流体力学中的三大基本方程

1、流体力学中的三大基本方程第1页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四1 连续性微分方程 理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用数学描述： 单位时间流出的质量-单位时间流入的质量+单位时间质量的累积or增量=0第2页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四 假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，公式推导：（1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化第3页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四 y，z。设控制体中心点处流速的三个分量

2、为 ,液体密度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为 第4页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以单位时间内沿x轴方向流出控制体的质量为于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为流入控制体的质量为第5页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四 同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质量差为 故单位时间内流出与流入微

3、元体流体质量总变化为：和第6页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四控制体内质量变化：因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：单位时间内，微元体质量增量： （微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积） 第7页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四根据连续性条件：矢量形式：三维连续性微分方程第8页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四适用条件： 不可压缩和可压缩流体 理想和实际流体 稳态及非稳态流动不可压缩性流体的连续性微分方程：or 说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入体积流量与流出体积流量相等。 第9页，共32

4、页，2022年，5月20日，10点55分，星期四稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变，二维平面流动：第10页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四2.理想流体的运动方程3.4.1-欧拉运动微分方程理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速与其所受到外力间的关系式即是运动方程。第11页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四推导过程：取微小六面控制体牛顿第二定律or动量定理：推导依据：即作用力之合力=动量随时间的变化速率 第12页，共32页，2

5、022年，5月20日，10点55分，星期四分析受力：质量力： 单位质量力： X方向上所受质量力为： 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：X方向上质点所受表面力合力：第13页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四流体质点加速度 的计算方法：流速的全导数应是：当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时间变化特性迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区域而表现出的速度变化率。第14页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四流体质点加速度 在三个坐标轴上的分量表示成：第1

6、5页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四代入牛顿第二定律求得运动方程：得x方向上的运动微分方程： 单位体积流体的运动微分方程：单位质量流体的运动微分方程：第16页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四同理可得y,z方向上的：第17页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四向量形式： 式中： 理想流体欧拉运动微分方程 适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体第18页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四（5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例：连续性方程： 运动方程： 第1

7、9页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四1. 含有四个未知量 完整的方程组。2. 描述了各种量间的依赖关系。3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始条件）特解。即描述流体流动的完整方程组+单值性条件描述某一特定流动。第20页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四3. 伯努利方程 (Bernoulli)理想流体稳定流动的伯努利微分方程由理想流体欧拉运动微分方程是稳定流动，vx,vy,vz，p都只是坐标函数，与时间无关，方程转换去除t项伯努利（D.Bernouli 17001782）方程的提出和意义第21页，共32页，2022年，5月20日，1

8、0点55分，星期四 推导得： Or 伯努利方程微分形式。 说明： 流体质点在微小控制体dxdydz范围内，沿任意方向流线流动时的能量平衡关系式。第22页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四适用范围：理想流体、稳定流体、质量力只有重力且在微小控制体dxdydz范围内沿某一根流线；物理意义：揭示了沿某一根流线运动着的流体质点速度，位移和压强、密度四者之间的微分关系。 第23页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四3.1 伯努利方程积分形式 1.沿流线的积分方程： 设： Or 理想流体微元流束的伯努利方程。 第24页，共32页，2022年，5月20日，10点55

9、分，星期四适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定流动、质量力只有重力，且沿某一根流线；任选一根流线上的两点： （流线变化了则C值变化） 静止流体：静止容器内任一点的z 与 P/r 之和为常数。 静力学方程第25页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四物理意义及几何意义：z : 单位重量流体所具有的位能NM/N ；（可以看成mgz/mg）P/r : 单位重量流体所具有的压力能； 物理意义：单位重量流体所具有的动能； 三者之和为单位重量流体具有的机械能。理解：质量为m微团以v运动，具有mv2/2动能，若用重量mg除之得v2/2g第26页，共32页，2022年，5月20日，10点

10、55分，星期四理想、不可压缩流体在重力场中作稳定流动时，沿流线or无旋流场中流束运动时，单位重量流体的位能，压力能和动能之和是常数，即机械能是守恒的，且它们之间可以相互转换 。物理意义：几何意义：z ：单位重量流体的位置水头； （距离某一基准面的高度）P/r : 单位重量流体的压力水头，或静压头； （具有的压力势能与一段液柱高度相当）: 单位重量流体具有的动压头or速度水头,速度压头。物理中：质量为m以速度v垂直向上抛能达到的最高高度为v2/2g三者之和为单位重量流体的总水头。第27页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。几何意义：第28页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四3.2 伯努利方程的应用 可求解流动中的流体v、P及过某一截面的流量；以伯努利方程为原理测量流量的装置。皮托管（毕托管）：测量流场中某一点流速的仪器。皮托曾用一两端开口弯成直角的玻璃管测塞那河道中任一点流速。第29页，共32页，2022年，5月20日，10点55分，星期四A点为驻点总压皮托管：B点：A点前选一点不受玻璃管干扰的点；A-B认为是一条流线。列沿流线AB上两点的伯努利方程：zA=zB=0PB总=PA=r(H0+