2022年湖南省常德市淮阳中学数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于ABCD12对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作

2、，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（ ）ABCD3对于函教f(x)=ex(x-1)A1是极大值点B有1个极小值C1是极小值点D有2个极大值4在正方体中，与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD5已知数列是等比数列，其前项和为，则（ ）ABC2D46下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是ABCD7区间0，5上任意取一个实数x，则满足x0，1的概率为ABCD8已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（ ）ABCD9用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是( )A假设三内角都不大于60B

3、假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于6010函数在上取得最小值时，的值为（ ）A0BCD11口袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从袋中一次摸出2个球，记下号码并放回，若这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，则获奖.某人从袋中一次摸出2个球，其获奖的概率为（ ）ABCD12从名男生和名女生中选出名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若复数z满足|1z|1+z|2，则|z|的最小值为_14如图是一个算法流程图，则输出的的值为_15如图，

4、已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为1，四面体以所在的直线为轴旋转弧度，且始终在水平放置的平面上方，如果将四面体在平面内正投影面积看成关于的函数，记为，则函数的取值范围为_.16复数（为虚数单位），则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，正方形的边长为2，点，分别为，的中点，将，分别沿，折起，使，两点重合于点，连接.（）求证：平面；（）求与平面所成角的余弦值.18（12分）某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知与x之间具有线性相关关系（1）求营业额关于天数x的线性回归方程

5、；（2）试估计这家面馆第6天的营业额附：回归直线方程中，19（12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，（）求证：平面；（）若，且与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值20（12分）已知抛物线的焦点为抛物线上的两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）证明：为定值；（2）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值21（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=ax-3+10（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润.22（10分）如

6、图，已知三点，在抛物线上，点，关于轴对称（点在第一象限）， 直线过抛物线的焦点.（）若的重心为，求直线的方程；（）设，的面积分别为，求的最小值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果【详解】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X0)，P(X1)，P(X2)，于是P(X2)P(X0)P(X1)故选C【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题2、D【解析】根据可

7、画出满足题意的点所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【详解】由定义可知，若曲线为边长为的等边三角形，则满足题意的点构成如下图所示的阴影区域其中， ， 又 又阴影区域面积为：即点集所表示的图形的面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.3、A【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点,再逐项判断即可【详解】f当f当f故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题4、B【解析

8、】证明与平面所成角为，再利用边的关系得到正弦值.【详解】如图所示：连接与交于点，连接，过点作 与平面所成角等于与平面所成角正方体平面 平面 与平面所成角为设正方体边长为1在中故答案选B【点睛】本题考查了线面夹角，判断与平面所成角为是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5、A【解析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案【详解】由题意得，公比，则，故选A【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题6、B【解析】分析：确定函数过定点（1

9、，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点故选项B正确点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题7、A【解析】利用几何概型求解即可.【详解】由几何概型的概率公式得满足x0，1的概率为.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8、B【解析】抽象函数解不等式考虑用函数的单调性，构造函数，可得为偶函数，且在在上为增函数，将不等式化为，即可求解.【详解】令，易知函数为偶函数，当时，所以在上为增函数，所以，即，所以，解之得.故选:B.【点睛】本题考查抽象

10、函数不等式，利用函数的单调性将不等式等价转换，解题的关键构造函数，构造函数通常从已知条件不等式或所求不等式结构特征入手，属于中档题.9、B【解析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论.【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设是假设三内角都大于.故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.10、D【解析】根据三角函数的单调性分析求解即可.【详解】当时, .根据正弦函数的性质可知,当,即时, 取得最小值.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的最值问题,属于基础题.11、A【解析】分析：先求出基本事件的总数，再求出这2个号码之和是4的倍数

11、或这2个球号码之和是3的倍数的基本事件，再根据古典概型的概率计算公式求解即可.详解：从6个球中一次摸出2个球，共有种，2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，共有：9种，获奖的概率为.故选A.点睛：求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择12、B【解析】从反面考虑，从名学生中任选名的所有选法中去掉名全是男生的情况，即为所求结果【详解】从名学生中任选名，有种选法，其中全为男生的有种选法，所以选出名学生，至少有名女生的选法有种.故选：B.【点睛】本题考

12、查组合问题，也可以直接考虑，分类讨论，在出现“至少”的问题时，利用正难则反的方法求解较为简单，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】设,将已知条件化为，利用可得答案.【详解】设，则，所以，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故答案为：1【点睛】本题考查了复数的代数运算，考查了求复数的模的最值，关键是设复数的代数形式进行运算，属于中档题.14、【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得， 满足条件，执行循

13、环体， 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， 此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为1故答案为1【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.15、【解析】用极限法思考.当直线平面时, 有最小值,当直线平面时, 有最大值,这样

14、就可以求出函数的取值范围.【详解】取的中点,连接,于是有平面,所以,，其余的棱长均为1,所以,到的距离为,当直线平面时,有最小值,最小值为：；当直线平面时, 有最大值,最大值为.故答案为：【点睛】本题考查了棱锥的几何性质,考查了线面垂直的判定与应用,考查了空间想象能力.16、【解析】本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】.【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）详见解析；（）.【解析】（）由已知易证平面，可得，又由可得证；（）法一：在内过点作于点，可证为所求

15、线面角；法二：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用空间向量方法求解.【详解】解：（），平面，又平面，.由已知可得，平面.（）法一：在内过点作于点.由（）知平面平面，平面平面，则即为与平面所成角.设与交于点，连接，则，.又平面，平面，在，.，即与平面所成角的余弦值.法二：以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则，设，则，解得，于是.又平面的一个法向量为，故.因此，与平面所成角的余弦值.【点睛】本题考查了线面垂直的证明和线面角的求法，考查了直观想象能力和数学计算能力，属于中档题.18、（1）；（2）（百元）【解析】分析：（1）利用最小二乘法，求得，即看得到回归直线的方程；（2）由（1）代入时，

16、求得的值，即可作出合理预测详解：（1），所以回归直线为 （2）当时，即第6天的营业额预计为（百元）点睛：本题主要考查了回归直线的方程的求解及应用，其中利用最小二乘法，准确求解的值是解得关键，着重考查了推理与运算能力19、（1）见解析；（2）余弦值为.【解析】分析：（1）由四边形为菱形，得对角线,由侧面底面，, 得到侧面，从而，由此能证明平面；（2）由题意易知为等边三角形，以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的平面角的余弦值详解：（）由已知侧面底面，, 底面,得到侧面，又因为 侧面,所以,又由已知，侧面为菱形，所以对

17、角线,即，,所以平面.（）设线段的中点为点，连接,，因为，易知为等边三角形，中线 ,由（）侧面，所以,得到平面，即为与平面所成的角， , ,得到;以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，,，由（）知平面的法向量为，设平面的法向量，,解得,二面角为钝二面角，故余弦值为.点睛：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质、向量法等知识点的合理运用，是中档题.20、（）定值为0；（2）S=，S取得最小值1【解析】分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程

18、与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得和，根据曲线1y=x2上任意一点斜率为y=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得的结果为0，进而判断出ABFM（2）利用（1）的结论，根据的关系式求得k和的关系式，进而求得弦长AB，可表示出ABM面积最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值详解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y=1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立1y=x2消去y得：x21kx1=0，判别式=16（k2+1）0，x1+x2=1k，x1x2=1.于是曲线1y=x2

19、上任意一点斜率为y=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（xx1）+y1，y=（）x2（xx2）+y2，其中1y1=x12，1y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，xo=2k，yo=1，即M（，1）,从而=（，2），（x2x1，y2y1）=（x1+x2）（x2x1）2（y2y1）=（x22x12）2（x22x12）=0，（定值）命题得证（）由（）知在ABM中，FMAB，因而S=|AB|FM|，（x1，1y1）=（x2，y21），即，而1y1=x12，1y2=x22，则x22=，x12=1，|FM|=因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=+2=于是S=|AB|FM|=，由2知S1，且当=1时，S取得最小值1点睛：本题求S的最值，运用了函数的方法，这种技巧在高中数学里是一种常用的技巧.所以本题先求出S=，再求函数的定义域，再利用基本不等式求函数的最值.21、（1）6（2）x=4,46【解析】（1）由f（5）13代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（2）商场每日销售该商品所获得的利润每日的销售量销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x