为三角形矩阵（三角阵）9/14/2022 （7）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵记作 或 .注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如3、同型矩阵与矩阵相等的概念1)两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例如为同型矩阵.9/14/2022 2)两个

4、矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵 相等,记作例2 设解9/14/2022Def:间的关系式线性变换.三、线性变换与矩阵9/14/2022系数矩阵故，线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.9/14/2022线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为称之为恒等变换.对应 单位阵.9/14/2022用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入第一章 行 列 式 Determinant第一节 二阶与三阶行列式书P19/14/2022方程组的解为由方程组的四个系数确定.二元线性方程组9/14/2022 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即注: 一阶行列式 不要与绝

5、对值记号相混淆;9/14/2022主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式9/14/20229/14/20229/14/2022方程组的解为二元线性方程组9/14/2022则二元线性方程组的解为注意 分母都为原方程组的系数行列式.二元线性方程组，若结论9/14/2022例1解9/14/2022二、三阶行列式1定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.9/14/2022(1)沙路法2. 三阶行列式的计算 列标行标1 2 3 1 29/14/2022(2) 对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号说明: 对角线法则只适用于二阶与

6、三阶行列式9/14/2022例2解方程左端9/14/2022则二元线性方程组的解为注意 分母都为原方程组的系数行列式.二元线性方程组，若结论9/14/2022问题：二元线性方程组求解的规律性能否推广到n元线性方程组的解呢？（这就涉及到n阶行列式的问题）说明：行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.（克莱姆法则）9/14/20221. 三阶行列式( 是指3！项之和)三、n阶行列式的定义说明（1）三阶行列式共有 项，即 项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积(简化: 将每项行标都固定于1,2,3取尽首行元素即得全部项) （3）每项的正负号都

7、取决于( 是指每项列标排列的逆序数 )即取尽所有列 9/14/2022（3）每项的正负号都取决于( 是指每项列标排列的逆序数 ).大的数在小的数左边,则这两数构成一个逆序.规定由小到大的顺序为标准次序. 一个排列p中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 记t(p)说明：(其逆序数为 ) 0例: 求排列1 6 3 5 2 4的逆序数.(从左到右顺序计算每个元素前面比它大的数的个数之和)方法: (由第二数起) 问:由大到小排列n, n-1, ,2,1 的逆序数为多少? 例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为9/14/20222. n阶行列式的定义(1) 阶行列式是 项的代数和;(2) n 阶行列式的每项都是位于不同行、 不同列 n 个元素的