2022年山西省长治市屯留县第一中学校数学高二下期末联考试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

2、目要求的。1下列函数中，既是奇函数又在内单调递增的函数是（ ）ABCD2已知，且，由“若是等差数列，则”可以得到“若是等比数列，则”用的是（ ）A归纳推理B演绎推理C类比推理D数学证明3设直线与圆交于A，B两点，圆心为C，若为直角三角形，则（ ）A0B2C4D0或44已知函数，若方程有三个实数根，且，则的取值范围为 （ ）ABCD5正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么（ ）ABCD.6设数列， ()都是等差数列，若，则等于（）A60B62C63D667设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD8复数在复平面内对应的点在A第一象限B第二象限

3、C第三象限D第四象限9已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于点，若与直线的斜率的乘积为，则的最小值为（ ）A14B16C18D2010已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（ ）ABCD与大小关系不确定12已知集合A=Ax0 x3Bx0 x3Cx二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为_14已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”以下集合中，不存在“可行数对”的是_； ； 15左

4、传.僖公十四年有记载:“皮之不存,毛将焉附?”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的_条件(将正确的序号填入空格处).充分条件必要条件充要 条件既不充分也不必要条件16若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数一个不动点，则实数的最小值为_。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数.（1）当时，求证：在上是单调递减函数；（2）若函数有两个正零点、，求的取值范围，并证明：.18（1

5、2分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）用X表示比赛决出胜负时的总局数，求随机变量X的分布列和均值.19（12分）某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. （是虚数单位）（）从三个式子中选择一个，求出这个常数；（）根据三个式子的结构特征及（）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.20（12分）已知函数，.（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；（2）若，讨论的单调性；

6、（3）在（2）的条件下，若，求证：函数只有一个零点，且21（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, ，,，为等边三角形.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.22（10分）已知函数.（1）若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围；（2）设的最小值为，若正实数，满足.证明：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由基本初等函数的单调性和奇偶性，对A、B、C、D各项分别加以验证，不难得到正确答案【详解】解：对于A，因为幂函数yx3是R上的增函数，所以yx3是（0，+）上的减函数，故A不正确；对于B，为偶函

7、数，且在上没有单调性，所以B不正确；对于C，在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+）上是增函数，故C不正确；对于D，若f（x）x|x|，则f（x）x|x|f（x），说明函数是奇函数，而当x（0，+）时，f（x）x2，显然是（0，+）上的增函数，故D正确；故选：D【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的判断与证明，属于基础题2、C【解析】分析：根据类比推理的定义，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，可得结论.详解：根据类比推理的定义，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，故选C.点睛：本题主要考查等差数列类比到等比数

8、列的类比推理，类比推理一般步骤：找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）3、D【解析】是等腰三角形，若为直角三角形，则，求出圆心到直线的距离，则【详解】圆心为，半径为，为直角三角形，而，即，或4.故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系在直线与圆相交问题中垂径定理常常要用到4、B【解析】先将方程有三个实数根，转化为与的图象交点问题，得到的范围，再用表示，令，利用导数法求的取值范围即可.【详解】已知函数，其图象如图所示：因为方程有三个实数根，所以，令，得，令，所以，所以，令，所以，令，得，当时，当时，所以当时，取得极小值

9、.又，所以的取值范围是：.即的取值范围为.故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.5、D【解析】用向量的加法和数乘法则运算。【详解】由题意：点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，。故选：D。【点睛】本题考查向量的线性运算，解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得。6、A【解析】设数列的公差为，则由题意可得，求得的值，得到数列的通项公式，即可求解得值，得到答案.【详解】由题意，数列，都是等差数列，且，设数列的公差为，则有，即，解得，所以，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列

10、的定义，以及等差数列的通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、A【解析】试题分析：函数定义域是，设，则，设，则，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，当时，所以在上递减，在上递增，函数至少有一个零点，则，故选B考点：函数的零点，用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查函数的零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数的最小值不大于0，因此要确定的正负与零点，又要对求导，得，此时再研究其分子，于是又一次求导，最终确定出函数的最小值，本题解题时多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大8、B【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答

11、案B9、B【解析】设出直线的斜率，得到的斜率，写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，根据弦长公式求得的值，进而求得最小值.【详解】抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有，有，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.10、A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.详解：由于复数，在复平面的对应点坐标为，在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识

12、，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11、B【解析】通过构造函数,由导函数,结合,可知函数是上的增函数，得到,即可得到答案.【详解】构造函数，则，故函数是上的增函数，所以，即，则.故选B.【点睛】本题的难点在于构造函数,由,构造是本题的关键,学生在学习中要多积累这样的方法.12、A【解析】先化简求出集合A，B，进而求出AB【详解】集合A=x|x-3xB=x|x0，AB=x|0 x3故选：A【点睛】本题考查交集

13、的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用的几何意义，即可求解详解：作出不等式组对应的平面区域如图：由，得表示，斜率为-1纵截距为z的一组平行直线，平移直线，当直线经过点B时，直线的截距最小，此时最小，由，解得 ，此时 故答案为.点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决14、【解析】由题意，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对，与有交点，满足；对，的图

14、形在的内部，无交点，不满足；对，的图形在的外部，无交点，不满足；对，与有交点，满足；故答案为.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键15、【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可详解：由题意知“无皮”“无毛”，所以“有毛”“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件故答案为：点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键16、【解析】先构造函数，研究其单调性与奇偶性，再化简不等式，解得取值范围，最后根据不动点定义，利用导数求出的范围，即得最小值.【详解】由，令，则为奇函数，当时，所以在上单调

15、递减，所以在上单调递减，因为存在，所以，所以，即.因为为函数一个不动点，所以在时有解，令，因为当时，所以函数在时单调递减，且时，所以只需，得.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见证明；（2）实数的取值范围是，证明见解析.【解析】（1）由题意得出在区间上恒成立，由得出，构造函数，证明在区间上恒成立即可；（2）由利用参变量分离法得出，将题意转化为当直线与函数在上有两个交点时求的取值范围，利用数形结合思想求解即可，然后由题意得出，取自然对数得，等式作差得，利用分析得出

16、所证不等式等价于，然后构造函数证明即可.【详解】（1），.由题意知，不等式在区间上恒成立，由于，当时，构造函数，其中，则，令，得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即，所以，.所以，不等式在区间上恒成立，因此，当时，函数在上是单调递减函数；（2）令，可得令，则.当时，当时，.当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.，当时，当时.时，函数有两个正零点，因此，实数的取值范围是.由上知时，由题意得，上述等式两边取自然对数得，两式作差得，要证，即证.由于，则，即证，即证，令，即证，其中.构造函数，其中，即证在上恒成立.，所以，函数在区间上恒成立，所以，因此，.【点睛】本题考查利用导

17、数证明函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，难点在于构造新函数，借助新函数的单调性来证明，考查化归与转化数学思想的应用，属于难题.18、（1）；（2）分布列见解析，.【解析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列以及数学期望【详解】用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第k局甲获胜”，表示“第k局乙获胜”则，. （1）. （2）X的所有可能取值为. ， .X的分布列为X2345P【点睛】本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考

18、查了推理能力与计算能力，属于中档题19、（I）（II）结论为（且不同时为零），证明见解析【解析】（）将三个式子化简答案都为.（II）观察结构归纳结论为，再利用复数的计算证明结论.【详解】（I） （II）根据三个式子的结构特征及（I）的计算结果，可以得到：（且不同时为零） 下面进行证明：要证明只需证 只需证 因为上式成立，所以成立. （或直接利用复数的乘除运算得出结果）【点睛】本题考查了复数的计算和证明，意在考查学生的归纳能力.20、 (1) (2)见解析（3）见解析【解析】分析：（1）先求一阶导函数，用点斜式写出切线方程（2）先求一阶导函数的根，求解或的解集，判断单调性。（3）根据（2）的结论，求出极值画出函数的示意图，分析函数只有一个零点的等价条件是极小值大于零，函数在是减函数，故必然有一个零点。详解：（1）因为，所以；又。由题意得，解得 （2），其定义域为，又，令或。当即时，函数与随的变化情况如下：当时，当时，。所以函数在单调递增，在和单调递减 当即时，所以，函数在上单调递减 当即时，函数与随的变化情况如下：当时，当时，。所以函数在单调递增在和 上单调递减（3）证明：当时，由知，的极小值为，极大值为. 因为且又由函数在是减函数，可得至多有一个零点又因为，所以 函数只有一个零点， 且.点睛：利用导数求在某点切线方程利用，即可，方程的根、